V matematice se protipříklady často používají k dokazování hranic možných tvrzení. Pomocí protipříkladů, které ukazují, že určité domněnky jsou nepravdivé, se pak matematičtí badatelé mohou vyhnout slepým uličkám a naučit se upravovat domněnky tak, aby vznikaly dokazatelné věty. Někdy se říká, že matematický vývoj spočívá především v nalézání (a dokazování) tezí a protipříkladů.
Příklad s obdélníkemUpravit
Předpokládejme, že matematik studuje geometrii a tvary a chce o nich dokázat určité teze. Domnívá se, že „všechny obdélníky jsou čtverce“, a zajímá ji, zda je toto tvrzení pravdivé, nebo nepravdivé.
V tomto případě se může buď pokusit dokázat pravdivost výroku pomocí deduktivního uvažování, nebo se může pokusit najít protipříklad výroku, pokud má podezření, že je nepravdivý. V druhém případě by protipříkladem byl obdélník, který není čtvercem, například obdélník se dvěma stranami délky 5 a dvěma stranami délky 7. Nicméně přestože našla obdélníky, které nejsou čtverci, všechny obdélníky, které našla, měly čtyři strany. Vyslovila tedy novou domněnku „Všechny obdélníky mají čtyři strany“. Ta je logicky slabší než její původní domněnka, protože každý čtverec má čtyři strany, ale ne každý čtyřstranný útvar je čtverec.
Výše uvedený příklad vysvětlil – zjednodušeně řečeno – jak může matematik oslabit svou domněnku tváří v tvář protipříkladům, ale protipříklady lze použít i k prokázání nutnosti určitých předpokladů a hypotéz. Předpokládejme například, že výše uvedený matematik se po nějaké době ustálil na nové domněnce „Všechny útvary, které jsou obdélníky a mají čtyři strany stejné délky, jsou čtverce“. Tato domněnka má dvě části hypotézy: útvar musí být „obdélník“ a musí mít „čtyři strany stejné délky“. Matematička by tedy ráda věděla, zda může jeden z těchto předpokladů odstranit, a přitom zachovat pravdivost své domněnky. To znamená, že potřebuje ověřit pravdivost následujících dvou tvrzení:
- „Všechny útvary, které jsou obdélníky, jsou čtverce.“
- „Všechny útvary, které mají čtyři strany stejné délky, jsou čtverce.“
Protipříklad pro (1) byl již uveden výše a protipříkladem pro (2) je kosočtverec, který není čtvercem. Matematik tedy nyní ví, že oba předpoklady byly skutečně nutné.
Další matematické příkladyUpravit
Protipříkladem tvrzení „všechna prvočísla jsou lichá čísla“ je číslo 2, protože je to prvočíslo, ale není liché číslo. Ani jedno z čísel 7 nebo 10 není protipříkladem, protože ani jedno z nich nestačí na popření tvrzení. V tomto příkladu je číslo 2 ve skutečnosti jediným možným protipříkladem tvrzení, i když samo o sobě k popření tvrzení stačí. Podobným způsobem má výrok „Všechna přirozená čísla jsou buď prvočísla, nebo složená“ jako protipříklad číslo 1, protože 1 není ani prvočíslo, ani složené.
Eulerova domněnka o součtu mocnin byla vyvrácena protipříkladem. Tvrdil, že k součtu s jinou n-tou mocninou je třeba alespoň n n-tých mocnin. Tato domněnka byla vyvrácena v roce 1966 protipříkladem zahrnujícím n = 5; nyní jsou známy další protipříklady n = 5, stejně jako některé protipříklady n = 4.
Witsenhausenův protipříklad ukazuje, že ne vždy platí (pro problémy řízení), že kvadratická ztrátová funkce a lineární rovnice vývoje stavové proměnné implikují optimální zákony řízení, které jsou lineární.
Dalšími příklady jsou vyvrácení Seifertovy domněnky, Pólyovy domněnky, domněnky o čtrnáctém Hilbertově problému, Taitovy domněnky a Ganeovy domněnky.
.