Lineární operátory, izomorfismyUpravit
Pro Y Banachův prostor je prostor B(X, Y) Banachův prostor s ohledem na tuto normu.
Je-li X Banachův prostor, prostor B(X) = B(X, X) tvoří unitální Banachovu algebru; operace násobení je dána kompozicí lineárních map.
Jsou-li X a Y normované prostory, jsou to izomorfní normované prostory, jestliže existuje lineární bijekce T : X → Y taková, že T a její inverzní T -1 jsou spojité. Je-li jeden z obou prostorů X nebo Y úplný (nebo reflexivní, separabilní atd.), pak je úplný i druhý prostor. Dva normované prostory X a Y jsou izometricky izomorfní, jestliže navíc T je izometrie, tj, ||T(x)|| = ||x|| pro každé x v X. Banachova-Mazurova vzdálenost d(X, Y) mezi dvěma izomorfními, ale ne izometrickými prostory X a Y udává míru toho, jak moc se oba prostory X a Y liší.
Základní pojmyUpravit
Karteziánský součin X × Y dvou normovaných prostorů není kanonicky vybaven normou. Běžně se však používá několik ekvivalentních norem, například
‖ ( x , y ) ‖ 1 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖ , ‖ ( x , y ) ‖ ∞ = max ( ‖ x ‖ , ‖ y ‖ ) {\displaystyle \|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)}
a dávají vzniknout izomorfním normovaným prostorům. V tomto smyslu je součin X × Y (nebo přímý součet X ⊕ Y) úplný tehdy a jen tehdy, když jsou oba činitelé úplní.
Je-li M uzavřený lineární podprostor normovaného prostoru X, existuje přirozená norma na kvocientním prostoru X / M,
‖ x + M ‖ = inf m ∈ M ‖ x + m ‖ . {\displaystyle \|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|.}
Koeficient X/M je Banachův prostor, když je X úplné. Kvocientová mapa z X na X / M, která posílá x v X do jeho třídy x + M, je lineární, onto a má normu 1, kromě případů, kdy M = X, kdy je kvocient nulovým prostorem.
Říká se, že uzavřený lineární podprostor M X je doplněným podprostorem X, jestliže M je oborem omezené lineární projekce P z X na M. V tomto případě je prostor X izomorfní přímému součtu M a Ker(P), jádru projekce P.
Předpokládejme, že X a Y jsou Banachovy prostory a že T ∈ B(X, Y). Existuje kanonická faktorizace T jako
T = T 1 ∘ π , T : X ⟶ π X / Ker ( T ) ⟶ T 1 Y {\displayystyle T=T_{1}\circ \pi ,\ \ \ T:X\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }}\ X/\operatorname {Ker} (T)\ {\overset {T_{1}}{\longrightarrow }}\ Y}
kde první mapa π je kvocientová mapa a druhá mapa T1 posílá každou třídu x + Ker(T) v kvocientu do obrazu T(x) v Y. To je dobře definováno, protože všechny prvky stejné třídy mají stejný obraz. Mapování T1 je lineární bijekce z X / Ker(T) na obor T(X), jejíž inverze nemusí být omezená.
Klasické prostoryUpravit
Základními příklady Banachových prostorů jsou např: prostory Lp a jejich speciální případy, prostory posloupností ℓp, které se skládají ze skalárních posloupností indexovaných N; mezi nimi prostor ℓ1 absolutně sčítaných posloupností a prostor ℓ2 čtvercových sčítaných posloupností; prostor c0 posloupností s tendencí k nule a prostor ℓ∞ omezených posloupností; prostor C(K) spojitých skalárních funkcí na kompaktním Hausdorffově prostoru K, vybavený normou max,
‖ f ‖ C ( K ) = max { | f ( x ) | : x ∈ K } , f ∈ C ( K ) . {\displaystyle \|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|:x\v K\},\quad f\v C(K).}
Podle Banachovy-Mazurovy věty je každý Banachův prostor izometricky izomorfní podprostoru nějakého C(K). Pro každý separovatelný Banachův prostor X existuje uzavřený podprostor M ℓ1 takový, že X ≅ ℓ1/M.
Každý Hilbertův prostor slouží jako příklad Banachova prostoru. Hilbertův prostor H na K = R, C je úplný pro normu tvaru
‖ x ‖ H = ⟨ x , x ⟩ , {\displaystyle \|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\úhelník }},}
kde
⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : H × H → K {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbf {K} }
je vnitřní součin, lineární ve svém prvním argumentu, který splňuje následující:
∀ x , y ∈ H : ⟨ y , x ⟩ = ⟨ x , y ⟩ ¯ , ∀ x ∈ H : ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 , ⟨ x , x ⟩ = 0 ⇔ x = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\pro všechna x,y\v H:\quad \langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\\\pro všechna x\v H:\quad \langle x,x\rangle &\geq 0,\\langle x,x\rangle =0\Leftrightarrow x&=0.\end{aligned}}}
Například prostor L2 je Hilbertův prostor.
Hardyho prostory, Sobolevovy prostory jsou příklady Banachových prostorů, které jsou příbuzné Lp prostorům a mají další strukturu. Jsou důležité mimo jiné v různých odvětvích analýzy, v harmonické analýze a parciálních diferenciálních rovnicích.
Banachovy algebryUpravit
Banachova algebra je Banachův prostor A nad K = R nebo C spolu se strukturou algebry nad K tak, že součinová mapa A × A ∋ (a, b) ↦ ab ∈ A je spojitá. Lze najít ekvivalentní normu na A tak, že ||ab|| ≤ ||a|| ||b|| pro všechna a, b ∈ A.
PříkladyUpravit
- Banachův prostor C(K) s bodovým součinem je Banachova algebra.
- Disková algebra A(D) je tvořena funkcemi holomorfními v otevřeném jednotkovém disku D ⊂ C a spojitými na jeho uzávěru:
- Vienerova algebra A(T) je algebra funkcí na jednotkovém kruhu T s absolutně konvergentní Fourierovou řadou. Prostřednictvím mapy přiřazující funkci na T posloupnosti jejích Fourierových koeficientů je tato algebra izomorfní Banachově algebře ℓ1(Z), kde součinem je konvoluce posloupností.
- Pro každý Banachův prostor X je prostor B(X) ohraničených lineárních operátorů na X s kompozicí map jako součinem Banachovou algebrou.
- C*-algebra je komplexní Banachova algebra A s antilineární involucí a ↦ a∗ takovou, že ||a∗a|| = ||a||2. Prostor B(H) ohraničených lineárních operátorů na Hilbertově prostoru H je základním příkladem C*-algebry. Gelfandova-Naimarkova věta říká, že každá C*-algebra je izometricky izomorfní C*-podalgebře nějaké B(H). Prostor C(K) komplexních spojitých funkcí na kompaktním Hausdorffově prostoru K je příkladem komutativní C*-algebry, kde involuce přiřazuje každé funkci f její komplexní konjugát f.
Duální prostorEdit
Je-li X normovaný prostor a K základní pole (buď reálná, nebo komplexní čísla), spojitý duální prostor je prostor spojitých lineárních map z X do K, neboli spojité lineární funkcionály. Zápis pro spojitý duální prostor je v tomto článku X ′ = B(X, K). Protože K je Banachův prostor (používáme absolutní hodnotu jako normu), je duál X ′ Banachův prostor, a to pro každý normovaný prostor X.
Hlavním nástrojem pro důkaz existence spojitých lineárních funkcionálů je Hahnova-Banachova věta.
Hahnova-Banachova věta. Nechť X je vektorový prostor nad polem K = R, C. Nechť dále
- Y ⊆ X je lineární podprostor,
- p : X → R je sublineární funkce a
- f : Y → K je lineární funkcionál tak, že Re( f (y)) ≤ p(y) pro všechna y v Y.
Pak existuje lineární funkcionál F : X → K tak, že F | Y = f , a ∀ x ∈ X , Re ( F ( x ) ) ≤ p ( x ) . {\displaystyle F|_{Y}=f,\quad {\text{and}}\quad \pro všechna x\v X,\ \ \operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).}.
Zejména každý spojitý lineární funkcionál na podprostoru normovaného prostoru lze spojitě rozšířit na celý prostor, aniž by se zvýšila norma funkcionálu. Důležitým speciálním případem je následující: Pro každý vektor x v normovaném prostoru X existuje spojitý lineární funkcionál f na X takový, že
f ( x ) = ‖ x ‖ X , ‖ f ‖ X ′ ≤ 1. {\displaystyle f(x)=\|x\|_{X},\quad \|f\|_{X‘}\leq 1.}
Když x není rovno vektoru 0, musí mít funkcionál f normu jedna a nazývá se normující funkcionál pro x.
Hahnova-Banachova separační věta říká, že dvě disjunktní neprázdné konvexní množiny v reálném Banachově prostoru, z nichž jedna je otevřená, lze oddělit uzavřenou afinní hyperplochou. Otevřená konvexní množina leží striktně na jedné straně hyperplochy, druhá konvexní množina leží na druhé straně, ale může se hyperplochy dotýkat.
Podmnožina S v Banachově prostoru X je totální, jestliže lineární rozpětí S je husté v X. Podmnožina S je totální v X tehdy a jen tehdy, jestliže jediný spojitý lineární funkcionál, který na S mizí, je funkcionál 0: tato ekvivalence vyplývá z Hahnovy-Banachovy věty.
Je-li X přímým součtem dvou uzavřených lineárních podprostorů M a N, pak duál X ′ X je izomorfní přímému součtu duálů M a N. Je-li M uzavřený lineární podprostor v X, lze k duálu přiřadit ortogonálu M,
M ⊥ = { x ′ ∈ X ′ : x ′ ( m ) = 0 , ∀ m ∈ M }. . {\displaystyle M^{\perp }=\left\{x’\v X‘:x'(m)=0,\\pro všechna m\v M\right\}.}.
Ortogonální M ⊥ je uzavřený lineární podprostor duálu. Duál M je izometricky izomorfní k X ′ / M ⊥. Duál X / M je izometricky izomorfní k M ⊥.
Duál separabilního Banachova prostoru nemusí být separabilní, ale:
Věta. Nechť X je normovaný prostor. Je-li X ′ separabilní, pak je X separabilní.
Když je X ′ separabilní, lze výše uvedené kritérium totality použít pro důkaz existence spočetné totální podmnožiny v X.
Slabé topologieUpravit
Slabá topologie na Banachově prostoru X je nejhrubší topologie na X, pro kterou jsou všechny prvky x ′ ve spojitém duálním prostoru X ′ spojité. Normová topologie je tedy jemnější než slabá topologie. Z Hahnovy-Banachovy separační věty vyplývá, že slabá topologie je Hausdorffova a že normově uzavřená konvexní podmnožina Banachova prostoru je také slabě uzavřená. Normově spojitá lineární mapa mezi dvěma Banachovými prostory X a Y je také slabě spojitá, tj. spojitá ze slabé topologie X do slabé topologie Y.
Je-li X nekonečně rozměrný, existují lineární mapy, které nejsou spojité. Prostor X∗ všech lineárních map z X do základního pole K (tento prostor X∗ se nazývá algebraický duální prostor, abychom ho odlišili od X ′) také indukuje topologii na X, která je jemnější než slabá topologie a mnohem méně se používá ve funkcionální analýze.
Na duálním prostoru X ′ existuje topologie slabší než slabá topologie X ′, nazývá se slabá* topologie. Je to nejhrubší topologie na X ′, pro kterou jsou všechny ohodnocovací mapy x′ ∈ X ′ → x′(x), x ∈ X, spojité. Její význam vyplývá z Banachovy-Alaoglovy věty.
Banachova-Alaoglova věta. Nechť X je normovaný vektorový prostor. Pak uzavřená jednotková koule B ′ = {x′ ∈ X ′ : ||x′|| ≤ 1} duálního prostoru je kompaktní ve slabé* topologii.
Banachova-Alaogluova věta závisí na Tychonově větě o nekonečných součinů kompaktních prostorů. Je-li X separabilní, je jednotková koule B ′ duálu metrizovatelná kompaktní ve slabé* topologii.
Příklady duálních prostorůEdit
Duál c0 je izometricky izomorfní k ℓ1: pro každý ohraničený lineární funkcionál f na c0 existuje jedinečný prvek y = {yn} ∈ ℓ1 takový, že
f ( x ) = ∑ n ∈ N x n y n , x = { x n } ∈ c 0 a ‖ f ‖ ( c 0 ) ′ = ‖ y ‖ ℓ 1 . {\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbf {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\}v c_{0},\ \ {\text{and}}}\ \ \|f\|_{(c_{0})‘}=\|y\|_{\ell _{1}}.}
Duál ℓ1 je izometricky izomorfní ℓ∞. Duál Lp() je izometricky izomorfní k Lq(), když 1 ≤ p < ∞ a 1/p + 1/q = 1.
Pro každý vektor y v Hilbertově prostoru H platí mapování
x ∈ H → f y ( x ) = ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle x\v H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle }
definuje spojitý lineární funkcionál fy na H. Rieszova věta o zobrazení říká, že každý spojitý lineární funkcionál na H má tvar fy pro jednoznačně definovaný vektor y v H. Mapování y ∈ H → fy je antilineární izometrická bijekce z H na jeho duál H ′. Jsou-li skaláry reálné, je tato mapa izometrickým izomorfismem.
Když je K kompaktní Hausdorffův topologický prostor, je duál M(K) C(K) prostorem Radonových měr ve smyslu Bourbakiho. Podmnožina P(K) M(K) sestávající z nezáporných měr o hmotnosti 1 (pravděpodobnostních měr) je konvexní w*-uzavřená podmnožina jednotkového koule M(K). Krajní body P(K) jsou Diracovy míry na K. Množina Diracových měr na K, vybavená w*-topologií, je homeomorfní ke K.
Banachova-kamenná věta. Jsou-li K a L kompaktní Hausdorffovy prostory a jsou-li C(K) a C(L) izometricky izomorfní, pak jsou topologické prostory K a L homeomorfní.
Výsledek rozšířili Amir a Cambern na případ, kdy multiplikativní Banachova-Mazurova vzdálenost mezi C(K) a C(L) je <2. Věta již neplatí, když je vzdálenost = 2.
V komutativní Banachově algebře C(K) jsou maximálními ideály právě jádra Diracových mezer na K,
I x = ker δ x = { f ∈ C ( K ) : f ( x ) = 0 } , x ∈ K . {\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\v C(K):f(x)=0\},\kvadrát x\v K.}
Ještě obecněji, podle Gelfandovy-Mazurovy věty, lze maximální ideály unitální komutativní Banachovy algebry ztotožnit s jejími znaky – nikoli pouze jako množiny, ale jako topologické prostory: první s topologií hull-kernel a druhý s topologií w*. Při tomto ztotožnění lze na prostor maximálního ideálu pohlížet jako na w*-kompaktní podmnožinu jednotkové koule v duálu A′.
Věta. Je-li K kompaktní Hausdorffův prostor, pak maximální ideální prostor Ξ Banachovy algebry C(K) je homeomorfní ke K.
Ne každá unitální komutativní Banachova algebra má tvar C(K) pro nějaký kompaktní Hausdorffův prostor K. Toto tvrzení však platí, pokud C(K) umístíme do menší kategorie komutativních C*-algeber. Gelfandova věta o zobrazení pro komutativní C*-algebry říká, že každá komutativní unitální C*-algebra A je izometricky izomorfní prostoru C(K). Hausdorffův kompaktní prostor K je zde opět maximálním ideálním prostorem, který se v kontextu C*-algebry nazývá také spektrum A.
BidualEdit
Je-li X normovaný prostor, nazývá se (spojitý) dual X ′′ duálu X ′′ bidual neboli druhý dual X. Pro každý normovaný prostor X existuje přirozená mapa,
{F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\do X“\\F_{X}(x)(f)=f(x)&\pro všechna x\v X,\pro všechna f\v X’\konec{případů}}}
Tímto definujeme FX(x) jako spojitý lineární funkcionál na X ′, tj. prvek X ′′. Mapa FX : x → FX(x) je lineární mapa z X na X ′′. V důsledku existence normujícího funkcionálu f pro každé x v X je tato mapa FX izometrická, tedy injektivní.
Například duál X = c0 je ztotožněn s ℓ1 a duál ℓ1 je ztotožněn s ℓ∞, prostorem omezených skalárních posloupností. Při těchto identifikacích je FX inkluzní mapou z c0 do ℓ∞. Je skutečně izometrická, ale není onto.
Je-li FX surjektivní, pak se normovaný prostor X nazývá reflexivní (viz dále). Jako duál normovaného prostoru je bidualita X ′′ úplná, proto je každý reflexivní normovaný prostor Banachovým prostorem.
Při použití izometrického vnoření FX je zvykem považovat normovaný prostor X za podmnožinu jeho biduality. Je-li X Banachův prostor, pohlíží se na něj jako na uzavřený lineární podprostor X ′′. Pokud X není reflexivní, je jednotkový míč X vlastní podmnožinou jednotkového míče X ′′. Goldstinova věta říká, že jednotkový míč normovaného prostoru je slabě* hustý v jednotkovém míči bidualu. Jinými slovy, pro každé x ′′ v bidualu existuje v X síť {xj} tak, že
sup j ‖ x j ‖ ≤ ‖ x ″ ‖ , x ″ ( f ) = lim j f ( x j ) , f ∈ X ′ . {\displaystyle \sup _{j}\|x_{j}\|\leq \|x“\|,\ \ x“(f)=\lim _{j}f(x_{j}),\quad f\v X‘.}
Síť lze nahradit slabě*konvergentní posloupností, když je duál X ′ oddělitelný. Na druhou stranu prvky bidualu ℓ1, které nejsou v ℓ1, nemohou být slabě*limitními posloupnostmi v ℓ1, protože ℓ1 je slabě sekvenčně úplná.
Banachovy větyUpravit
Tady jsou hlavní obecné výsledky o Banachových prostorech, které sahají až do doby vydání Banachovy knihy (Banach (1932)) a souvisejí s Baireovou větou o kategorii. Podle této věty nemůže být úplný metrický prostor (například Banachův prostor, Fréchetův prostor nebo F-prostor) roven sjednocení spočetně mnoha uzavřených podmnožin s prázdnými vnitřky. Banachův prostor tedy nemůže být sjednocením spočetně mnoha uzavřených podprostorů, pokud již není roven jednomu z nich; Banachův prostor s spočetnou Hamelovou bází je konečný.
Banachova-Steinhausova věta. Nechť X je Banachův prostor a Y je normovaný vektorový prostor. Předpokládejme, že F je kolekce spojitých lineárních operátorů z X do Y. Princip rovnoměrné omezenosti říká, že máme-li pro všechna x v X supT∈F ||T(x)||Y < ∞, pak supT∈F ||T||Y < ∞.
Banachova-Steinhausova věta není omezena na Banachovy prostory. Lze ji rozšířit například na případ, kdy X je Fréchetův prostor, za předpokladu, že závěr upravíme takto: za stejné hypotézy existuje v X okolí U 0 takové, že všechna T ve F jsou rovnoměrně omezena na U,
sup T ∈ F sup x ∈ U ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ . {\displaystyle \sup _{T\in F}\sup _{x\in U}\;\|T(x)\|_{Y}<\infty .}
Věta o otevřeném mapování. Nechť X a Y jsou Banachovy prostory a T : X → Y je surjektivní spojitý lineární operátor, pak T je otevřená mapa. Důsledek. Každý jednosměrně ohraničený lineární operátor z Banachova prostoru na Banachův prostor je izomorfismus. První věta o izomorfismu pro Banachovy prostory. Předpokládejme, že X a Y jsou Banachovy prostory a že T ∈ B(X, Y). Předpokládejme dále, že obor T je uzavřený v Y. Pak X/ Ker(T) je izomorfní k T(X).
Tento výsledek je přímým důsledkem předchozí věty o Banachově izomorfismu a kanonické faktorizace ohraničených lineárních map.
Důsledek. Je-li Banachův prostor X vnitřním přímým součtem uzavřených podprostorů M1, …, Mn, pak X je izomorfní M1 ⊕ … ⊕ Mn.
To je další důsledek Banachovy věty o izomorfismu, aplikované na spojitou bijekci z M1 ⊕ … ⊕ Mn na X, která posílá (m1, …, mn) na součet m1 + …. + mn.
Věta o uzavřeném grafu. Nechť T : X → Y je lineární mapování mezi Banachovými prostory. Graf T je uzavřený v X × Y tehdy a jen tehdy, když T je spojitý.
ReflexivitaUpravit
Normovaný prostor X se nazývá reflexivní, když přirozená mapa
{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X“\\F_{X}(x)(f)=f(x)&\pro všechna x\v X,\pro všechna f\v X’\end{cases}}}}.
je surjektivní. Reflexivní normované prostory jsou Banachovy prostory.
Věta. Je-li X reflexivní Banachův prostor, každý uzavřený podprostor X a každý kvocientový prostor X jsou reflexivní.
Toto je důsledek Hahnovy-Banachovy věty. Dále podle věty o otevřeném mapování, jestliže existuje ohraničený lineární operátor z Banachova prostoru X na Banachův prostor Y, pak je Y reflexivní.
Věta. Je-li X Banachův prostor, pak X je reflexivní tehdy a jen tehdy, když X ′ je reflexivní. Důsledek. Nechť X je reflexivní Banachův prostor. Pak X je separabilní tehdy a jen tehdy, když X ′ je separabilní.
Jestliže je duál Y ′ Banachova prostoru Y separabilní, pak je Y separabilní. Je-li X reflexivní a separabilní, pak duál X ′ je separabilní, takže X ′ je separabilní.
Věta. Předpokládejme, že X1, …, Xn jsou normované prostory a že X = X1 ⊕ … ⊕ Xn. Pak X je reflexivní tehdy a jen tehdy, když každé Xj je reflexivní.
Hilbertovy prostory jsou reflexivní. Prostory Lp jsou reflexivní, když 1 < p < ∞. Obecněji jsou reflexivní rovnoměrně konvexní prostory podle Milmanovy-Pettisovy věty. Prostory c0, ℓ1, L1(), C() nejsou reflexivní. V těchto příkladech nereflexivních prostorů X je bidualita X ′′ „mnohem větší“ než X. Konkrétně při přirozeném izometrickém vnoření X do X ′′ daném Hahnovou-Banachovou větou je kvocient X ′′ / X nekonečně rozměrný, a dokonce nesoudělný. Robert C. James však zkonstruoval příklad nereflexního prostoru, obvykle nazývaného „Jamesův prostor“ a označovaného J, takového, že kvocient J ′′ / J je jednorozměrný. Navíc je tento prostor J izometricky izomorfní svému bidualu.
Věta. Banachův prostor X je reflexivní tehdy a jen tehdy, je-li jeho jednotková koule kompaktní ve slabé topologii.
Když je X reflexivní, vyplývá z toho, že všechny uzavřené a ohraničené konvexní podmnožiny X jsou slabě kompaktní. V Hilbertově prostoru H se slabá kompaktnost jednotkového koule velmi často používá následujícím způsobem: každá ohraničená posloupnost v H má slabě konvergentní posloupnosti.
Slabá kompaktnost jednotkového koule poskytuje nástroj pro hledání řešení některých optimalizačních problémů v reflexivních prostorech. Například každá konvexní spojitá funkce na jednotkovém kouli B reflexivního prostoru dosáhne svého minima v některém bodě v B.
Jako speciální případ předchozího výsledku, když X je reflexivní prostor nad R, každý spojitý lineární funkcionál f v X ′ dosáhne svého maxima || f || na jednotkovém kouli X. Následující věta Roberta C. Jamese poskytuje opačné tvrzení.
Jamesova věta. Pro Banachův prostor jsou následující dvě vlastnosti ekvivalentní:
- X je reflexivní.
- pro všechny f v X ′ existuje x v X s ||x|| ≤ 1, takže f (x) = || f ||.
Tuto větu lze rozšířit tak, aby poskytovala charakteristiku slabě kompaktních konvexních množin.
Na každém nereflexivním Banachově prostoru X existují spojité lineární funkcionály, které nejsou normotvorné. Bishopova-Phelpsova věta však říká, že normotvorné funkcionály jsou normově husté v duálu X ′ X.
Slabé konvergence posloupnostíRedakce
Posloupnost {xn} v Banachově prostoru X je slabě konvergentní k vektoru x ∈ X, jestliže f (xn) konverguje k f (x) pro každý spojitý lineární funkcionál f v duálu X ′. Posloupnost {xn} je slabě Cauchyho posloupnost, jestliže f (xn) konverguje ke skalární limitě L( f ) pro každé f v X ′. Posloupnost { fn } v duálu X ′ je slabě* konvergentní k funkcionálu f ∈ X ′, jestliže fn (x) konverguje k f (x) pro každé x v X. Slabě Cauchyho posloupnosti, slabě konvergentní a slabě* konvergentní posloupnosti jsou normově omezené, což je důsledek Banachovy-Steinhausovy věty.
Když posloupnost {xn} v X je slabě Cauchyho posloupnost, limita L výše definuje omezený lineární funkcionál na duálu X ′, tj, prvek L biduality X a L je limita {xn} ve slabé*-topologii biduality. Banachův prostor X je slabě sekvenčně úplný, jestliže každá slabě Cauchyho posloupnost je slabě konvergentní v X. Z předchozí diskuse vyplývá, že reflexivní prostory jsou slabě sekvenčně úplné.
Věta. Pro každou míru μ je prostor L1(μ) slabě sekvenčně úplný.
Jednoduchým příkladem slabě konvergentní posloupnosti s limitou rovnou vektoru 0 je ortonormální posloupnost v Hilbertově prostoru. Jednotková báze vektorů ℓp, 1 < p < ∞ nebo c0 je dalším příkladem slabě nulové posloupnosti, tj. posloupnosti, která slabě konverguje k 0.
Pro každou slabě nulovou posloupnost v Banachově prostoru existuje posloupnost konvexních kombinací vektorů z dané posloupnosti, která je normálně konvergentní k 0.
Jednotková báze vektorů ℓ1 není slabě Cauchyho. Slabě Cauchyho posloupnosti v ℓ1 jsou slabě konvergentní, protože L1-prostory jsou slabě sekvenčně úplné. Ve skutečnosti jsou slabě konvergentní posloupnosti v ℓ1 normově konvergentní. To znamená, že ℓ1 splňuje Schurovu vlastnost.
Výsledky zahrnující bázi ℓ1Edit
Slabě Cauchyho posloupnosti a bázi ℓ1 jsou opačnými případy dichotomie stanovené v následujícím hlubokém výsledku H. P. Rosenthala.
Věta. Nechť {xn} je ohraničená posloupnost v Banachově prostoru. Buď má {xn} slabě Cauchyho posloupnost, nebo připouští posloupnost ekvivalentní standardní bázi jednotkových vektorů ℓ1.
Doplnění tohoto výsledku je dílem Odella a Rosenthala (1975).
Věta. Nechť X je separovatelný Banachův prostor. Následující tvrzení jsou ekvivalentní:
- Prostor X neobsahuje uzavřený podprostor izomorfní k ℓ1.
- Každý prvek biduality X ′′ je slabou*limitou posloupnosti {xn} v X.
Podle Goldstinovy věty je každý prvek jednotkové koule B ′′ z X ′′ slabou*limitou sítě v jednotkové kouli X. Když X neobsahuje ℓ1, je každý prvek B ′′ slabou*limitou posloupnosti v jednotkovém kouli X.
Když je Banachův prostor X separabilní, jednotkový míč duálu X ′, vybavený slab*-topologií, je metrizovatelný kompaktní prostor K a každý prvek x ′′ v bidualitě X ′′ definuje omezenou funkci na K:
x ′ ∈ K ↦ x ″ ( x ′ ) , | x ″ ( x ′ ) | ≤ ‖ x ″ ‖ . {\displaystyle x’\in K\mapsto x“(x‘),\quad \left|x“(x‘)\right|\leq \left\|x“\right\|.}
Tato funkce je spojitá pro kompaktní topologii K tehdy a jen tehdy, když x ′′ je skutečně v X, považovaném za podmnožinu X ′′. Pro zbytek odstavce navíc předpokládejme, že X neobsahuje ℓ1. Podle předchozího výsledku Odella a Rosenthala je funkce x ′′ bodovou limitou na K posloupnosti {xn} ⊂ X spojitých funkcí na K, je to tedy funkce první Baireovy třídy na K. Jednotkový míč biduality je bodově kompaktní podmnožinou první Baireovy třídy na K.
Posloupnosti, slabá a slabá* kompaktnostEdit
Když je X separovatelné, je jednotkový míč duálu slabě* kompaktní podle Banacha-Alaoglua a metrizovatelný pro slabou* topologii, proto má každá ohraničená posloupnost v duálu slabě* konvergentní konsekvence. To platí i pro separabilní reflexivní prostory, ale v tomto případě platí více, jak je uvedeno níže.
Slabá topologie Banachova prostoru X je metrizovatelná tehdy a jen tehdy, je-li X konečně rozměrný. Je-li duál X ′ separabilní, je slabá topologie jednotkové koule X metrizovatelná. To platí zejména pro separabilní reflexivní Banachovy prostory. Přestože slabá topologie jednotkového koule není obecně metrizovatelná, lze slabou kompaktnost charakterizovat pomocí posloupností.
Eberleinova-Šmuliánova věta. Množina A v Banachově prostoru je relativně slabě kompaktní tehdy a jen tehdy, když každá posloupnost {an} v A má slabě konvergentní posloupnost.
Banachův prostor X je reflexivní tehdy a jen tehdy, když každá ohraničená posloupnost v X má slabě konvergentní posloupnost.
Slabě kompaktní podmnožina A v ℓ1 je normálně kompaktní. Každá posloupnost v A má totiž slabě konvergentní posloupnosti podle Eberleina-Šmuliana, které jsou normálně konvergentní podle Schurovy vlastnosti ℓ1.