Anche se sia Cartesio che Fermat suggerirono di usare tre coordinate per studiare curve e superfici nello spazio, la geometria analitica tridimensionale si sviluppò lentamente fino al 1730 circa, quando i matematici svizzeri Leonhard Euler e Jakob Hermann e il matematico francese Alexis Clairaut produssero equazioni generali per cilindri, coni e superfici di rivoluzione. Per esempio, Euler e Hermann mostrarono che l’equazione f(z) = x2 + y2 dà la superficie che si produce ruotando la curva f(z) = x2 attorno all’asse z (vedi la figura, che mostra il paraboloide ellittico z = x2 + y2).
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Newton fece la notevole affermazione che tutti i cubi piani derivano da quelli nella sua terza forma standard per proiezione tra piani. Questo fu dimostrato indipendentemente nel 1731 da Clairaut e dal matematico francese François Nicole. Clairaut ottenne tutte le cubiche delle quattro forme standard di Newton come sezioni della cubica conezy2 = ax3 + bx2z + cxz2 + dz3 costituita dalle linee nello spazio che uniscono l’origine (0, 0, 0) ai punti della terza cubica standard nel piano z = 1.
Nel 1748 Euler utilizzò le equazioni di rotazione e traslazione nello spazio per trasformare la superficie quadrica generaleax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0 in modo che i suoi assi principali coincidano con gli assi delle coordinate. Euler e i matematici francesi Joseph-Louis Lagrange e Gaspard Monge hanno reso la geometria analitica indipendente dalla geometria sintetica (non analitica).
Analisi vettoriale
Nello spazio euclideo di qualsiasi dimensione, i vettori – segmenti di linea diretti – possono essere specificati da coordinate. Una n-tupla (a1, …, an) rappresenta il vettore nello spazio n-dimensionale che si proietta sui numeri reali a1, …, an sugli assi delle coordinate.
Nel 1843 il matematico-astronomo irlandese William Rowan Hamilton rappresentò algebricamente i vettori quadridimensionali e inventò i quaternioni, la prima algebra non commutativa ad essere ampiamente studiata. Moltiplicando i quaternioni con una coordinata zero, Hamilton scoprì le operazioni fondamentali sui vettori. Tuttavia, i fisici matematici trovarono la notazione usata nell’analisi vettoriale più flessibile – in particolare, è facilmente estendibile a spazi infiniti-dimensionali. I quaternioni rimasero interessanti dal punto di vista algebrico e furono incorporati negli anni ’60 in alcuni nuovi modelli di fisica delle particelle.
Proiezioni
Con la crescita esponenziale della potenza di calcolo facilmente disponibile negli ultimi decenni del XX secolo, l’animazione al computer e la progettazione assistita dal computer divennero onnipresenti. Queste applicazioni sono basate sulla geometria analitica tridimensionale. Le coordinate sono usate per determinare i bordi o le curve parametriche che formano i confini delle superfici degli oggetti virtuali. L’analisi vettoriale è usata per modellare l’illuminazione e determinare ombreggiature realistiche delle superfici.
Già nel 1850, Julius Plücker aveva unito la geometria analitica e proiettiva introducendo coordinate omogenee che rappresentano punti nel piano euclideo (vedi geometria euclidea) e all’infinito in modo uniforme come triple. Le trasformazioni proiettive, che sono cambiamenti lineari invertibili delle coordinate omogenee, sono date dalla moltiplicazione di matrici. Questo permette ai programmi di computer grafica di cambiare in modo efficiente la forma o la vista degli oggetti raffigurati e di proiettarli dallo spazio virtuale tridimensionale allo schermo di visualizzazione bidimensionale.
Robert Alan BixHarry Joseph D’Souza