Briscoeho otec Kevin zpočátku nedovolil Briscoemu závodit. Později ustoupil a dovolil Chaseovi závodit jako způsob trávení rodinného času. O pět let později se k závodění vrátil, když ve svých 13 letech jezdil ve sprintových vozech 410. V té době už měl za sebou několik závodů. V tom roce zaznamenal 17 umístění v první desítce a vítězství v posledním závodě sezony; stal se nejmladším jezdcem, který vyhrál závod sprintových vozů 410. Překonal tak rekord šampiona NASCAR Jeffa Gordona o jeden rok, přestože závodil s motorem z roku 1993.
V roce 2013 se Briscoe přihlásil do soutěže Peak Stock Car Dream Challenge, která odměňuje vítěze jízdou ve stáji Michael Waltrip Racing. Přestože vyhrál většinu závodů na trati, skončil v soutěži druhý za Patrickem Staropolim. Tehdejší výkonný ředitel týmu Michael Waltrip Racing Ty Norris Briscoeovi dodatečně řekl, že i když v soutěži nevyhrál, měl by Briscoe pokračovat v závodní kariéře. Později v tomto roce debutoval v NASCAR K&N Pro Series West na NAPA Speedway, kde skončil osmý. V téže sezóně absolvoval ještě dva závody této série, v nichž obsadil 13. a 27. místo na tratích Kern County Raceway Park a Phoenix International Raceway. V roce 2014 se Briscoe přestěhoval z Indiany do Charlotte v Severní Karolíně v naději, že naváže kontakty ve světě závodů.
V roce 2015 byl Briscoe kontaktován přítelem a jezdcem Christopherem Bellem ohledně smlouvy se společností Roush Fenway Racing, což vyústilo v testování s týmem ARCA Racing Series Cunningham Motorsports. Majitel týmu Kerry Scherer zavolal Briscoemu ohledně testů v době, kdy se Briscoe vracel z Charlotte do Indiany a vzdal se závodní kariéry. Po dvou testech na Mobile International Speedway a Fairgrounds Speedway absolvoval svůj debut v ARCA na Lucas Oil Raceway v Indianapolis, kde skončil desátý. Při svém druhém startu v ARCA na okruhu Salem Speedway se kvalifikoval jako sedmý a později skončil pátý. Ke konci sezóny 2015 navázal Briscoe osobní přátelství s Briggsem Cunninghamem III a dostal nabídku na celosezónní svezení v roce 2016, kterou Briscoe přijal. V průběhu sezony vyhrál šest závodů a šampionát 2016 vyhrál o 535 bodů před druhým Tomem Hessertem.
Truck SeriesEdit
V roce 2017 se Briscoe připojil k nově vytvořenému programu Ford Performance NASCAR Driver Development Program a týmu Camping World Truck Series Brad Keselowski Racing a na plný úvazek řídil vůz Ford F-150 s číslem 29 Cooper Standard. Při svém debutu v Truck Series v Daytoně skončil Briscoe třetí, když se vyhnul obrovské havárii v posledním kole poté, co se téměř celý den pohyboval v první desítce. Briscoe získal svou první pole position v kariéře v Truck Series na Dover International Speedway a v závodě skončil na 12. místě. Později v sezóně získal Briscoe své první vítězství v kariéře na Homestead-Miami Speedway. V roce 2017 byl vyhlášen nejoblíbenějším jezdcem Truck Series. Společnost BKR po sezóně ukončila činnost a Briscoe zůstal bez jezdce. Před sezónou 2017 dostal Briscoe nabídku od Hendrick Motorsports, ale nepřinesl dostatek sponzorů, aby nabídku využil.
Briscoe se do Truck Series vrátil v roce 2018, kdy na okruhu Eldora Speedway řídil truck č. 27 týmu ThorSport Racing a vyhrál ve fotofiniši před týmovým kolegou Grantem Enfingerem. Následující rok se znovu připojil k týmu ThorSport pro Dirt Derby 2019 a skončil na 7. místě.
V roce 2021 se Briscoe připojil k týmu Roper Racing pro dirtový závod v Bristolu.
Xfinity SeriesEdit
V roce 2018 jezdil Briscoe na částečný úvazek v NASCAR Xfinity Series. Briscoe jezdil závody jak s vozem Ford č. 60 týmu Roush Fenway Racing, tak s vozem Ford č. 98 týmu Stewart-Haas Racing. Později téhož roku Briscoe vyhrál úvodní závod Xfinity na okruhu Charlotte Roval, když se udržel před Justinem Marksem a Austinem Cindricem.
Briscoe se v roce 2019 zavázal k plnohodnotnému programu Xfinity ve voze č. 98 SHR. V červenci Briscoe získal své druhé vítězství v kariéře v sérii Xfinity na okruhu Iowa Speedway. Kvalifikoval se do play-off NASCAR Xfinity Series 2019, a to na základě 10 umístění v top 10 v řadě. Sezonu 2019 Briscoe zakončil na pátém místě v bodování poté, co v Homestead skončil třetí.
Po problémech se sponzory, které hrozily, že Briscoe přijde o místo, si zajistil dostatek finančních prostředků, aby mohl v sezoně 2020 startovat v NASCAR Xfinity Series. Briscoe vyhrál deštěm odložený závod Boyd Gaming 300 na Las Vegas Motor Speedway; vedl 27 z 50 kol, než si počasí vynutilo odložení zbytku závodu, v neděli pak ujel 62 kol a na cestě za vítězstvím ujel 89 kol. V Darlingtonu, poté co jeho manželka potratila, získal Briscoe své čtvrté vítězství v kariéře v Xfinity Series, když se udržel před Kylem Buschem.
Cup SeriesEdit
Společnost Stewart-Haas Racing 20. října 2020 oznámila, že Briscoe v roce 2021 postoupí do pohárové série a nahradí Clinta Bowyera ve voze Ford Mustang č. 14. Společnost HighPoint.com, která sponzorovala Briscoeův vůz Xfinity, jej následovala do pohárového týmu.