SeismologieEdit
Koncept dekonvoluce měl v reflexní seismologii první uplatnění. V roce 1950 byl Enders Robinson postgraduálním studentem na MIT. Ve spolupráci s dalšími pracovníky MIT, jako byli Norbert Wiener, Norman Levinson a ekonom Paul Samuelson, vyvinul „konvoluční model“ reflexního seismogramu. Tento model předpokládá, že zaznamenaný seismogram s(t) je konvolucí funkce zemské odrazivosti e(t) a seismického waveletu w(t) z bodového zdroje, kde t představuje čas záznamu. Naše konvoluční rovnice tedy zní
s ( t ) = ( e ∗ w ) ( t ) . {\displaystyle s(t)=(e*w)(t).\,}
Seismologa zajímá e, které obsahuje informace o struktuře Země. Podle konvoluční věty lze tuto rovnici Fourierově transformovat na
S ( ω ) = E ( ω ) W ( ω ) {\displayystyle S(\omega )=E(\omega )W(\omega )\,}
ve frekvenční oblasti, kde ω {\displaystyle \omega }
je frekvenční veličina. Za předpokladu, že odrazivost je bílá, můžeme předpokládat, že výkonové spektrum odrazivosti je konstantní a že výkonové spektrum seismogramu je spektrum vlnoplochy vynásobené touto konstantou. Tedy | S ( ω ) | ≈ k | W ( ω ) | . {\displaystyle |S(\omega )|\approx k|W(\omega )|.\,}
Předpokládáme-li, že vlnoplocha má minimální fázi, můžeme ji obnovit výpočtem minimálního fázového ekvivalentu právě nalezeného výkonového spektra. Odrazivost lze obnovit navržením a použitím Wienerova filtru, který odhadnutý wavelet vytvaruje do podoby Diracovy delta funkce (tj. hrotu). Výsledek lze chápat jako řadu škálovaných, posunutých delta funkcí (i když to není matematicky přesné):
e ( t ) = ∑ i = 1 N r i δ ( t – τ i ) , {\displaystyle e(t)=\sum _{i=1}^{N}r_{i}\delta (t-\tau _{i}),}
kde N je počet odrazů, r i {\displaystyle r_{i}}
jsou koeficienty odrazu, t – τ i {\displaystyle t-\tau _{i}}
jsou doby odrazu každé události a δ {\displaystyle \delta }
je Diracova delta funkce.
V praxi, protože máme co do činění se zašuměnými soubory dat s konečnou šířkou pásma, konečnou délkou a diskrétním vzorkováním, poskytuje výše uvedený postup pouze aproximaci filtru potřebného k dekonvoluci dat. Nicméně formulováním problému jako řešení Toeplitzovy matice a použitím Levinsonovy rekurze můžeme poměrně rychle odhadnout filtr s nejmenší možnou střední kvadratickou chybou. Dekonvoluci můžeme provést také přímo ve frekvenční oblasti a získat podobné výsledky. Tato technika úzce souvisí s lineární predikcí.
Optika a jiné zobrazováníUpravit
V optice a zobrazování se termín „dekonvoluce“ konkrétně používá pro proces obrácení optického zkreslení, ke kterému dochází v optickém mikroskopu, elektronovém mikroskopu, dalekohledu nebo jiném zobrazovacím přístroji, a tím k vytvoření jasnějšího obrazu. Obvykle se provádí v digitální oblasti pomocí softwarového algoritmu jako součást souboru technik zpracování obrazu mikroskopu. Dekonvoluce je také praktická pro doostření snímků, které trpí rychlým pohybem nebo chvěním během snímání. Rané snímky Hubbleova vesmírného dalekohledu byly zkreslené vadným zrcadlem a byly doostřeny dekonvolucí.
Obvyklá metoda spočívá v předpokladu, že optická dráha procházející přístrojem je opticky dokonalá, konvolutovaná s funkcí bodového rozptylu (PSF), tj. matematickou funkcí, která popisuje zkreslení z hlediska dráhy, kterou teoretický bodový zdroj světla (nebo jiného vlnění) prochází přístrojem. Obvykle takový bodový zdroj přispívá k výslednému obrazu malou oblastí rozmazání. Pokud lze tuto funkci určit, je třeba vypočítat její inverzní nebo komplementární funkci a konvolvovat s ní získaný obraz. Výsledkem je původní, nezkreslený obraz.
V praxi je nalezení skutečné PSF nemožné a obvykle se používá její aproximace, teoreticky vypočtená nebo založená na nějakém experimentálním odhadu pomocí známých sond. Skutečná optika může mít také různé PSF v různých ohniskových a prostorových místech a PSF může být nelineární. Přesnost aproximace PSF bude určovat konečný výsledek. K dosažení lepších výsledků lze použít různé algoritmy, ovšem za cenu vyšší výpočetní náročnosti. Protože při původní konvoluci dochází k vyřazení dat, některé algoritmy používají dodatečná data získaná v blízkých ohniskových bodech, aby nahradily část ztracených informací. V iteračních algoritmech lze použít regularizaci (jako v algoritmech s maximalizací očekávání), aby se zabránilo nereálným řešením.
Když PSF není známa, může být možné ji odvodit systematickým zkoušením různých možných PSF a vyhodnocením, zda se obraz zlepšil. Tento postup se nazývá slepá dekonvoluce. Slepá dekonvoluce je osvědčenou technikou obnovy obrazu v astronomii, kde bodová povaha fotografovaných objektů odhaluje PSF a činí ji tak proveditelnější. Používá se také ve fluorescenční mikroskopii pro obnovu obrazu a ve fluorescenčním spektrálním zobrazování pro spektrální oddělení více neznámých fluoroforů. Nejběžnějším iterativním algoritmem pro tento účel je Richardsonův-Lucyho dekonvoluční algoritmus; nejběžnějšími neiterativními algoritmy jsou Wienerova dekonvoluce (a aproximace).
U některých specifických zobrazovacích systémů, jako jsou laserové pulzní terahertzové systémy, lze PSF modelovat matematicky. Výsledkem je, jak je znázorněno na obrázku, že dekonvoluce modelované PSF a terahertzového obrazu může poskytnout reprezentaci terahertzového obrazu s vyšším rozlišením.
RadioastronomieUpravit
Při provádění syntézy obrazu v radiointerferometrii, specifickém druhu radioastronomie, spočívá jeden krok v dekonvoluci vytvořeného obrazu se „špinavým paprskem“, což je jiný název pro funkci rozprostření bodu. Běžně používanou metodou je algoritmus CLEAN.
Absorpční spektraEdit
Dekonvoluce se hojně uplatňuje u absorpčních spekter. Lze použít Van Cittertův algoritmus (článek v němčině).
Aspekty Fourierovy transformaceEdit
Dekonvoluce mapuje dělení ve Fourierově ko-doméně. To umožňuje snadné použití dekonvoluce s experimentálními daty, která podléhají Fourierově transformaci. Příkladem je NMR spektroskopie, kde jsou data zaznamenána v časové oblasti, ale analyzována ve frekvenční oblasti. Dělení dat v časové oblasti exponenciální funkcí má za následek zmenšení šířky Lorenzových čar ve frekvenční oblasti
.