Teorie náhodných matic vychází z předpokladu, že chování složitého systému ve velkém měřítku by se mělo řídit jeho symetriemi a statistickými vlastnostmi jeho parametrů a mělo by být relativně necitlivé na přesné detaily jednotlivých interagujících prvků. Teorie se většinou zaměřuje na určení statistiky vlastních čísel a vlastních vektorů náhodných matic v limitě velkých rozměrů. Rané práce, pocházející z jaderné fyziky, se zaměřily na soubory, které mají hermitovskou symetrii a zároveň interakce typu „vše se vším“, podobně jako modely středního pole ve statistické fyzice. Zmírnění předpokladu all-to-all zavádí topologickou neuspořádanost a vede k souborům řídkých náhodných matic s mnoha nulovými položkami matic. Takové matice modelují složité systémy, kde daný stupeň volnosti interaguje s konečným počtem jiných, a vznikají přirozeně v souvislosti se systémy, jako jsou neuronové sítě nebo ekosystémy.
Přes tento široký význam se však řídké nehermitovské náhodné matice dočkaly významného studia teprve v posledním desetiletí, protože se na ně nevztahují standardní metody analýzy z teorie náhodných matic. Rigorózní výsledky pro takové matice téměř neexistují, protože je velmi obtížné dokázat konvergenci vlastností vlastních čísel a vlastních vektorů k deterministické limitě při velkých velikostech matic. Nedávný výzkum však přinesl pokrok v podobě nových přístupů. V novém článku člen LML Fernando Metz spolu s Izaakem Nerim z King’s College London a Timem Rogersem z University of Bath podávají přehled teoretického pokroku ve studiu spekter řídkých nehermitovských náhodných matic se zaměřením na exaktní přístupy založené na plodné analogii mezi výpočty náhodných matic a statistickou mechanikou neuspořádaných spinových systémů. Jak ukazují, pro jednoduché modely tyto metody umožňují získat analytické výsledky pro spektrální vlastnosti řídkých nehermitovských náhodných matic. Pro složitější modely lze spektrální vlastnosti vypočítat také v limitě velkých rozměrů pomocí numerických algoritmů.
Metz a kolegové uzavírají svůj přehled konstatováním, že teorie řídkých nehermitovských náhodných matic je ve srovnání s klasickou teorií náhodných matic stále v plenkách a existuje mnoho nevyřešených otázek. Mezi ně patří otázka univerzality. Zájem o teorii náhodných matic do značné míry závisí na univerzálním chování mnoha spektrálních pozorovatelných veličin, které umožňuje studovat stabilitu složitých dynamických systémů. V případě řídkých náhodných matic se zdá, že tato možnost je ztracena v důsledku silných lokálních fluktuací v grafové struktuře. Ukazuje se však, že mnohé soubory řídkých nehermitovských náhodných matic skutečně vykazují některé univerzální vlastnosti, jako je spektrální mezera, vlastní číslo s největší reálnou částí a momenty vlastních vektorů odpovídající tomuto vlastnímu číslu. Tyto spektrální vlastnosti určují stabilitu a ustálenou dynamiku komplexních systémů. Zdá se tedy, že existuje naděje na nalezení univerzálního chování řídkých matic, pokud se podíváme na správné pozorovatelné veličiny, což by mohlo vést k lepšímu pochopení univerzality ve velkých dynamických systémech.
Předtisk článku je k dispozici na adrese https://arxiv.org/abs/1811.10416
.