Komplex függvények, amelyek egy Ω {\displaystyle \Omega } nyitott részhalmaz minden pontján differenciálhatók.
a komplex síkban holomorfnak mondjuk Ω {\displaystyle \Omega }-on.
. A komplex analízisben az f {\displaystyle f} deriváltja
z 0-nál {\displaystyle z_{0}}
f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) – f ( z 0 ) z – z 0 . {\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}
Felületesen ez a definíció formálisan analóg a valós függvény deriváltjának definíciójával. A komplex deriváltak és differenciálható függvények azonban lényegesen másképp viselkednek, mint valós társaik. Különösen, ahhoz, hogy ez a határérték létezzen, a differenciahányados értékének ugyanahhoz a komplex számhoz kell közelítenie, függetlenül attól, hogy milyen módon közelítjük meg z 0 {\displaystyle z_{0}}
a komplex síkban. Következésképpen a komplex differenciálhatóság sokkal erősebb következményekkel jár, mint a valós differenciálhatóság. Például a holomorf függvények végtelenül differenciálhatók, míg valós függvények esetén az n-edik derivált létezése nem feltétlenül jelenti az (n + 1)-edik derivált létezését. Továbbá minden holomorf függvény teljesíti az analitikusság erősebb feltételét, ami azt jelenti, hogy a függvényt a tartományának minden pontján lokálisan egy konvergens hatványsor adja. Lényegében ez azt jelenti, hogy az Ω {\displaystyle \Omega }
tetszőlegesen jól közelíthetők polinomokkal az Ω {\displaystyle \Omega } minden pontjának valamelyik szomszédságában.
. Ez éles ellentétben áll a differenciálható valós függvényekkel; vannak végtelenül differenciálható valós függvények, amelyek sehol sem analitikusak; lásd Nem analitikus sima függvény § A smooth function which is nowhere real analytic.
A legtöbb elemi függvény, beleértve az exponenciális függvényt, a trigonometrikus függvényeket és az összes polinomfüggvényt, megfelelően kiterjesztve komplex argumentumokra, mint C → C függvények {\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }
, holomorfikusak a teljes komplex síkon, tehát egész függvények, míg a p / q racionális függvények {\displaystyle p/q}
, ahol p és q polinomok, holomorfok olyan tartományokon, amelyek kizárják azokat a pontokat, ahol q nulla. Az ilyen függvényeket, amelyek egy izolált ponthalmaz kivételével mindenhol holomorfikusak, meromorf függvényeknek nevezzük. Másrészt, a z ↦ ℜ ( z ) függvények {\displaystyle z\mapsto \Re (z)}
, z ↦ | z | z | {\displaystyle z\mapsto |z|}
, és z ↦ z ¯ {\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}
nem holomorfikusak sehol a komplex síkon, amint az a Cauchy-Riemann-feltételek (lásd alább) nem teljesüléséből látható.
A holomorf függvények fontos tulajdonsága a valós és képzetes összetevőik parciális deriváltjai közötti kapcsolat, amelyet Cauchy-Riemann-feltételeknek nevezünk. Ha f : C → C {\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }
, definíciója: f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}
, ahol x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ∈ R {\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} }
, holomorfikus egy Ω {\displaystyle \Omega } területen.
, akkor ( ∂ f / ∂ z ¯ ) ( z 0 ) = 0 {\displaystyle (\partial f/\partial {\bar {z}})(z_{0})=0}
minden z 0 ∈ Ω {\displaystyle z_{0}\in \Omega } esetén érvényesnek kell lennie.
. Itt a differenciáloperátor ∂ / ∂ z ¯ {\displaystyle \partial /\partial {\bar {z}}}
a következőképpen határozható meg: ( 1 / 2 ) ( ∂ / ∂ x + i ∂ / ∂ y ) {\displaystyle (1/2)(\partial /\partial x+i\partial /\partial y)}
. A függvény valós és képzetes részei, u és v szempontjából ez egyenértékű az u x = v y egyenletpárral {\displaystyle u_{x}=v_{y}}
és u y = – v x {\displaystyle u_{y}=-v_{x}}}
, ahol az indexek a részleges differenciálást jelzik. A Cauchy-Riemann-feltételek azonban további folytonossági feltételek nélkül nem jellemzik a holomorf függvényeket (lásd Looman-Menchoff-tétel).
A holomorf függvények néhány figyelemre méltó tulajdonságot mutatnak. Például Picard tétele azt állítja, hogy egy egész függvény tartománya csak három lehetséges alakot vehet fel: C {\displaystyle \mathbb {C} }
, C ∖ { z 0 } {\displaystyle \mathbb {C} \\smallsetminus \{z_{0}\}}
, vagy { z 0 } {\displaystyle \{z_{0}\}}
bizonyos z 0 ∈ C {\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }
. Más szóval, ha két különböző komplex szám z {\displaystyle z}
és w {\displaystyle w}
nem egy egész f {\displaystyle f} függvény tartományában vannak.
, akkor f {\displaystyle f}
egy konstans függvény. Továbbá, egy holomorf függvényt egy összefüggő nyílt halmazon a korlátozása bármely nem üres nyílt részhalmazra határozza meg.