Funkcje złożone, które są różniczkowalne w każdym punkcie otwartego podzbioru Ω {tekstylia Ω }
. W kontekście analizy złożonej, pochodna f {{displaystyle f}
przy z 0 { {displaystyle z_{0}}
jest zdefiniowana jako f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) – f ( z 0 ) z – z 0 . {f'(z_{0})= lim _{z_{0}}}{}frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}
Pozornie definicja ta jest formalnie analogiczna do definicji pochodnej funkcji rzeczywistej. Jednak złożone pochodne i funkcje różniczkowalne zachowują się w znacznie inny sposób niż ich rzeczywiste odpowiedniki. W szczególności, aby granica ta istniała, wartość ilorazu różnicowego musi zbliżać się do tej samej liczby zespolonej, niezależnie od tego, w jaki sposób zbliżamy się do z 0 {\i0}.
na płaszczyźnie zespolonej. W konsekwencji, różniczkowalność zespolona ma znacznie silniejsze implikacje niż różniczkowalność rzeczywista. Na przykład, funkcje holomorficzne są nieskończenie różniczkowalne, podczas gdy istnienie n-tej pochodnej nie musi implikować istnienia (n + 1)trzeciej pochodnej dla funkcji rzeczywistych. Ponadto, wszystkie funkcje holomorficzne spełniają silniejszy warunek analityczności, co oznacza, że funkcja jest w każdym punkcie swojej dziedziny lokalnie dana przez zbieżny szereg potęgowy. W gruncie rzeczy oznacza to, że funkcje holomorficzne na Ω {{displaystyle ™Omega }
mogą być dowolnie dobrze aproksymowane wielomianami w pewnym sąsiedztwie każdego punktu w Ω {{displaystyle \Omega }
. Stoi to w ostrym kontraście do różniczkowalnych funkcji rzeczywistych; istnieją nieskończenie różniczkowalne funkcje rzeczywiste, które nigdzie nie są analityczne; patrz Nieanalityczna funkcja gładka § Funkcja gładka, która nigdzie nie jest analityczna rzeczywista.
Większość funkcji elementarnych, w tym funkcja wykładnicza, funkcje trygonometryczne i wszystkie funkcje wielomianowe, rozszerzone odpowiednio na argumenty złożone jako funkcje C → C {displaystyle \mathbb {C} ∑ do ∑mathbb {C} }
, są holomorficzne na całej płaszczyźnie złożonej, co czyni je funkcjami całkowitymi, natomiast funkcje racjonalne p / q {displaystyle p/q}
, gdzie p i q są wielomianami, są holomorficzne w dziedzinach, które wykluczają punkty, w których q jest zerem. Takie funkcje, które są holomorficzne wszędzie poza zbiorem izolowanych punktów nazywamy funkcjami meromorficznymi. Z drugiej strony, funkcje z ↦ ℜ ( z ) {{displaystyle z} }
, oraz z ↦ z {{displaystyle z{mapsto |z|}}
nie są holomorficzne nigdzie na płaszczyźnie zespolonej, co można wykazać przez niespełnienie warunków Cauchy’ego-Riemanna (patrz niżej).
Ważną własnością funkcji holomorficznych jest związek między pochodnymi cząstkowymi ich składowych rzeczywistej i urojonej, znany jako warunki Cauchy’ego-Riemanna. Jeśli f : C → C {displayplaystyle f:™mathbb {C} \} }
, zdefiniowana przez f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {
, gdzie x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ∈ R {displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)∈ R }
, jest holomorficzna na regionie Ω { {displaystyle \Omega }
, wtedy ( ∂ f / ∂ z ¯ ) ( z 0 ) = 0 {displaystyle (∂ f / ∂ z ¯ )(z_{0})=0}.
musi zachodzić dla wszystkich z 0 ∈ Ω {displaystyle z_{0}}w \Omega }
. Tutaj, operator różniczkowy ∂ / ∂ z ∂ { {displaystyle ∂ ∂partial / ∂partial {{bar {z}}}}
jest zdefiniowany jako ( 1 / 2 ) ( ∂ / ∂ x + i ∂ / ∂ y ) {displaystyle (1/2)(∂ / ∂ x+i ∂ / ∂ y)}
. W kategoriach rzeczywistej i urojonej części funkcji, u i v, jest to równoważne parze równań u x = v y {{displaystyle u_{x}=v_{y}}.
oraz u y = – v x {displaystyle u_{y}=-v_{x}}
, gdzie indeksy oznaczają różniczkowanie cząstkowe. Warunki Cauchy’ego-Riemanna nie charakteryzują jednak funkcji holomorficznych bez dodatkowych warunków ciągłości (patrz twierdzenie Loomana-Menchoffa).
Funkcje holomorficzne wykazują pewne niezwykłe cechy. Na przykład, twierdzenie Picarda mówi, że przedział całej funkcji może przyjmować tylko trzy możliwe formy: C { } }
, C ∖ { z 0 } { {displaystyle \mathbb {C} \{z_{0}}
, lub { z 0 } {{displaystyle {z_{0}}}
dla jakiegoś z 0 ∈ C {{displaystyle z_{0}}} w ∈ C {{mathbb {C} }
. Innymi słowy, jeśli dwie różne liczby zespolone z {{displaystyle z}
i w {displaystyle w}
nie należą do przedziału całej funkcji f {displaystyle f}
, to f {displaystyle f}
jest funkcją stałą. Ponadto, funkcja holomorficzna na połączonym zbiorze otwartym jest określona przez jej ograniczenie do dowolnego niepustego podzbioru otwartego.