Calcolo della costante gravitazionale, con modello di apparato di accompagnamento.
Cosa mostra
L’attrazione gravitazionale tra sfere di piombo. I dati della dimostrazione possono anche essere usati per calcolare la costante gravitazionale universale G.
Foto per gentile concessione di Clive Grainger
Come funziona
L’apparato Cavendish consiste fondamentalmente in due coppie di sfere, ogni coppia formando manubri che hanno un asse girevole comune (figura 1). Un manubrio è sospeso a una fibra di quarzo ed è libero di ruotare torcendo la fibra; la quantità di torsione è misurata dalla posizione di un punto luminoso riflesso da uno specchio collegato alla fibra. Il secondo manubrio può essere ruotato in modo che ognuna delle sue sfere sia in prossimità di una delle sfere dell’altro manubrio; l’attrazione gravitazionale tra due serie di sfere torce la fibra, ed è la misura di questa torsione che permette di calcolare la grandezza della forza gravitazionale.
figura 1. I manubri gemelli dell’esperimento Cavendish
L’apparato Cavendish che usiamo attualmente è costruito dalla PASCO. 1 La fibra di quarzo e il manubrio più piccolo sono racchiusi in una cassa di metallo con una finestra di vetro per la protezione. Una vista in pianta delle sfere e le dimensioni sono date nella figura 2. Un laser HeNe è usato per fornire la riflessione del punto. Quando l’apparato è usato quantitativamente, il metodo del tempo di oscillazione è solitamente impiegato per calcolare G.
figura 2. Vista in pianta del layout del doppio manubrio
Il grande manubrio è ruotato sul suo asse in modo che le sfere premano contro lo schermo di vetro accanto alle sfere più piccole (vedi figura 2). L’attrazione gravitazionale tra le sfere esercita una coppia sulla fibra di quarzo che si torce attraverso un piccolo angolo. La posizione dello spot riflesso viene annotata e il manubrio grande viene spostato nella sua seconda posizione dall’altra parte del vetro; l’attrazione gravitazionale fa girare la fibra nella direzione opposta. Si nota il tempo di risposta dello spot per spostarsi nella seconda posizione e la posizione finale dello spot. La velocità con cui la fibra può rispondere allo spostamento dipende dalla sua costante di torsione κ, che può essere calcolata misurando il periodo di oscillazione della fibra,
La coppia applicata dovuta all’attrazione gravitazionale τ=κθ dove θ è l’angolo massimo di deflessione dello spot luminoso. A questa deflessione massima, la forza tra una sfera grande e una sfera piccola è
dove r è la distanza tra i centri delle sfere. Essa è legata alla coppia da τ=F(L/2) dove L è la lunghezza del piccolo manubrio. Quindi la costante gravitazionale può essere calcolata da
Nota che, quando lo specchio gira attraverso un angolo θ, la luce riflessa si muove attraverso 2θ. Quindi, invertendo il manubrio si misura un angolo di 4θ.
I dati per questo particolare apparato sono riportati nella tabella 1.
tabella 1. Dati dell’apparecchio Cavendish
| costante di torsione κ | 3.10 ± 0.10 x 10-8 N m (calcolato dalle specifiche PASCO e dalla misurazione diretta) |
| periodo di oscillazione T | 498.2 ± 6.0 s (dalla misurazione diretta) |
| max. angolo di escursione | meno di 5 x 10-2 radianti, o meno di 3 gradi (dalla misurazione diretta) quando grandi masse vengono spostate da una posizione all’altra |
| angolo di equilibrio θ | 5,40 x 10-3 radianti ± 15% (dalla misurazione diretta) |
| separazione sfere piccole r | da specifica PASCO 46,5 mm quando la massa grande è contro la cassa e la sfera piccola è in posizione centrale all’interno della cassa. Si noti che la precisione di questo valore dipende da quanto bene la bilancia è centrata nella cassa. |
| massa della sfera grande M | 1500 g (dalla specifica) |
| massa della sfera piccola m | 38,3 ± 0.2 g (da specifica) |
| distanza dal centro della piccola massa all’asse di torsione | 50 mm (da specifica) |
Impostazione:
Questo esperimento utilizza un apparecchio molto sensibile che richiede pazienza e finezza per impostare correttamente. Consulta la stampa del manuale utente PASCO nella cartella blu “Cavendish Experiment” nello schedario.
- Prima di tutto trova una piattaforma stabile e mettila nella sala conferenze. Anche se la bilancia ha dei piedi che possono essere regolati per renderla piana, per ottenere i migliori risultati la piattaforma dovrebbe essere ragionevolmente piana.
- La bilancia PASCO attualmente in uso è molto sensibile, quindi per evitare di danneggiare il nastro di torsione durante il trasporto, l’apparecchio dovrebbe essere portato con cautela nell’aula e collocato sulla piattaforma.
- Rimuovere la piastra frontale della bilancia per esporre il piccolo manubrio e i bracci di supporto regolabili che lo immobilizzano durante il trasporto. Abbassare i bracci di supporto in modo che non interferiscano con i manubri. Regolare i piedi in modo che l’intero apparecchio sia in piano e rimettere la piastra frontale.
- Utilizzare il filo giallo per mettere a terra elettricamente l’apparecchio. Posizionare le grandi masse nella posizione “neutra” in modo che siano perpendicolari con le piccole masse all’interno.
- A questo punto il manubrio si sta probabilmente muovendo un po’ all’interno della cassa; come l’equilibrio si assesta, impostare il laser alla distanza e all’angolo appropriati per il pubblico.
- Le vibrazioni del manubrio di solito si smorzano dopo circa 20 minuti. Per un’installazione più veloce, i movimenti possono essere smorzati alzando e abbassando lentamente i bracci di supporto. Se dopo l’assestamento il manubrio continua a cambiare direzione bruscamente, questo significa che l’equilibrio torsionale del nastro si è allontanato troppo da dove dovrebbe essere, e il nastro ha bisogno di essere “azzerato.”
- Per azzerare la bilancia, iniziare allentando con attenzione la vite a testa zigrinata che sporge dalla parte superiore dell’albero principale. Sempre vicino alla parte superiore, la grande manopola rotonda attaccata alla cinghia elastica serve per cambiare la direzione del nastro (notare che c’è una manopola di regolazione fine e una grossolana). Aspettate che il manubrio abbia fatto tutta la sua escursione nella direzione della regolazione necessaria per minimizzare l’oscillazione aggiunta. Stringere nuovamente la vite (non troppo stretta) e smorzare il manubrio vibrante come necessario. Ripetere fino all’azzeramento.
 |
 |
L’apparato fu originariamente inventato dal reverendo John Michell nel 1795 per misurare le vibrazioni. John Michell nel 1795 per misurare la densità della Terra, e fu modificato da Henry Cavendish nel 1798 per misurare G. Nel 1785 Coulomb usò un apparecchio simile per misurare la forza elettrostatica tra palline cariche. A parte il significato storico dell’esperimento, è davvero bello vedere che si può misurare una forza così incredibilmente debole usando un dispositivo così semplice.
In una sala conferenze l’apparecchio di Cavendish è troppo piccolo perché il pubblico possa vederne il funzionamento. Un modello in grande scala del manubrio e dei componenti in fibra è una buona idea per aiutare a spiegare cosa sta succedendo. Abbiamo costruito un tale modello in legno e ottone, con un braccio del manubrio lungo 50 cm e il manubrio piccolo appeso a un filo di rame. Le sfere più grandi, in legno, hanno magneti incorporati e le sfere più piccole, in polistirolo, hanno cuscinetti a sfera in acciaio al loro centro.
1. M.H.Shamos, Great Experiments in Physics, (Henry Holt & Co. New York 1959) p.75, contiene il documento originale di Cavendish
2. R.E. Crandall, Am J Phys 54, 367, 1983.
3. J.Cl. Dousse e C. Rheme, Am J Phys 55, 706, 1987.
4. Y.T. Chen e A. Cook, Gravitational Experiments in the Laboratory, (Cambridge University Press, 1993).
5. C. A. Coulomb, Premiere Memoire sur l’electricite et le Magnetisme, Histoire de l’Academie Royale des Sciences, 569-577 (1785).
1 disponibile presso CENCO 33210C, e PASCO SE-9633