Insieme di Cantor

CardinalitàModifica

Si può dimostrare che ci sono tanti punti lasciati indietro in questo processo quanti ce n’erano all’inizio, e che quindi l’insieme di Cantor non è numerabile. Per vedere questo, mostriamo che c’è una funzione f dall’insieme di Cantor C {displaystyle {\mathcal {C}}}

all’intervallo chiuso che è surgiettiva (cioè f mappa da C {\displaystyle {\mathcal {C}}

su ) in modo che la cardinalità di C {\displaystyle {\mathcal {C}}

non è inferiore a quella di . Poiché C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

è un sottoinsieme di , anche la sua cardinalità non è maggiore, quindi le due cardinalità devono in effetti essere uguali, per il teorema di Cantor-Bernstein-Schröder.

Per costruire questa funzione, considerate i punti dell’intervallo in termini di notazione in base 3 (o ternaria). Ricordiamo che le frazioni proprie ternarie, più precisamente: gli elementi di ( Z ∖ { 0 } ) ⋅ 3 – N 0 {\displaystyle {\bigl (}mathbb {Z} \smallsetminus \0}{bigr )}cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}

, ammettono più di una rappresentazione in questa notazione, come ad esempio 1/3, che può essere scritto come 0,13 = 0,103, ma anche come 0,0222…3 = 0,023, e 2/3, che può essere scritto come 0,23 = 0.203 ma anche come 0,1222…3 = 0,123.Quando togliamo il terzo centrale, questo contiene i numeri con numeri ternari della forma 0,1xxxxx…3 dove xxxxx…3 è strettamente tra 00000…3 e 22222…3. Quindi i numeri che rimangono dopo il primo passo sono

• Numeri della forma 0,0xxxxx…3 (compreso 0,022222…3 = 1/3)
• Numeri della forma 0,2xxxxx…3 (compreso 0,222222…3 = 1)

Questo può essere riassunto dicendo che quei numeri con una rappresentazione ternaria tale che la prima cifra dopo il punto radix non è 1 sono quelli che rimangono dopo il primo passo.

Il secondo passo elimina i numeri della forma 0,01xxxx…3 e 0,21xxxx…3, e (con le dovute attenzioni per i punti finali) si può concludere che i numeri rimanenti sono quelli con una numerazione ternaria in cui nessuna delle prime due cifre è 1.

Continuando in questo modo, perché un numero non sia escluso al passo n, deve avere una rappresentazione ternaria la cui ennesima cifra non sia 1. Perché un numero sia nell’insieme di Cantor, non deve essere escluso a nessun passo, deve ammettere una rappresentazione numerica composta interamente da 0 e 2.

Va sottolineato che numeri come 1, 1/3 = 0,13 e 7/9 = 0,213 sono nell’insieme di Cantor, poiché hanno numeri ternari composti interamente da 0 e 2: 1 = 0,222…3 = 0,23, 1/3 = 0,0222…3 = 0,023 e 7/9 = 0,20222…3 = 0,2023.Tutti questi ultimi numeri sono “punti finali”, e questi esempi sono punti limite destro di C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

. Lo stesso vale per i punti limite di sinistra di C {\displaystyle {\mathcal {C}}

, per esempio 2/3 = 0,1222…3 = 0,123 = 0,203 e 8/9 = 0,21222…3 = 0,2123 = 0,2203. Tutti questi estremi sono frazioni ternarie proprie (elementi di Z ⋅ 3 – N 0 {\displaystyle \mathbb {Z} \cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}

) della forma p/q, dove il denominatore q è una potenza di 3 quando la frazione è nella sua forma irriducibile. La rappresentazione ternaria di queste frazioni termina (cioè è finita) o – ricordiamo da sopra che le frazioni ternarie proprie hanno 2 rappresentazioni ciascuna – è infinita e “finisce” o in infiniti 0 ricorrenti o infiniti 2 ricorrenti. Una tale frazione è un punto limite sinistro di C {displaystyle {mathcal {C}}

se la sua rappresentazione ternaria non contiene 1 e “finisce” in infiniti 0 ricorrenti. Allo stesso modo, una frazione ternaria corretta è un punto limite destro di C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

se ancora una volta la sua espansione ternaria non contiene 1 e “finisce” in infiniti 2 ricorrenti.

Questo insieme di punti terminali è denso in C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

(ma non denso in ) e costituisce un insieme numericamente infinito. I numeri in C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

che non sono punti finali hanno anche solo 0 e 2 nella loro rappresentazione ternaria, ma non possono finire in una ripetizione infinita della cifra 0, né della cifra 2, perché allora sarebbe un punto finale.

La funzione di C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

a è definita prendendo i numeri ternari che consistono interamente di 0 e 2, sostituendo tutti i 2 con 1 e interpretando la sequenza come una rappresentazione binaria di un numero reale. In una formula, f ( ∑ k ∈ N a k 3 – k ) = ∑ k ∈ N a k 2 2 – k {\displaystyle f{bigg (}somma _{k\ in \mathbb {N} }a_{k}3^{-k}{bigg )}=somma _{k\ in \mathbb {N} {\frac {a_{k}}{2}}2^{-k}}

dove ∀ k ∈ N : a k ∈ { 0 , 2 } . {per tutti i k in \mathbb {N} :a_{k} in \0,2}.

Per qualsiasi numero y in , la sua rappresentazione binaria può essere tradotta in una rappresentazione ternaria di un numero x in C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

sostituendo tutti gli 1 con 2. Con questo, f(x) = y in modo che y sia nell’intervallo di f. Per esempio se y = 3⁄5 = 0.100110011001…2 = 0.1001, scriviamo x = 0.2002 = 0.200220022002…3 = 7⁄10. Di conseguenza, f è surgiettiva. Tuttavia, f non è iniettiva – i valori per cui f(x) coincide sono quelli alle estremità opposte di uno dei terzi centrali rimossi. Per esempio, prendiamo 1⁄3 = 0,023 (che è un punto limite destro di C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

e un punto limite sinistro del terzo medio) e 2⁄3 = 0,203 (che è un punto limite sinistro di C {\mathcal {C}}

e un punto limite destro del terzo medio)

quindi

f ( 1 / 3 ) = f ( 0,0 2 ¯ 3 ) = 0,0 1 ¯ 2 = 0,1 2 = 0,1 0 ¯ 2 = f ( 0,2 0 ¯ 3 ) = f ( 2 / 3 ) . ∥ 1 / 2 {\displaystyle {\begin{array}{lcl}f{\bigl (}^{1}}!\!/\!_{3}{\bigr )}=f(0,0{overline {2}}{3})=0,0{overline {1}}_{2}=======3779>{3779>{3779>=0,1_{2}!\!&\!\!=0.1{\overline {0}}_{2}=f(0.2{\overline {0}}_{3})=f{\bigl (}{}^{2}\!\!/\!_{3}{\bigr )}.\\&\parallel \\&{}^{1}\!\!/\!_{2}\end{array}}}

Quindi ci sono tanti punti nell’insieme di Cantor quanti sono nell’intervallo (che ha la cardinalità innominabile c = 2 ℵ 0 {\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{aleph _{0}}}

). Tuttavia, l’insieme dei punti finali degli intervalli rimossi è numerabile, quindi ci devono essere innumerevoli numeri nell’insieme di Cantor che non sono punti finali degli intervalli. Come notato sopra, un esempio di un tale numero è 1⁄4, che può essere scritto come 0,020202…3 = 0,02 in notazione ternaria. Infatti, dato un qualsiasi a ∈ {displaystyle a\in }

, esistono x , y ∈ C {displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}

tali che a = y – x {\displaystyle a=y-x}

. Questo fu dimostrato per la prima volta da Steinhaus nel 1917, che dimostrò, attraverso un argomento geometrico, l’equivalente affermazione che { ( x , y ) ∈ R 2 | y = x + a } ( C × C ) ∩ ∅ ≠ ∅ \displaystyle \(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},|\,y=x+a\}};\cap \;({\mathcal {C}})\neq \emptyset }

per ogni a ∈ {displaystyle a\in }

. Dato che questa costruzione fornisce un’iniezione da {\displaystyle }

a C × C {\displaystyle {\mathcal {C}}times {\mathcal {C}}

, abbiamo | C × C | ≥ | | = c {displaystyle |{\mathcal {C}}times {\mathcal {C}|geq ||={\mathfrak {c}}}

come corollario immediato. Assumendo che A × A = A = A

per qualsiasi insieme infinito A {displaystyle A}

(un’affermazione che Tarski ha dimostrato essere equivalente all’assioma della scelta), questo fornisce un’altra dimostrazione che | C | = c {\displaystyle |{{mathcal {C}|={mathfrak {c}}}

.

L’insieme di Cantor contiene tanti punti quanti sono gli intervalli da cui è tratto, ma non contiene alcun intervallo di lunghezza diversa da zero. I numeri irrazionali hanno la stessa proprietà, ma l’insieme di Cantor ha l’ulteriore proprietà di essere chiuso, quindi non è nemmeno denso in nessun intervallo, a differenza dei numeri irrazionali che sono densi in ogni intervallo.

Si è congetturato che tutti i numeri irrazionali algebrici siano normali. Poiché i membri dell’insieme di Cantor non sono normali, questo implicherebbe che tutti i membri dell’insieme di Cantor sono o razionali o trascendentali.

Similarità

L’insieme di Cantor è il prototipo di un frattale. È autosimile, perché è uguale a due copie di se stesso, se ogni copia è rimpicciolita di un fattore 3 e traslata. Più precisamente, l’insieme di Cantor è uguale all’unione di due funzioni, le trasformazioni di autosimilarità sinistra e destra di se stesso, T L ( x ) = x / 3 {\displaystyle T_{L}(x)=x/3}

e T R ( x ) = ( 2 + x ) / 3 {displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}

, che lasciano l’insieme di Cantor invariante fino all’omeomorfismo: T L ( C ) ≅ T R ( C ) ≅ C = T L ( C ) ∪ T R ( C ) . {\displaystyle T_{L}({\mathcal {C}})\cong T_{R}({\mathcal {C}})\cong {mathcal {C}=T_{L}({mathcal {C}})\cup T_{R}({mathcal {C}}).}

Ripetuta iterazione di T L {\displaystyle T_{L}}

e T R {displaystyle T_{R}

possono essere visualizzati come un albero binario infinito. Cioè, ad ogni nodo dell’albero, si può considerare il sottoalbero a sinistra o a destra. Prendendo l’insieme { T L , T R } {\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}}

insieme alla composizione di funzioni forma un monoide, il monoide diadico.

Gli automorfismi dell’albero binario sono le sue rotazioni iperboliche, e sono dati dal gruppo modulare. Così, l’insieme di Cantor è uno spazio omogeneo nel senso che per qualsiasi due punti x {displaystyle x}

e y {displaystyle y}

nell’insieme di Cantor C {displaystyle {\mathcal {C}}}

, esiste un omeomorfismo h : C → C {\displaystyle h:{\mathcal {C} a {\mathcal {C}}}

con h ( x ) = y {displaystyle h(x)=y}

. Una costruzione esplicita di h {\displaystyle h}

può essere descritta più facilmente se vediamo l’insieme di Cantor come uno spazio prodotto di numerosissime copie dello spazio discreto { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}}

. Allora la mappa h : { 0 , 1 } N → { 0 , 1 } N {displaystyle h:{0,1}^{mathbb {N} a \0,1}^{mathbb {N} }}

definito da h n ( u ) := u n + x n + y n mod 2 {displaystyle h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}\mod 2}

è un omeomorfismo involutivo che scambia x {displaystyle x}

e y {displaystyle y}

.

Legge di conservazioneModifica

Si è scoperto che una qualche forma di legge di conservazione è sempre responsabile della scalarità e dell’autosimilarità. Nel caso dell’insieme di Cantor si può vedere che la d f {displaystyle d_{f}}

il terzo momento (dove d f = ln ( 2 ) / ln ( 3 ) {displaystyle d_{f}=\ln(2)/\ln(3)}

è la dimensione frattale) di tutti gli intervalli superstiti in qualsiasi fase del processo di costruzione è uguale alla costante che è uguale a uno nel caso dell’insieme di Cantor. Sappiamo che ci sono N = 2 n {displaystyle N=2^{n}}

intervalli di dimensione 1 / 3 n {\displaystyle 1/3^{n}}

presenti nel sistema alla n {displaystyle n}

al terzo passo della sua costruzione. Allora se etichettiamo gli intervalli sopravvissuti come x 1 , x 2 , … , x 2 n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2^{n}}

allora la d f {displaystyle d_{f}}

il terzo momento è x 1 d f + x 2 d f + ⋯ + x 2 n d f = 1 {displaystyle x_{1}^{d_{f}+x_{2}^{d_{f}}+\cdots +x_{2^{n}}^{d_{f}=1}

poiché x 1 = x 2 = ⋯ = x 2 n = 1 / 3 n { {displaystyle x_{1}=x_{2}=cdots =x_{2^{n}=1/3^{n}

.

La dimensione Hausdorff dell’insieme di Cantor è uguale a ln(2)/ln(3) ≈ 0,631.

Proprietà topologiche e analiticheModifica

Anche se “l'” insieme di Cantor si riferisce tipicamente all’originale, Cantor di mezzo descritto sopra, i topologi spesso parlano di “un” insieme di Cantor, che significa qualsiasi spazio topologico che è omeomorfo (topologicamente equivalente) ad esso.

Come mostra l’argomento della somma di cui sopra, l’insieme di Cantor non è numerabile ma ha misura di Lebesgue 0. Poiché l’insieme di Cantor è il complemento di un’unione di insiemi aperti, esso stesso è un sottoinsieme chiuso dei reali, e quindi uno spazio metrico completo. Poiché è anche totalmente delimitato, il teorema di Heine-Borel dice che deve essere compatto.

Per ogni punto dell’insieme di Cantor e per ogni quartiere arbitrariamente piccolo del punto, c’è qualche altro numero con un numero ternario di soli 0 e 2, così come numeri i cui numeri ternari contengono 1. Quindi, ogni punto dell’insieme di Cantor è un punto di accumulazione (chiamato anche punto cluster o punto limite) dell’insieme di Cantor, ma nessuno è un punto interno. Un insieme chiuso in cui ogni punto è un punto di accumulazione è anche chiamato un insieme perfetto in topologia, mentre un sottoinsieme chiuso dell’intervallo senza punti interni non è da nessuna parte denso nell’intervallo.

Ogni punto dell’insieme di Cantor è anche un punto di accumulazione del complemento dell’insieme di Cantor.

Per ogni due punti dell’insieme di Cantor, ci sarà qualche cifra ternaria dove differiscono – uno avrà 0 e l’altro 2. Dividendo l’insieme di Cantor in “metà” a seconda del valore di questa cifra, si ottiene una partizione dell’insieme di Cantor in due insiemi chiusi che separano i due punti originali. Nella topologia relativa dell’insieme di Cantor, i punti sono stati separati da un insieme chiuso. Di conseguenza, l’insieme di Cantor è totalmente disconnesso. Come spazio compatto di Hausdorff totalmente disconnesso, l’insieme di Cantor è un esempio di spazio di Stone.

Come spazio topologico, l’insieme di Cantor è naturalmente omeomorfo al prodotto di numerosissime copie dello spazio { 0 , 1 } {displaystyle \{0,1\}}

, dove ogni copia porta la topologia discreta. Questo è lo spazio di tutte le sequenze in due cifre 2 N = { ( x n ) ∣ x n ∈ { 0 , 1 } per n ∈ N } {displaystyle 2^{mathbb {N} {(x_{n})\mid x_{n} in \0,1{{testo{per}n in \mathbb {N} \}}

,

che può anche essere identificato con l’insieme degli interi 2-adici. La base per gli insiemi aperti della topologia del prodotto sono gli insiemi cilindrici; l’omeomorfismo li mappa alla topologia del sottospazio che l’insieme di Cantor eredita dalla topologia naturale sulla linea dei numeri reali. Questa caratterizzazione dello spazio di Cantor come prodotto di spazi compatti fornisce una seconda prova che lo spazio di Cantor è compatto, attraverso il teorema di Tychonoff.

Da questa caratterizzazione, l’insieme di Cantor è omeomorfo agli interi p-adici e, se un punto viene rimosso da esso, ai numeri p-adici.

L’insieme di Cantor è un sottoinsieme dei reali, che sono uno spazio metrico rispetto alla metrica della distanza ordinaria; quindi l’insieme di Cantor stesso è uno spazio metrico, usando quella stessa metrica. In alternativa, si può usare la metrica p-adica su 2 N {displaystyle 2^{mathbb {N} }}

: date due sequenze ( x n ) , ( y n ) ∈ 2 N {\displaystyle (x_{n}),(y_{n})\nel 2^{mathbb {N} }}

, la distanza tra loro è d ( ( x n ) , ( y n ) ) = 2 – k {\displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}

, dove k {displaystyle k}

è il più piccolo indice tale che x k ≠ y k {\displaystyle x_{k}neq y_{k}}

; se non esiste un tale indice, allora le due sequenze sono uguali, e si definisce che la distanza è zero. Queste due metriche generano la stessa topologia sull’insieme di Cantor.

Abbiamo visto sopra che l’insieme di Cantor è uno spazio metrico compatto perfetto totalmente disconnesso. In effetti, in un certo senso è l’unico: ogni spazio metrico compatto perfetto totalmente disconnesso non vuoto è omeomorfo all’insieme di Cantor. Vedi Spazio di Cantor per saperne di più sugli spazi omeomorfi all’insieme di Cantor.

L’insieme di Cantor è talvolta considerato “universale” nella categoria degli spazi metrici compatti, poiché ogni spazio metrico compatto è un’immagine continua dell’insieme di Cantor; tuttavia questa costruzione non è unica e quindi l’insieme di Cantor non è universale in senso categorico preciso. La proprietà “universale” ha importanti applicazioni nell’analisi funzionale, dove è talvolta nota come teorema di rappresentazione per gli spazi metrici compatti.

Per qualsiasi intero q ≥ 2, la topologia sul gruppo G=Zqω (la somma diretta numerabile) è discreta. Sebbene il duale di Pontrjagin Γ sia anche Zqω, la topologia di Γ è compatta. Si può vedere che Γ è totalmente disconnesso e perfetto – quindi è omeomorfo all’insieme di Cantor. È più facile scrivere esplicitamente l’omeomorfismo nel caso q=2. (Vedi Rudin 1962 p 40.)

La media geometrica dell’insieme di Cantor è approssimativamente 0,274974.

Misura e probabilitàModifica

L’insieme di Cantor può essere visto come il gruppo compatto di sequenze binarie, e come tale, è dotato di una misura naturale di Haar. Se normalizzato in modo che la misura dell’insieme sia 1, è un modello di una sequenza infinita di lanci di monete. Inoltre, si può dimostrare che la solita misura di Lebesgue sull’intervallo è un’immagine della misura di Haar sull’insieme di Cantor, mentre l’iniezione naturale nell’insieme ternario è un esempio canonico di una misura singolare. Si può anche dimostrare che la misura di Haar è un’immagine di qualsiasi probabilità, rendendo l’insieme di Cantor uno spazio di probabilità universale in qualche modo.

Nella teoria della misura di Lebesgue, l’insieme di Cantor è un esempio di un insieme che non è numerabile e ha misura zero.

Numeri di CantorModifica

Se definiamo un numero di Cantor come un membro dell’insieme di Cantor, allora

• (1) Ogni numero reale in è la somma di due numeri di Cantor.
• (2) Tra due numeri di Cantor qualsiasi c’è un numero che non è un numero di Cantor.

Teoria descrittiva degli insiemiModifica

L’insieme di Cantor è un insieme scarno (o un insieme di prima categoria) come sottoinsieme di (anche se non come sottoinsieme di se stesso, poiché è uno spazio Baire). L’insieme di Cantor dimostra così che le nozioni di “grandezza” in termini di cardinalità, misura e categoria (Baire) non devono necessariamente coincidere. Come l’insieme Q ∩ {displaystyle \mathbb {Q} \cap }

, l’insieme di Cantor C {\displaystyle {\mathcal {C}}

è “piccolo” nel senso che è un insieme nullo (un insieme di misura zero) ed è un misero sottoinsieme di . Tuttavia, a differenza di Q ∩ {\displaystyle \mathbb {Q} \cap }

, che è numerabile e ha una cardinalità “piccola”, ℵ 0 {displaystyle \aleph _{0}}

, la cardinalità di C {\displaystyle {\mathcal {C}}

è uguale a quella di , il continuo c {displaystyle {mathfrak {c}}

, ed è “grande” nel senso di cardinalità. Infatti, è anche possibile costruire un sottoinsieme di che è scarso ma di misura positiva e un sottoinsieme che non è scarso ma di misura zero: Prendendo l’unione numerabile degli insiemi “grassi” di Cantor C ( n ) {displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}

di misura λ = ( n – 1 ) / n {\displaystyle \lambda =(n-1)/n}

(vedi sotto l’insieme Smith-Volterra-Cantor per la costruzione), otteniamo un insieme A := ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {A}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}^{(n)}}

che ha una misura positiva (uguale a 1) ma è scarso in , poiché ogni C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {C}^{(n)}

non è denso da nessuna parte. Consideriamo allora l’insieme A c = ∖ ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {displaystyle {\mathcal {A}^{\mathrm {c} {\mathcal {C}^{mathrm {c}=setminus \bigcup _{n=1}^{infty }{mathcal {C}^{(n)}}