Vlastnosti množin při dané operaci
Matematiky často zajímá, zda určité množiny mají či nemají určité vlastnosti při dané operaci. Jedním z důvodů, proč se o to matematici zajímali, bylo, aby mohli určit, kdy budou mít rovnice řešení. Pokud má množina při dané operaci určité obecné vlastnosti, pak můžeme například řešit lineární rovnice v této množině.
Existuje několik důležitých vlastností, které množina pod určitou operací může, ale nemusí splňovat. Vlastnost je určité pravidlo, které platí, pokud je pravdivé pro všechny prvky množiny pod danou operací, a vlastnost neplatí, pokud existuje alespoň jedna dvojice prvků, která danou vlastnost pod danou operací nesplňuje.
Mluvit o vlastnostech tímto abstraktním způsobem zatím nedává smysl, proto se podívejme na několik příkladů vlastností, abyste lépe pochopili, co to vlastně je. V této přednášce se seznámíme s vlastností closure.
Vlastnost uzavřenosti
Množina má vlastnost uzavřenosti při určité operaci, jestliže výsledkem operace je vždy prvek množiny. Má-li množina vlastnost uzavřenosti při určité operaci, pak říkáme, že množina je „uzavřená při dané operaci“.
Je mnohem snazší pochopit vlastnost, když se podíváme na příklady, než když o ní jen abstraktně mluvíme, takže přejděme k pohledu na příklady, abyste viděli, o čem přesně mluvíme, když říkáme, že množina má vlastnost uzavřenosti:
Nejprve se podívejme na několik nekonečných množin s operacemi, které jsou nám již známé:
a) Množina celých čísel je uzavřená při operaci sčítání, protože součet libovolných dvou celých čísel je vždy jiné celé číslo a je tedy v množině celých čísel.
b) Množina celých čísel není uzavřená při operaci dělení, protože když dělíme jedno celé číslo jiným, nedostaneme vždy jako odpověď jiné celé číslo. Například 4 a 9 jsou obě celá čísla, ale 4 ÷ 9 = 4/9. 4/9 není celé číslo, takže není v množině celých čísel!“
Chcete-li vidět další příklady nekonečných množin, které splňují a nesplňují vlastnost uzavřenosti,
c) Množina racionálních čísel je uzavřená při operaci násobení, protože součinem libovolných dvou racionálních čísel bude vždy jiné racionální číslo, a bude tedy v množině racionálních čísel. Je to proto, že při násobení dvou zlomků dostaneme jako výsledek vždy jiný zlomek, protože součin dvou zlomků a/b a c/d dá jako výsledek ac/bd. Jediný možný způsob, jak by ac/bd nemohlo být zlomkem, je, že bd je rovno 0. Jestliže však a/b i c/d jsou zlomky, znamená to, že ani b, ani d není 0, takže bd nemůže být 0.
d) Množina přirozených čísel není uzavřená při operaci odečítání, protože když odečteme jedno přirozené číslo od jiného, nedostaneme vždy jiné přirozené číslo. Například 5 a 16 jsou obě přirozená čísla, ale 5 – 16 = – 11. To znamená, že přirozených čísel je více. – 11 není přirozené číslo, takže není v množině přirozených čísel!“
Podívejme se nyní na několik příkladů konečných množin s operacemi, které nám nemusí být známé:
e) Množina {1,2,3,4} není uzavřená pod operací sčítání, protože 2 + 3 = 5 a 5 není prvkem množiny {1,2,3,4}.
O tom se můžeme přesvědčit i tak, že se podíváme na tabulku operací pro množinu {1,2,3,4} pod operací sčítání:
|
+ |
|||||
Množina{1,2,3,4} není uzavřená pod operací +, protože existuje alespoň jeden výsledek (všechny výsledky jsou oranžově vystínované), který není prvkem množiny {1,2,3,4}. Graf obsahuje výsledky 5, 6, 7 a 8, z nichž žádný není prvkem množiny {1,2,3,4}!
f) Množina {a,b,c,d,e} má následující tabulku operací pro operaci *:
|
* |
a |
b |
c |
d |
e |
||
|
a |
b |
c |
e |
a |
d |
||
|
b |
d |
a |
c |
b |
e |
||
|
c |
c |
d |
b |
e |
a |
||
|
d |
a |
e |
d |
d |
c |
b |
|
|
e |
e |
e |
e |
b |
a |
d |
c |
Množina{a,b,c,d,e} je uzavřená pod operací *, protože všechny výsledky (které jsou oranžově vystínované) jsou prvky množiny {a,b,c,d,e}.
pro další příklad.
g) Množina {a,b,c,d,e} má pro operaci $ následující operační tabulku:
|
a |
b |
c |
d |
e |
||
|
a |
b |
f |
e |
a |
h |
|
|
b |
d |
a |
c |
h |
e |
|
|
c |
c |
d |
b |
g |
a |
|
|
d |
g |
e |
d |
d |
c |
b |
|
e |
e |
b |
h |
d |
c |
Množina{a,b,c,d,e} není uzavřená při operaci $, protože existuje alespoň jeden výsledek (všechny výsledky jsou oranžově vystínované), který není prvkem množiny {a,b,c,d,e}. Například podle grafu a$b=f. Ale f není prvkem množiny {a,b,c,d,e}!