Introductory Chemistry – 1st Canadian Edition

V části 2.2 „Vyjadřování jednotek“ jsme si ukázali několik příkladů, jak nahradit počáteční jednotky jinými jednotkami stejného typu a získat tak číselnou hodnotu, která je srozumitelnější. V této části tento postup formalizujeme.

Podívejte se na jednoduchý příklad: Kolik stop je ve 4 yardech? Většina lidí téměř automaticky odpoví, že ve 4 yardech je 12 stop. Jak jste toto určení provedli? No, pokud jsou na 1 yard 3 stopy a na 4 yardy jsou 4 stopy, pak je na 4 yardy 4 × 3 = 12 stop.

To je samozřejmě správně, ale je to neformální. Formalizujme ji způsobem, který lze použít obecněji. Víme, že 1 yard (yd) se rovná 3 stopám (ft):

1 yd = 3 ft

V matematice se tomuto výrazu říká rovnost. Pravidla algebry říkají, že rovnost můžete změnit (tj. vynásobit nebo vydělit nebo přičíst či odečíst) (pokud nedělíte nulou) a nový výraz bude stále rovností. Například vydělíme-li obě strany dvěma, dostaneme

Vidíme, že polovina yardu se rovná 3/2 neboli jeden a půl stopy – což také víme, že je pravda, takže výše uvedená rovnice je stále rovností. Vrátíme-li se k původní rovnosti, předpokládejme, že obě strany rovnice vydělíme 1 yardem (číslem a jednotkou):

Výraz je podle pravidel algebry stále rovností. Levý zlomek se rovná 1. Má stejné množství v čitateli i jmenovateli, proto se musí rovnat 1. Veličiny v čitateli a jmenovateli se ruší, a to jak číslo, tak jednotka:

Když se ve zlomku vše ruší, zlomek se redukuje na 1:

Máme výraz 3 ft1 yd, který se rovná 1. Je to zvláštní způsob zápisu 1, ale dává smysl: 3 ft se rovnají 1 yd, takže veličiny v čitateli a jmenovateli jsou stejné veličiny, jen vyjádřené jinými jednotkami. Výraz 3 ft1 yd se nazývá převodní koeficient a používá se k formální změně jednotky veličiny na jinou jednotku. (Proces převodu jednotek tímto formálním způsobem se někdy nazývá rozměrová analýza nebo metoda označování faktorů)

Abychom viděli, jak se to děje, začněme s původní veličinou:

4 yd

Nyní tuto veličinu vynásobíme 1. Když cokoli vynásobíme 1, hodnotu veličiny nezměníme. Místo toho, abychom násobili pouze 1, zapíšeme 1 jako 3 stopy1 yd:

Výraz 4 yd si můžeme představit jako 4 yd/1; to znamená, že si ho můžeme představit jako zlomek s 1 ve jmenovateli. V podstatě násobíme zlomky. Pokud se v čitateli a jmenovateli zlomku vyskytuje stejná věc, ruší se. V tomto případě to, co se ruší, je jednotka yard:

To je vše, co můžeme zrušit. Nyní všechna čísla vynásobíme a vydělíme, abychom dostali konečnou odpověď:

Znovu dostaneme odpověď 12 ft, stejně jako původně. V tomto případě jsme však použili formálnější postup, který je použitelný pro různé problémy.

Kolik milimetrů je v délce 14,66 m? Abychom mohli odpovědět, musíme sestrojit převodní koeficient mezi milimetry a metry a správně ho aplikovat na původní veličinu. Začneme definicí milimetru, která zní

1 mm = 1/1 000 m

Těch 1/1 000 znamená předpona mili-. Většině lidí se lépe pracuje bez zlomků, proto tuto rovnici přepíšeme tak, že 1 000 přeneseme do čitatele druhé strany rovnice:

1 000 mm = 1 m

Nyní sestrojíme převodní koeficient tak, že jednu veličinu rozdělíme na obě strany. Nyní však vyvstává otázka: kterou veličinou dělíme? Ukazuje se, že máme dvě možnosti a obě možnosti nám dají různé převodní koeficienty, přičemž oba se rovnají 1:

Který převodní koeficient použijeme? Odpověď vychází z toho, jaké jednotky se chceme zbavit ve výchozí veličině. Původní jednotkou naší veličiny jsou metry, které chceme převést na milimetry. Protože se předpokládá, že původní jednotka je v čitateli, chceme-li se jí zbavit, chceme jednotku metr ve jmenovateli; pak se zruší. Proto použijeme druhý převodní činitel. Zrušením jednotek a provedením matematických úkonů dostaneme

Všimněte si, jak se m ruší a zůstávají mm, což je jednotka, která nás zajímá.

Schopnost sestavit a použít správné převodní koeficienty je v chemii velmi mocnou matematickou technikou. Pokud chcete být úspěšní v tomto i budoucích kurzech, musíte tuto techniku ovládat.

Co když máme odvozenou jednotku, která je součinem více jednotek, například m2? Předpokládejme, že chceme převést metry čtvereční na centimetry čtvereční? Klíčem je uvědomit si, že m2 znamená m × m, což znamená, že v naší odvozené jednotce máme dva metry. To znamená, že musíme zahrnout dva převodní koeficienty, pro každou jednotku jeden. Chceme-li například převést 17,6 m2 na čtvereční centimetry, provedeme převod takto:

Předpokládejte, že jednotka, kterou chcete převést, je ve jmenovateli odvozené jednotky; jaká pak? Pak v převodním součiniteli musí být jednotka, kterou chcete odstranit, v čitateli. Tím se zruší původní jednotka ve jmenovateli a zavede se nová jednotka ve jmenovateli. Tuto situaci ilustruje následující příklad:

.