S příchodem rokenrolu si Norman v sedmi letech pořídil svou první kytaru. Jeho ranými hudebními vlivy byli Elvis Presley, Little Richard a Lonnie Donegan.
V těchto raných letech se Normanovi rodiče často stěhovali po celé zemi, což mělo za následek, že Norman navštěvoval devět různých škol a žil na různých místech Anglie, například v Redcaru, Lutonu, Kimptonu a Nottinghamu. V roce 1962 se však rodina přestěhovala zpět do Bradfordu, rodného města Normanovy matky. Blížily se jeho dvanácté narozeniny a Norman začal navštěvovat St. Bede’s Grammar School, kde se měl seznámit s Alanem Silsonem a Terrym Uttleym, budoucími členy skupiny Smokie.
Jako teenageři, ovlivněni novou érou skupin jako The Beatles a The Rolling Stones a tehdejším folkovým zpěvákem Bobem Dylanem, se Norman a Silson začali scházet a trávili téměř všechen volný čas učením nových písní na kytary. Podařilo se jim přesvědčit Uttleyho, aby se k nim přidal, a spolu s kamarádem bubeníkem Ronem Kellym založili svou první kapelu. The Yen, Essence a Long Side Down byly jen některé z různých názvů, kterými si říkali, než se ustálili na „The Elizabethans“. Když Ron Kelly v roce 1973 skupinu opustil, požádal starého kamaráda jménem Pete Spencer, aby převzal bicí, a skupina, která se měla stát Smokie, byla kompletní.
Mezi rokem 1974 a začátkem osmdesátých let se Smokie těšili úspěchu na turné po celém světě, ale na Normanovi se začalo projevovat napětí a tlak z neustálého pobytu mimo domov a rodinu. Počátkem 80. let se rozhodl věnovat více času psaní a práci ve studiu. Norman a Spencer nyní společně pracovali na písních pro další umělce, včetně hitů pro Kevina Keegana („Head Over Heels in Love“, britský hit č. 31) a písně anglického fotbalového týmu „This Time (We’ll Get It Right)“. Spolupracoval také s Agnethou Fältskog (na jejím sólovém albu), Raceyem (spoluautor písně „Baby It’s You“), Donovanem (doprovodné vokály v písni Donovan) a Heavy Metal Kids.
V roce 1978 Norman nahrál duet se Suzi Quatro „Stumblin‘ In“, který se dostal na první místo hitparády. 4 v žebříčku US Billboard Hot 100 a prodalo se ho přes milion kopií.
Normanova sólová kariéra odstartovala v roce 1986 s písní „Midnight Lady“, která se stala hitem v celé Evropě a šest týdnů se držela na prvním místě v Německu (kde se jí prodalo 900 000 kopií). Další úspěch následoval s písněmi „Some Hearts Are Diamonds“, „No Arms Can Ever Hold You“, „Broken Heroes“, „Fearless Hearts“, „Sarah“ a „Baby I Miss You“. V roce 1994 byl Norman oceněn společností CMT Europe jako „Mezinárodní videohvězda roku“.
V roce 2004 se zúčastnil Comeback Show německé televizní stanice ProSieben a jako duet s C. C. Catchem předvedl skladbu „Stumblin‘ In“. V závěrečném díle pořadu se k němu při závěrečné písni připojil Smokie.
2. června 2007 vystoupil Norman na festivalu Peel Bay na ostrově Man.
Norman vystoupil na festivalu Peel Bay na ostrově Man.