Deconvoluzione

SismologiaEdit

Il concetto di deconvoluzione ha avuto una prima applicazione nella sismologia a riflessione. Nel 1950, Enders Robinson era uno studente laureato al MIT. Ha lavorato con altri al MIT, come Norbert Wiener, Norman Levinson, e l’economista Paul Samuelson, per sviluppare il “modello convoluzionario” di un sismogramma a riflessione. Questo modello presuppone che il sismogramma registrato s(t) sia la convoluzione di una funzione di riflettività terrestre e(t) e una wavelet sismica w(t) da una sorgente puntiforme, dove t rappresenta il tempo di registrazione. Così, la nostra equazione di convoluzione è

s ( t ) = ( e ∗ w ) ( t ) . {

Il sismologo è interessato a e, che contiene informazioni sulla struttura della Terra. Per il teorema di convoluzione, questa equazione può essere trasformata di Fourier in

S ( ω ) = E ( ω ) W ( ω ) {displaystyle S(\omega )=E(\omega )W(\omega )\,

nel dominio della frequenza, dove ω {displaystyle \omega }

è la variabile di frequenza. Assumendo che la riflettività sia bianca, possiamo assumere che lo spettro di potenza della riflettività sia costante, e che lo spettro di potenza del sismogramma sia lo spettro del wavelet moltiplicato per quella costante. Così, | S ( ω ) | ≈ k | W ( ω ) | . {S(ω )| ≈ k|W(ω )|.≈,}

Se assumiamo che la wavelet sia a fase minima, possiamo recuperarla calcolando l’equivalente a fase minima dello spettro di potenza appena trovato. La riflettività può essere recuperata progettando e applicando un filtro di Wiener che modella l’ondulazione stimata a una funzione delta di Dirac (cioè un picco). Il risultato può essere visto come una serie di funzioni delta scalate e spostate (anche se questo non è matematicamente rigoroso):

e ( t ) = ∑ i = 1 N r i δ ( t – τ i ) , {\displaystyle e(t)=\sum _{i=1}^{N}r_{i}\delta (t-\tau _{i}),

dove N è il numero di eventi di riflessione, r i {\displaystyle r_{i}}

sono i coefficienti di riflessione, t – τ i {\displaystyle t-\tau _{i}

sono i tempi di riflessione di ciascun evento, e δ {displaystyle \delta }

è la funzione delta di Dirac.

In pratica, dato che abbiamo a che fare con insiemi di dati rumorosi, a larghezza di banda finita, a lunghezza finita e campionati in modo discreto, la procedura di cui sopra produce solo un’approssimazione del filtro richiesto per deconvolvere i dati. Tuttavia, formulando il problema come la soluzione di una matrice Toeplitz e usando la ricorsione di Levinson, possiamo stimare relativamente rapidamente un filtro con il più piccolo errore quadratico medio possibile. Possiamo anche fare la deconvoluzione direttamente nel dominio della frequenza e ottenere risultati simili. La tecnica è strettamente legata alla predizione lineare.

Ottica e altre immaginiModifica

Esempio di un’immagine deconvoluta al microscopio.

In ottica e imaging, il termine “deconvoluzione” è specificamente usato per riferirsi al processo di inversione della distorsione ottica che avviene in un microscopio ottico, microscopio elettronico, telescopio, o altro strumento di imaging, creando così immagini più chiare. Di solito è fatto nel dominio digitale da un algoritmo software, come parte di una suite di tecniche di elaborazione delle immagini al microscopio. La deconvoluzione è anche pratica per rendere più nitide le immagini che soffrono di un movimento veloce o di scatti durante la cattura. Le prime immagini del telescopio spaziale Hubble erano distorte da uno specchio difettoso e sono state rese più nitide dalla deconvoluzione.

Il metodo usuale è quello di assumere che il percorso ottico attraverso lo strumento sia otticamente perfetto, convoluto con una funzione di diffusione del punto (PSF), cioè una funzione matematica che descrive la distorsione in termini del percorso che una teorica sorgente puntiforme di luce (o altre onde) prende attraverso lo strumento. Di solito, tale sorgente puntiforme contribuisce a una piccola area di sfocatura dell’immagine finale. Se questa funzione può essere determinata, si tratta poi di calcolare la sua funzione inversa o complementare, e di convolvere l’immagine acquisita con quella. Il risultato è l’immagine originale non distorta.

In pratica, trovare la vera PSF è impossibile, e di solito si usa un’approssimazione di essa, calcolata teoricamente o basata su qualche stima sperimentale usando sonde note. Le ottiche reali possono anche avere diverse PSF in diverse posizioni focali e spaziali, e la PSF può essere non lineare. L’accuratezza dell’approssimazione della PSF detterà il risultato finale. Diversi algoritmi possono essere impiegati per dare risultati migliori, al prezzo di essere più intensivi dal punto di vista computazionale. Dato che la convoluzione originale scarta dei dati, alcuni algoritmi usano dati aggiuntivi acquisiti nei punti focali vicini per recuperare alcune delle informazioni perse. La regolarizzazione negli algoritmi iterativi (come negli algoritmi di massimizzazione delle aspettative) può essere applicata per evitare soluzioni irrealistiche.

Quando la PSF è sconosciuta, può essere possibile dedurla provando sistematicamente diverse possibili PSF e valutando se l’immagine è migliorata. Questa procedura è chiamata deconvoluzione cieca. La deconvoluzione cieca è una tecnica consolidata di restauro delle immagini in astronomia, dove la natura puntiforme degli oggetti fotografati espone la PSF rendendola così più fattibile. Viene anche usata nella microscopia a fluorescenza per il restauro dell’immagine, e nell’imaging spettrale a fluorescenza per la separazione spettrale di più fluorofori sconosciuti. L’algoritmo iterativo più comune per lo scopo è l’algoritmo di deconvoluzione Richardson-Lucy; la deconvoluzione di Wiener (e le approssimazioni) sono gli algoritmi non iterativi più comuni.

L’immagine THz ad alta risoluzione si ottiene dalla deconvoluzione dell’immagine THz e della PSF THz modellata matematicamente. (a) Immagine THz di un circuito integrato (IC) prima del miglioramento; (b) PSF THz modellata matematicamente; (c) Immagine THz ad alta risoluzione che si ottiene come risultato della deconvoluzione dell’immagine THz mostrata in (a) e la PSF che è mostrata in (b); (d) Immagine a raggi X ad alta risoluzione conferma la precisione dei valori misurati.

Per alcuni sistemi di imaging specifici come i sistemi terahertz a impulsi laser, la PSF può essere modellata matematicamente. Come risultato, come mostrato in figura, la deconvoluzione della PSF modellata e l’immagine terahertz può dare una rappresentazione a più alta risoluzione dell’immagine terahertz.

RadioastronomiaModifica

Quando si esegue la sintesi dell’immagine in interferometria radio, un tipo specifico di radioastronomia, un passo consiste nel deconvolvere l’immagine prodotta con il “raggio sporco”, che è un nome diverso per la funzione di diffusione del punto. Un metodo comunemente usato è l’algoritmo CLEAN.

Spettri di assorbimentoModifica

La deconvoluzione è stata applicata ampiamente agli spettri di assorbimento. L’algoritmo di Van Cittert (articolo in tedesco) può essere utilizzato.

Aspetti della trasformata di FourierModifica

La deconvoluzione si traduce nella divisione nel codominio di Fourier. Questo permette alla deconvoluzione di essere facilmente applicata con dati sperimentali che sono soggetti a una trasformata di Fourier. Un esempio è la spettroscopia NMR dove i dati sono registrati nel dominio del tempo, ma analizzati nel dominio della frequenza. La divisione dei dati nel dominio del tempo per una funzione esponenziale ha l’effetto di ridurre la larghezza delle linee lorenziane nel dominio della frequenza.