Ačkoli Descartes i Fermat navrhovali používat tři souřadnice ke studiu křivek a ploch v prostoru, třírozměrná analytická geometrie se rozvíjela pomalu až do roku 1730, kdy švýcarští matematici Leonhard Euler a Jakob Hermann a francouzský matematik Alexis Clairaut vytvořili obecné rovnice pro válce, kužely a rotační plochy. Euler a Hermann například ukázali, že rovnice f(z) = x2 + y2 udává povrch, který vznikne otočením křivky f(z) = x2 kolem osy z (viz obrázek, který znázorňuje eliptický paraboloid z = x2 + y2).
Encyclopædia Britannica, Inc.
Newton vyslovil pozoruhodné tvrzení, že všechny rovinné krychle vznikají z těch v jeho třetím standardním tvaru promítáním mezi rovinami. To nezávisle na sobě dokázali v roce 1731 Clairaut a francouzský matematik François Nicole. Clairaut získal všechny krychle v Newtonových čtyřech standardních formách jako úseky krychlového konezy2 = ax3 + bx2z + cxz2 + dz3 sestávajícího z přímek v prostoru, které spojují počátek (0, 0, 0) s body na třetí standardní krychli v rovině z = 1.
V roce 1748 použil Euler rovnice pro rotace a translace v prostoru k transformaci obecné kvadratické plochyax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0 tak, aby se její hlavní osy shodovaly se souřadnicovými osami. Euler a francouzští matematici Joseph-Louis Lagrange a Gaspard Monge učinili analytickou geometrii nezávislou na syntetické (neanalytické) geometrii.
Vektorová analýza
V euklidovském prostoru libovolné dimenze lze vektory – směrované úsečky – určit souřadnicemi. N-tice (a1, …, an) představuje vektor v n-rozměrném prostoru, který se promítá do reálných čísel a1, …, an na souřadnicových osách.
V roce 1843 irský matematik-astronom William Rowan Hamilton znázornil čtyřrozměrné vektory algebraicky a vynalezl kvaterniony, první nekomutativní algebru, která byla rozsáhle studována. Násobení kvaternionů jednou souřadnicovou nulou vedlo Hamiltona k objevu základních operací s vektory. Nicméně matematičtí fyzici zjistili, že zápis používaný ve vektorové analýze je flexibilnější – zejména je snadno rozšiřitelný na nekonečně rozměrné prostory. Kvaterniony zůstaly zajímavé z algebraického hlediska a v 60. letech 20. století byly začleněny do některých nových modelů částicové fyziky.
Projekce
Jak v posledních desetiletích 20. století exponenciálně rostl snadno dostupný výpočetní výkon, počítačová animace a počítačem podporované navrhování se staly všudypřítomnými. Tyto aplikace jsou založeny na trojrozměrné analytické geometrii. Souřadnice se používají k určení hran nebo parametrických křivek, které tvoří hranice povrchů virtuálních objektů. Vektorová analýza se používá k modelování osvětlení a určování realistických odstínů povrchů.
Již v roce 1850 Julius Plücker sjednotil analytickou a projektivní geometrii zavedením homogenních souřadnic, které jednotně reprezentují body v euklidovské rovině (viz Euklidovská geometrie) a v nekonečnu jako trojice. Projektivní transformace, což jsou inverzní lineární změny homogenních souřadnic, jsou dány násobením matic. To umožňuje počítačovým grafickým programům efektivně měnit tvar nebo zobrazení zobrazovaných objektů a promítat je z trojrozměrného virtuálního prostoru na dvourozměrnou zobrazovací plochu.
Robert Alan BixHarry Joseph D’Souza