Análisis complejo

Funciones complejas que son diferenciables en cada punto de un subconjunto abierto Ω {\displaystyle \Omega }

del plano complejo se dice que son holomorfas en Ω {\displaystyle \Omega }

. En el contexto del análisis complejo, la derivada de f {\displaystyle f}

en z 0 {\displaystyle z_{0}}

se define como f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) – f ( z 0 ) z – z 0 . {\displaystyle f'(z_{0})=lim _{z\to z_{0}}{frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}.

Superficialmente, esta definición es formalmente análoga a la de la derivada de una función real. Sin embargo, las derivadas complejas y las funciones diferenciables se comportan de manera significativamente diferente en comparación con sus homólogas reales. En particular, para que este límite exista, el valor del cociente de la diferencia debe acercarse al mismo número complejo, independientemente de la forma en que nos acerquemos a z 0 {\displaystyle z_{0}}.

en el plano complejo. En consecuencia, la diferenciabilidad compleja tiene implicaciones mucho más fuertes que la diferenciabilidad real. Por ejemplo, las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables, mientras que la existencia de la enésima derivada no tiene por qué implicar la existencia de la (n + 1) derivada para las funciones reales. Además, todas las funciones holomorfas satisfacen la condición más fuerte de analiticidad, lo que significa que la función está, en cada punto de su dominio, dada localmente por una serie de potencias convergentes. En esencia, esto significa que las funciones holomorfas en Ω {\displaystyle \Omega }

pueden ser aproximadas arbitrariamente bien por polinomios en alguna vecindad de cada punto de Ω {\displaystyle \Omega }

. Esto contrasta fuertemente con las funciones reales diferenciables; hay funciones reales infinitamente diferenciables que no son analíticas en ninguna parte; véase Función suave no analítica § Una función suave que no es analítica en ninguna parte real.

La mayoría de las funciones elementales, incluyendo la función exponencial, las funciones trigonométricas y todas las funciones polinómicas, se extienden apropiadamente a argumentos complejos como funciones C → C {\displaystyle \mathbb {C} \a \mathbb {C} }

, son holomorfas sobre todo el plano complejo, lo que las convierte en funciones enteras, mientras que las funciones racionales p / q {\displaystyle p/q}

, donde p y q son polinomios, son holomorfas sobre dominios que excluyen puntos donde q es cero. Tales funciones que son holomorfas en todas partes excepto en un conjunto de puntos aislados se conocen como funciones meromorfas. Por otro lado, las funciones z ↦ ℜ ( z ) {\displaystyle z\mapsto \Re (z)}

, z ↦ | z | {\displaystyle z\mapsto |z|}

, y z ↦ z ¯ {\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}

no son holomorfas en ninguna parte del plano complejo, como puede demostrarse porque no satisfacen las condiciones de Cauchy-Riemann (véase más adelante).

Una propiedad importante de las funciones holomorfas es la relación entre las derivadas parciales de sus componentes reales e imaginarias, conocida como las condiciones de Cauchy-Riemann. Si f : C → C {{displaystyle f:\mathbb {C}} \a \mathbb {C} }

, definido por f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}

, donde x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ∈ R {\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\Nen \mathbb {R} }

, es holomorfa en una región Ω {\displaystyle \Omega }

, entonces ( ∂ f / ∂ z ¯ ) ( z 0 ) = 0 {displaystyle (\partial f/\partial {\bar {z}})(z_{0})=0}

debe cumplirse para todo z 0 ∈ Ω {\displaystyle z_{0} en \mega } se define como ( 1 / 2 ) ( ∂ / ∂ x + i ∂ / ∂ y ) {\displaystyle (1/2)(\partial /\partial x+i\partial /\partial y)}

. En términos de las partes real e imaginaria de la función, u y v, esto es equivalente al par de ecuaciones u x = v y {\displaystyle u_{x}=v_{y}}

y u y = – v x {{displaystyle u_{y}=-v_{x}}

, donde los subíndices indican diferenciación parcial. Sin embargo, las condiciones de Cauchy-Riemann no caracterizan las funciones holomorfas, sin condiciones de continuidad adicionales (véase el teorema de Looman-Menchoff).

Las funciones holomorfas presentan algunas características notables. Por ejemplo, el teorema de Picard afirma que el rango de una función entera sólo puede adoptar tres formas posibles: C {\displaystyle \mathbb {C} }

, C ∖ { z 0 } {\displaystyle \mathbb {C} |z_{0}}

, o {z 0 } {{displaystyle}} {{z_{0}}

para algún z 0 ∈ C {{pantalla de estilo z_{0}} en {mathbb {C}} }

. En otras palabras, si dos números complejos distintos z {\displaystyle z}

y w {\displaystyle w}

no están en el rango de una función entera f {\displaystyle f}

, entonces f {\displaystyle f}

es una función constante. Además, una función holomorfa sobre un conjunto abierto conexo está determinada por su restricción a cualquier subconjunto abierto no vacío.