Komplekse funktioner, der er differentiable i hvert punkt i en åben delmængde Ω {\displaystyle \Omega }
af det komplekse plan siges at være holomorfe på Ω {\displaystyle \Omega }
. I forbindelse med kompleks analyse er den afledte af f {\displaystyle f}
ved z 0 {\displaystyle z_{0}}
defineres som f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) – f ( z 0 ) z – z 0 . {\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\til z_{0}}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}
Overfladisk set er denne definition formelt set analog med definitionen af den afledte af en reel funktion. Komplekse afledte og differentierbare funktioner opfører sig imidlertid på væsentligt forskellige måder i forhold til deres reelle modstykker. Især skal værdien af differenskvotienten nærme sig det samme komplekse tal, uanset hvordan vi nærmer os z 0 {\displaystyle z_{0}}}, for at denne grænse kan eksistere, og uanset hvordan vi nærmer os z 0 {\displaystyle z_{0}}
i det komplekse plan. Følgelig har kompleks differentiabilitet meget stærkere implikationer end reel differentiabilitet. F.eks. er holomorfe funktioner uendeligt differentierbare, hvorimod eksistensen af den n-te afledede ikke behøver at indebære eksistensen af den (n + 1)-te afledte for reelle funktioner. Desuden opfylder alle holomorfe funktioner den stærkere betingelse om analyticitet, hvilket betyder, at funktionen i hvert punkt i sit domæne lokalt er givet ved en konvergent potenserie. Det betyder i alt væsentligt, at funktioner, der er holomorfe på Ω {\displaystyle \Omega }
kan tilnærmes vilkårligt godt ved hjælp af polynomier i et eller andet kvarter omkring hvert punkt i Ω {\displaystyle \Omega }
. Dette står i skarp kontrast til differentierbare reelle funktioner; der findes uendeligt differentierbare reelle funktioner, der ingen steder er analytiske; se Ikke-analytisk glat funktion § En glat funktion, der ingen steder er realanalytisk.
De fleste elementære funktioner, herunder den eksponentielle funktion, de trigonometriske funktioner og alle polynomiale funktioner, udvides på passende vis til komplekse argumenter som funktioner C → C {\displaystyle \mathbb {C} \til \mathbb {C} }
, er holomorfe over hele det komplekse plan, hvilket gør dem til hele funktioner, mens de rationelle funktioner p / q {\displaystyle p/q}
, hvor p og q er polynomier, er holomorfe på domæner, der udelukker punkter, hvor q er nul. Sådanne funktioner, der er holomorfe overalt undtagen i et sæt isolerede punkter, kaldes meromorfe funktioner. På den anden side er funktionerne z ↦ ℜ ( z ) {\displaystyle z\mapsto \Re (z)}
, z ↦ | z | z | {\displaystyle z\mapsto |z|}
, og z ↦ z ¯ {\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}
er ikke holomorfe noget sted i det komplekse plan, hvilket kan påvises ved, at de ikke opfylder Cauchy-Riemann-betingelserne (se nedenfor).
En vigtig egenskab ved holomorfe funktioner er forholdet mellem de partielle afledninger af deres reelle og imaginære komponenter, kendt som Cauchy-Riemann-betingelserne. Hvis f : C → C {\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }
, defineret ved f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}
, hvor x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ∈ R {\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} }
, er holomorfe på et område Ω {\displaystyle \Omega }
, så er ( ∂ f / ∂ z ¯ ) ( z 0 ) = 0 {\displaystyle (\partial f/\partial {\bar {z}})(z_{0})=0}
må gælde for alle z 0 ∈ Ω {\displaystyle z_{0}\i \Omega }
. Her skal differentialeoperatoren ∂ / ∂ z ¯ {\displaystyle \partial /\partial {\bar {z}}}
er defineret som ( 1 / 2 ) ( ∂ / ∂ x + i ∂ / ∂ y ) {\displaystyle (1/2)(\partial /\partial x+i\partial /\partial y)}
. Med hensyn til den reelle og imaginære del af funktionen, u og v, svarer dette til ligningsparret u x = v y {\displaystyle u_{x}=v_{y}}}
og u y = – v x {\displaystyle u_{y}=-v_{x}}
, hvor subscripterne angiver partiel differentiering. Cauchy-Riemann-betingelserne karakteriserer imidlertid ikke holomorfe funktioner uden yderligere kontinuitetsbetingelser (se Looman-Menchoff-teoremet).
Holomorfiske funktioner udviser nogle bemærkelsesværdige træk. For eksempel hævder Picards sætning, at intervallet for en hel funktion kun kan antage tre mulige former: C {\displaystyle \mathbb {C} }
, C ∖ { z 0 } {\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{z_{0}\}}
, eller { z 0 } {\displaystyle \{z_{0}\}}}
for nogle z 0 ∈ C {\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }
. Med andre ord, hvis to forskellige komplekse tal z {\displaystyle z}
og w {\displaystyle w}
ikke ligger i intervallet for en hel funktion f {\displaystyle f}
, så er f {\displaystyle f}
er en konstant funktion. Desuden er en holomorf funktion på et sammenhængende åbent sæt bestemt af dens begrænsning til ethvert ikke-tomt åbent delmængde.