Komplexe Funktionen, die in jedem Punkt einer offenen Teilmenge Ω differenzierbar sind {\displaystyle \Omega }
der komplexen Ebene sind, sagt man, sie seien holomorph auf Ω {\displaystyle \Omega }
. Im Kontext der komplexen Analysis ist die Ableitung von f {\displaystyle f}
nach z 0 {\displaystyle z_{0}}
ist definiert als f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) – f ( z 0 ) z – z 0 . {\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}
Oberflächlich betrachtet, ist diese Definition formal analog zu der der Ableitung einer reellen Funktion. Allerdings verhalten sich komplexe Ableitungen und differenzierbare Funktionen deutlich anders als ihre reellen Gegenstücke. Insbesondere muss sich der Wert des Differenzenquotienten der gleichen komplexen Zahl nähern, damit dieser Grenzwert existiert, unabhängig davon, wie wir uns z 0 {\displaystyle z_{0}}
in der komplexen Ebene. Folglich hat die komplexe Differenzierbarkeit viel stärkere Implikationen als die reelle Differenzierbarkeit. Zum Beispiel sind holomorphe Funktionen unendlich differenzierbar, während die Existenz der n-ten Ableitung nicht die Existenz der (n + 1)-ten Ableitung für reelle Funktionen implizieren muss. Außerdem erfüllen alle holomorphen Funktionen die strengere Bedingung der Analytizität, d. h. die Funktion ist an jedem Punkt ihres Bereichs lokal durch eine konvergente Potenzreihe gegeben. Im Wesentlichen bedeutet dies, dass holomorphe Funktionen auf Ω {\displaystyle \Omega }
beliebig gut durch Polynome in irgendeiner Nachbarschaft jedes Punktes in Ω {\displaystyle \Omega } approximiert werden können
. Dies steht in scharfem Gegensatz zu differenzierbaren reellen Funktionen; es gibt unendlich differenzierbare reelle Funktionen, die nirgends analytisch sind; siehe Nichtanalytische glatte Funktion § Eine glatte Funktion, die nirgends reell analytisch ist.
Die meisten elementaren Funktionen, einschließlich der Exponentialfunktion, der trigonometrischen Funktionen und aller Polynomfunktionen, lassen sich in geeigneter Weise auf komplexe Argumente als Funktionen C → C {\displaystyle \mathbb {C} \zu \mathbb {C} }
, sind holomorph über der gesamten komplexen Ebene, was sie zu ganzen Funktionen macht, während rationale Funktionen p / q {\displaystyle p/q}
, wobei p und q Polynome sind, holomorph auf Gebieten sind, die Punkte ausschließen, in denen q gleich Null ist. Solche Funktionen, die überall holomorph sind, außer auf einer Menge isolierter Punkte, werden als meromorphe Funktionen bezeichnet. Andererseits sind die Funktionen z ↦ ℜ ( z ) {\displaystyle z\mapsto \Re (z)}
, z ↦ | z | {\displaystyle z\mapsto |z|}
, und z ↦ z ¯ {\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}
sind nirgendwo in der komplexen Ebene holomorph, wie man durch die Nichterfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen zeigen kann (siehe unten).
Eine wichtige Eigenschaft holomorpher Funktionen ist die Beziehung zwischen den partiellen Ableitungen ihrer realen und imaginären Komponenten, die als Cauchy-Riemann-Bedingungen bekannt sind. Wenn f : C → C {\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }
, definiert durch f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}
, wobei x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ∈ R {\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} }
, ist holomorph auf einer Region Ω {\displaystyle \Omega }
, dann ist ( ∂ f / ∂ z ¯ ) ( z 0 ) = 0 {\displaystyle (\partial f/\partial {\bar {z}})(z_{0})=0}
muss für alle z 0 ∈ Ω gelten {\displaystyle z_{0}\in \Omega }
. Dabei ist der Differentialoperator ∂ / ∂ z ¯ {\displaystyle \partial /\partial {\bar {z}}}
ist definiert als ( 1 / 2 ) ( ∂ / ∂ x + i ∂ / ∂ y ) {\displaystyle (1/2)(\partial /\partial x+i\partial /\partial y)}
. In Bezug auf die Real- und Imaginärteile der Funktion, u und v, ist dies äquivalent zu dem Gleichungspaar u x = v y {\displaystyle u_{x}=v_{y}}
und u y = – v x {\displaystyle u_{y}=-v_{x}}
, wobei die tiefgestellten Zahlen die partielle Differenzierung angeben. Allerdings charakterisieren die Cauchy-Riemann-Bedingungen holomorphe Funktionen nicht ohne zusätzliche Stetigkeitsbedingungen (siehe Looman-Menchoff-Theorem).
Holomorphe Funktionen weisen einige bemerkenswerte Eigenschaften auf. Zum Beispiel besagt der Satz von Picard, dass der Bereich einer ganzen Funktion nur drei mögliche Formen annehmen kann: C {\displaystyle \mathbb {C} }
, C ∖ { z 0 } {\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{z_{0}\}}
, oder { z 0 } {displaystyle \{z_{0}\}}
für irgendein z 0 ∈ C {\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }
. Mit anderen Worten: Wenn zwei verschiedene komplexe Zahlen z {\displaystyle z}
und w {\displaystyle w}
nicht im Bereich einer ganzen Funktion f {\displaystyle f}
, dann ist f {\displaystyle f}
eine konstante Funktion. Außerdem ist eine holomorphe Funktion auf einer zusammenhängenden offenen Menge durch ihre Einschränkung auf eine beliebige nichtleere offene Teilmenge bestimmt.