Paradox pobřeží

Tato část potřebuje k ověření další citace. Pomozte prosím vylepšit tento článek přidáním citací na spolehlivé zdroje. Materiál bez zdrojů může být napaden a odstraněn. (Únor 2015) (Naučte se, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Základní pojem délky pochází z euklidovské vzdálenosti. V euklidovské geometrii představuje přímka nejkratší vzdálenost mezi dvěma body. Tato přímka má pouze jednu délku. Na povrchu koule je nahrazena geodetickou délkou (nazývanou také délka velké kružnice), která se měří podél povrchové křivky, jež existuje v rovině obsahující oba koncové body a střed koule. Délka základních křivek je složitější, ale lze ji také vypočítat. Při měření pomocí pravítek lze délku křivky aproximovat sečtením součtu přímek, které spojují body:

Při použití několika přímek k aproximaci délky křivky bude odhad nižší než skutečná délka; při použití stále kratších (a tedy četnějších) přímek se součet blíží skutečné délce křivky. Přesnou hodnotu této délky lze zjistit pomocí kalkulu, odvětví matematiky umožňujícího výpočet nekonečně malých vzdáleností. Následující animace ukazuje, jak lze hladké křivce smysluplně přiřadit přesnou délku:

Ne všechny křivky však lze měřit tímto způsobem. Fraktál je z definice křivka, jejíž složitost se mění s měřítkem měření. Zatímco aproximace hladké křivky směřují s rostoucí přesností měření k jediné hodnotě, u fraktálu naměřená hodnota nekonverguje.

Tato Sierpińského křivka (typ křivky vyplňující prostor), která opakuje stejný obrazec ve stále menším měřítku, stále nabývá na délce. Pokud ji chápeme jako iteraci v nekonečně dělitelném geometrickém prostoru, její délka směřuje k nekonečnu. Zároveň však plocha, kterou křivka uzavírá, konverguje k přesnému číslu – stejně jako lze analogicky snadněji vypočítat hmotnost ostrova než délku jeho pobřeží.

Jelikož se délka fraktální křivky vždy rozchází do nekonečna, pokud bychom měřili pobřeží s nekonečným nebo téměř nekonečným rozlišením, délka nekonečně krátkých zákrutů na pobřeží by se sečetla do nekonečna. Tento obrázek však vychází z předpokladu, že prostor lze rozdělit na nekonečně malé úseky. Pravdivostní hodnota tohoto předpokladu – který je základem euklidovské geometrie a slouží jako užitečný model při každodenním měření – je předmětem filozofických spekulací a může, ale nemusí odrážet měnící se realitu „prostoru“ a „vzdálenosti“ na atomární úrovni (přibližně v měřítku nanometru). Například Planckova délka, která je o mnoho řádů menší než atom, je navrhována jako nejmenší možná měřitelná jednotka ve vesmíru.

Kostky jsou ve své stavbě méně určité než idealizované fraktály, jako je Mandelbrotova množina, protože vznikají různými přírodními událostmi, které vytvářejí vzory statisticky náhodným způsobem, zatímco idealizované fraktály vznikají opakovanými iteracemi jednoduchých, vzorcových posloupností.

.

Napsat komentář