カントール集合

CardinalityEdit

この過程で残される点の数は始めの数と同じであり、したがってカントール集合は数えられないことが示される。これを見るために、カントール集合C {displaystyle {mathcal {C}} から関数fが存在することを示す。｝

${mathcal {C}}$

to closed interval that is surjective (i.e. f maps from C {displaystyle {mathcal {C}}},).

${Mathcal {C}}$

on ) で、C{displaystyle {Mathcal {C}} の基数(cardinality)は

${Thinkmathcal {C}}$

は、of. C {displaystyle {Thinkmathcal {C}}なので、of.の値より小さくはないです。｝

${mathcal {C}}$

はの部分集合で、その基数も大きくないので、カントール・ベルンシュタイン・シュレッダーの定理により、2基数は実際には等しくなければなりません。

この関数を作るには、区間内の点を基数3（または3進数）表記で考える。適切な3元分数、より正確には、( Z ∖ { 0 } ) ⋅ 3 – N 0 {displaystyle { }mathbb {Z} \smallsetminus \{0}{mathbigr )}cdot 3^{-}mathbb {N} の要素であることを想起してください。 _{0}}}

${displaystyle {}bigl (}mathbb {Z} \smallsetminus \{0}{}{})}cdot 3^{-the_mathbb {N}}. 0}}$

, この表記法では2つ以上の表現が認められます。例えば1/3は0.13 = 0.103と書くことができますが、0.0222…3 = 0.023とも書くことができ、 2/3 は 0.23 = 0.23と書くことができます。真ん中の3分の1を取り除くと、0.1xxxxx…3という形の3進数の数字が含まれており、xxxxx…3は厳密に00000…3と22222…3の間となる。つまり、最初のステップの後に残る数字は、

0.0xxxx…3という形の数字（0.022222…3 = 1/3 を含む）
0.2xxxxx…3という形の数字（0.22222… を含む）で構成されます。3 = 1)

これを要約すると、基数点以降の最初の桁が1でないような3進表現の数は、最初のステップの後に残る数であると言うことができる。

第2ステップでは、0.01xxxx…3と0.21xxxx…3という形の数を除外し、（端点に適切な注意を払って）残った数は、最初の2桁がどちらも1でない3元数を持つ数であると結論づけることができる。

このように続けて、nステップで除外しない数は、そのn番目の数字が1ではない3元表現を持っていなければならない。 5197>

1、1/3=0.13、7/9=0.213のような数は0と2だけで構成される3元数を持っているので、カントール集合に含まれることは強調しておく価値がある。 1 = 0.222…3 = 0.23, 1/3 = 0.0222…3 = 0.023 and 7/9 = 0.20222…3 = 0.2023 後者の数はすべて「端点」で、これらの例は C {displaystyle {mathcal {C}} の右リミット点である。｝

${mathcal {C}}$

. Cの左極限点{displaystyle {} {} {mathmathcal {C}}} も同様である。

${mathcal {C}}$

, 例えば 2/3 = 0.1222…3 = 0.123 = 0.203, 8/9 = 0.21222…3 = 0.2123 = 0.2203 ですね。これらの端点はすべて適切な3元分数（Z・3 – N 0 {displaystyle \mathbb {Z} の要素）である。 \cdot 3^{-mathbb {N}} _{0}}}

${displaystyle \mathbb {Z}}. \♪♪～ _{0}}$

) の形で、分母qは既約形のとき3のべき乗となる。これらの分数の3元表現は終端するか（つまり有限）、または-正しい3元分数はそれぞれ2つの表現を持つことを思い出して-無限大に繰り返される0か無限大に繰り返される2で「終わる」のである。このような分数はC{displaystyle {} {}mathcal {C}}の左極限点である。

${mathcal {C}$

その3元表現が1を含まず、無限に繰り返される0で「終わる」場合です。同様に、適切な3元分数はCの右極限点である{displaystyle {C}} {Cmathcal {C}} {Displaystyle}{Displaystyle}{Displaystyle}{Displaystyle}{Displaystyle}。

${mathcal {C}$

もし再びその三元展開に1が含まれず、無限に繰り返される2で「終了」する場合です。

この終点の集合はCにおいて密である{displaystyle {C}}{Cmathcal {C}}。

${mathcal {C}}$

(but not dense in ) で、可算無限集合を構成する。 Cの数 { {displaystyle { {mathcal {C}}} は、以下の通りです。

${mathcal {C}}$

で終点でないものも、3元表現では0と2しかありませんが、0や2の桁の無限繰り返しで終わることはできません。

Cからの関数{displaystyle {} {}mathcal {C}}}。

${mathcal {C}}$

toは0と2だけで構成される3進数から、2をすべて1に置き換え、その列を実数の2進表現として解釈することで定義されます。式中、f ( ∑ k∈N a k 3 – k ) = ∑ k∈N a k 2 2 – k {displaystyle f{bigg (}sum _{k}in \mathbbN} }a_{k}3^{-k}{bigg )}=sum _{k}in \mathbb {N} } }=sum _{k}in N a k 2 – K }{frac {a_{k}}{2}}2^{-k}} のようになります。

${displaystyle f{Thinkbigg (}sum _{k} in \mathbb {N} }a_{k}3^{-k}{bigg )}=Sum _{k}in \mathbb {N}. }{frac {a_{k}}{2}}2^{-k}}$

ここで、∀k ∈ N : a k ∈ { 0 , 2 }である。 . {displaystyle \forall kettes in \mathbb {N} :a_{k}} in \{0,2}.}.

${displaystyle \forall kanthin \mathbb {N} :a_{k}}in \{0,2}.}$

For any number y in , its binary representation can be translated into a ternary representation of a number x in C {displaystyle {}mathcal {C}}}

${mathcal {C}}$

1をすべて2に置き換えると、次のようになる。例えば、y = 3⁄5 = 0.100110011001…2 = 0.1001 ならば、x = 0.2002 = 0.200220022002…3 = 7⁄10 と書くことができるのです。従って、fはsurjectiveである。しかし、fは射影ではありません。f(x)が一致する値は、中間の3分の1を取り除いた両端にある値です。例えば、1⁄3 = 0.023 (C {displaystyle {}mathcal {C}}の右極限点)とします。

${Mathcal {C}}$

で、中3の左終点）、2/203（C {displaystyle {Mathcal {C}}の左終点）です。

${mathcal{C}}$

で、中3の右端の点）

f ( 1 / 3 ) = f ( 0.0 2 ¯ 3 ) = 0.0 1 ¯ 2 = 0.1 0 ¯ 2 = f ( 0.2 0 ¯ 3 ) = f ( 2 / 3 ) . ∥ 1 / 2 {displaystyle { }begin{array}{lcl}f{bigl (}{}^{1}} }!/ПОМПИЙ ИЙ ИЙ ИЙ И}=f(0.0{overline {2}_{3})=0.0{overline {1}_{2}=НПИЙ ИЙ И}=НПИЙ И ИЙ И} {1}_{2} {1}{3}=НПИЙ И И ИЙ И}=НПИЙ И ИЙ ИЙ И И И ИЙ И}=НПИЙ ИЙ И И ИЙ И ИЙ И\!&\!\!=0.1{\overline {0}}_{2}=f(0.2{\overline {0}}_{3})=f{\bigl (}{}^{2}\!\!/\!_{3}{\bigr )}.\\&\parallel \\&{}^{1}\!\!/\!_{2}\end{array}}}

{displaystyle}{{begin{array}{lcl}f{}bigl (}{}^{1}} {}!/!_{3}{bigr )}=f(0.0{overline {2}_{3})=0.0{overline {1}_{2}=0.1_{2} {0}_{2}=f(0.2{overline {0}_{3})=f{entabigl (}{}^{2}} {/entabigr )}.0{overline {0}_{3} {0}_{3} =0.1{overline {0}{2}} =0.1{enta/bigl }=0.1_{2} {0}_{3} =0.1{}{1}}{/entabigr } =0.1{}{2}{3}{0}{0}=0.1{}となる。\\\Ίταμμα για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για ανηη

${displaystyle {mathfrak {c}}=2^{aleph _{0}}}$

) を使用することができます。しかし、取り除いた区間の端点の集合は可算なので、カントール集合の中には区間の端点でない数が数え切れないほど多く存在するはずである。前述のように、そのような数の一例は1/4であり、これは3進表記で0.020202…3＝0.02と書くことができる。実際、任意の a∈{displaystyle a} が与えられると、以下のようになる。

${displaystyle a}$

, there exist x , y∈C {displaystyle x,yint {mathcal {C}}} {displaystyle x,yint {mathcal {C}}} .

{displaystyle x,y}in {mathcal {C}}

such that a = y – x {displaystyle a=y-x} such that a = y – x {mathcal {C}}

such that a=y-x

${displaystyle a=y-x}$

. これは1917年にSteinhausによって初めて証明され、幾何学的な議論によって、{ ( x , y ) ∈ R 2 | y = x + a }という等価な主張が証明された。 ∩ ( C × C ) ≠ ∅ {displaystyle \{(x,y)}in \mathbb {R} ^{2},|,y=x+a};\cap \;({}mathcal {C}}times {}mathcal {C}})\neq \emptyset }.

${displaystyle \{(x,y)in \mathbb {R} ^{2},|},y=x+a};\cap \;({Mathcal {C}}times {Mathcal {C}})\neq \emptyset }$

for every a∈ {displaystyle ain }}

${displaystyle ain }$

. この構成は{displaystyle}からのインジェクションを提供するので

to C × C {displaystyle {}times {}mathcal {C}}} {}mathcal {C}}.

${displaystyle {}times {}mathcal {C}}$

, we have | C × C | ≥ | = c {displaystyle |{}mathcal {C}times {}mathcal {C}}|geq ||={Thetemfrak {c}}} {}mathcal{C}} {}times {}mathmathmath{C}} {}times {}mathmathmath {}} {}times {}mathmath{C}} ${displaystyle |{C}times {}mathcal {C}}|geq ||={C}mathfrak {c}}$ 即答として。 A×A｜＝｜A｜{displaystyle｜Atimes A|=|A|}と仮定すると、以下のようになる。

${Thinkdisplaystyle |Atimes A|=|A|}$

for any infinite set A {Thinkdisplaystyle A}

$A$

(Tarskiによって選択の公理と同等であることが示された文)、これは｜C｜=c {displaystyle |{C}｜={C}}} という別の実証を提供するものである。

${displaystyle |{C}}={Mathfrak {c}}$

のように。

カントール集合は、それが取り出される区間と同じ数の点を含み、しかしそれ自身は長さがゼロでない区間を含まない。無理数も同じ性質を持っているが、カントール集合は閉じているという追加の性質を持っているので、すべての区間で密である無理数とは異なり、どの区間でも密でもないのだ。

自己相似性編集

カントール集合はフラクタルの原型である。それは自己相似であり、各コピーを3の倍数だけ縮小して平行移動すると、それ自身の2つのコピーに等しくなるからです。より正確には、カントール集合はそれ自身の左右の自己相似変換である2つの関数の和、T L ( x ) = x / 3 {displaystyle T_{L}(x)=x/3} に等しくなります。

${displaystyle T_{L}(x)=x/3}$

and T R ( x ) = ( 2 + x ) / 3 {displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3} {displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3} {displaystyle T_{R}=(2+x)/3

${displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}$

となり、カントール集合は同相まで不変である。 t l ( c ) ≅ t r ( c ) ≅ c = t l ( c ) ∪ t r ( c ) . {displaystyle T_{L}({}mathcal {C}})\cong T_{R}({}mathcal {C}})\cong {mathcal {C}}=T_{L}({}mathcal {C}})\cup T_{R}({}mathcal {C}).} ←クリックすると拡大します。

${Displaystyle T_{L}({C}))\cong T_{R}({C}))\cong {Mathcal {C}}=T_{L}({C}))\cup T_{R}({C}).{Mathcal {C}).}$

Repeated iteration of T L {displaystyle T_{L}} {displaystyle T_{L}} 。

$T_{L}$

とT R {displaystyle T_{R}}がある。

$T_{R}$

は無限二分木として可視化することができる。すなわち、木の各ノードで、左または右のサブツリーを考えることができる。集合{ T L , T R }を取ると {\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}}

${displaystyle \{T_{L},T_{R}}$

と関数合成によって、dyadic monoidというモノイドを構成します。

二分木の自動結晶はその双曲線回転であり、モジュラー群で与えられる。したがって、カントール集合は任意の2点x {displaystyle x}

$x$

とy {displaystyle y} に対して、以下の意味で均質な空間となる。

$y$

in Cantor set C {displaystyle {mathcal {C}}} {displaystyle {mathcal {C}}}, Inc.

${Mathcal {C}$

, そこに同相 h : C → C {displaystyle h:{Mathcal {C}}to {Mathcal {C}}} が存在する。｝

${displaystyle h:{C}to {C}}$

with h ( x ) = y {displaystyle h(x)=y}.

$h(x)=y$

. h {displaystyle h} の明示的な構築。

$h$

は、カントール集合を離散空間{ 0 , 1 }の無数のコピーの積空間と見なすと、より簡単に説明することができます{displaystyle \{0,1}} 。

$\{0,1\}$

. このとき、写像 h : { 0 , 1 } は N → { 0 , 1 } N {displaystyle h:\{0,1}^{mathbb {N}}. }to \{0,1}^{mathbb {N}. }}

${displaystyle h:\{0,1}^{Mathbb {N}}と書いてある。 }to \{0,1}^{}mathbb {N}. h n ( u ) := u n + x n + y n mod 2 {displaystyle h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}mod 2} <div><img src=$

によって定義。）=u_{n}+x_{n}+y_{n}mod 2}”> は x {displaystyle x}

$x$

と y {displaystyle y} を交換する involutive homeomorphism であり、x {displaystyle x} は y {displaystyle y} と交換する。

$y$

保存則の編集

スケーリングと自己相似性の背後には、常に何らかの保存則があることが分かっている。カントール集合の場合、d f { {displaystyle d_{f}} が保存則に則っていることがわかる。

$d_{f}$

th moment (where d f = ln ( 2 ) / ln ( 3 ) {displaystyle d_{f}=\ln(2)/(3)}} {f= ln(2)/(3)}} {displaystyle d_{f}= {displaystyle d_{f}= {ln(2)/(3)

${displaystyle d_{f}=ln(2)/ln(3)}$

is fractal dimension) is equal to constant which is equal to one in case of Cantor set . N = 2 n {displaystyle N=2^{n}} が存在することがわかる。

$N=2^n$

interval of size 1 / 3 n {displaystyle 1/3^{n}}}

${displaystyle 1/3^{n}}$

n個の{displaystyle n}でシステム内に存在する{displaystyle}。

$n$

番目のステップで構築される。そこで、生存区間をx 1 , x 2 , … , x 2 n {displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2^{n}}} とラベル付けすると、以下のようになる。

${displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2^{n}}}$

では、d f {displaystyle d_{f}} はどうなるのでしょう。

$d_{f}$

th moment is x 1 d f + x 2 d f + ⋯ + x 2 n d f = 1 {displaystyle x_{1}^{d_{f}+x_{2}^{d_{f}}+cdots +x_{2^{n}}^{d_{f}}=1}

${Displaystyle x_{1}^{d_{f}}+x_{2}^{d_{f}}+cdots +x_{2^{n}}^{d_{f}}=1}$

since x 1 = x 2 = ⋯ x 2 n = 1 / 3 n {Displaystyle x_{1}=x_{2}=cdots =x_{2^{n}}=1/3^{n}}}

${displaystyle x_{1}=x_{2}=Cachedots =x_{2^{n}}=1/3^{n}}$

カントール集合のハウスドルフ次元は ln(2)/ln(3) ≒ 0.631 に等しい。

Topological and analytical propertiesEdit

カントール集合とは通常、上記のオリジナルの中三カントールのことだが、トポロジストはしばしば「ある」カントール集合について話し、これはそれに同相（トポロジカル等価）である任意の位相空間の意味とされる。

上記の和算の議論からわかるように、カントール集合は数えられないがルベーグ測度0を持つ。カントール集合は開集合の和の補集合であるので、それ自体は実数の閉部分集合であり、完全計量空間である。また、全有界なので、ハイネ・ボレルの定理により、コンパクトでなければならない。

カントール集合の任意の点と、その点の任意の小さい近傍に対して、0と2だけの3進数、および3進数に1が含まれる数が他に存在する。したがって、カントール集合のすべての点は、カントール集合の集積点（集積点、極限点ともいう）であるが、内点であるものはない。

カントール集合のすべての点はカントール集合の補集合の累積点でもある。

カントール集合の任意の2点に対して、それらが異なる3進数の数字が存在し、一方は0、他方は2である。この桁の値によってカントール集合を「半分」に分割することで、元の2点を隔てる2つの閉じた集合にカントール集合を分割することができる。カントール集合の相対トポロジーでは、点は閉じた集合で区切られたことになる。その結果、カントール集合は全くの不連結となる。

位相空間としては、カントール集合は空間{ 0 , 1 } {displaystyle \{0,1}} の無数の複製の積に自然に同相となる。

$Thanka{0,1}$

、ここで各コピーは離散トポロジーを担います。これは2桁のすべての数列の空間である 2 N = { ( x n ) ∣ x n∈{ 0 , 1 } for n ∈ N } }. 表示スタイル 2^{ {mathbb} {N} }={(x_{n})\mid x_{n} in \{0,1}{text{ for }}n in \mathbb {N}. \}}

{displaystyle 2^{Thatmathbb {N} }={(x_{n})\mid x_{n} in \{0,1}{text{ for }}nin \mathbb {N}. \ʕ-ᴥ-ʔ これは2進整数の集合と同定できる。積位相の開集合の基底は円柱集合であり、同型写像はカントール集合が実数直線上の自然位相から受け継いだ部分空間位相にこれを写像するものである。このコンパクト空間の積としてのカントール空間の特徴は、ティコノフの定理によってカントール空間がコンパクトであることの第二の証明を与える。

以上の特徴から、カントール集合はp進整数に、またそこから一点を取り除くとp進数に同型であることがわかる。

カントール集合は実数の部分集合であり、それは通常の距離メトリックに関してメトリック空間であるので、カントール集合自体もその同じメトリックを用いればメトリック空間である。また、p-adic metric on 2 N {displaystyle 2^{mathbb {N}} を使ってもよい。 }}

$2^mathbb{N}$

: given two sequences ( x n ) , ( y n )∈ 2 N {displaystyle (x_{n}),(y_{n})\in 2^{mathbb {N}. }}

$(x_n),(y_n)\in 2^mathbb{N}$

, それらの間の距離は d ( ( x n ) , ( y n ) ) = 2 – k {displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}} である。

${displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}}$

, ここで k {displaystyle k} は以下の通りです。

$k$

は x k ≠ y k {displaystyle x_{k}neq y_{k}} となる最小の指数である。

$x_k \ne y_k$

; もしそのようなインデックスがなければ、2つの配列は同じであり、距離を0と定義することができる。この2つの測定法はカントール集合に同じトポロジーを生成する。

以上、カントール集合が完全に切断された完全コンパクト計量空間であることを見てきました。空でない完全切断された完全コンパクト計量空間はすべてカントール集合に同相である。カントール集合に同型の空間についてはカントール空間を参照。

任意のコンパクトなメトリック空間はカントール集合の連続画像であるので、カントール集合はコンパクトメトリック空間のカテゴリにおいて「普遍的」であるとみなされることがあるが、この構成はユニークではないのでカントール集合は正確なカテゴリ的意味において普遍的であるとはいえない。この「普遍」性は関数解析の分野で重要な応用があり、コンパクト計量空間の表現定理として知られている。

任意の整数q≥2に対して、群G=Zqω（可算直和）の位相は離散的である。 Pontrjaginの双対ΓもZqωであるが、Γのトポロジーはコンパクトである。 Γは完全に不連続で完全であり、従ってカントール集合に同型であることがわかります。 q=2 の場合の同相を明示的に書き出すのが一番簡単です。 (Rudin 1962 p 40 参照)

カントール集合の幾何平均は約 0.274974.

Measure and probabilityEdit

カントール集合は二項列のコンパクト群として見ることができ、それとして自然の Haar測度が与えられている。この測度を1として正規化すると、コイン投げの無限列のモデルになる。さらに、区間上の通常のルベーグ測度はカントール集合上のHaar測度の像であり、3元集合への自然注入は特異測度の正準例であることを示すことができる。また、Haar測度は任意の確率の像であり、カントール集合はある意味で普遍的な確率空間であることが示される。

ルベーグ測度論では、カントール集合は数えられないで測度がゼロの集合の一例である。

カントール数編集

カントール数をカントール集合のメンバーとして定義すると、

(1) すべての実数inは2つのカントール数の和になる。
(2) 任意の2つのカントール数の間にはカントール数でない数が存在する

記述的集合論編集

カントール集合は（ベール空間なのでそれ自体の部分集合ではないが）部分集合としてミーハー集合（あるいは第一類集合）であるという。このようにカントール集合は、カージナリティ、メジャー、（ベール）カテゴリーという「大きさ」の概念が一致する必要がないことを示している。集合Q ∩ {displaystyle \mathbb {Q} のように。 \Ъ｝

{displaystyle \mathbb {Q}}の項参照。 \ʕ-̫͡-ʔ｝

, カントール集合C {displaystyle {}mathcal {C}}}.

${mathcal {C}}$

は空集合（測度0の集合）という意味で「小さい」し、.Qのわずかな部分集合である。しかし、Q∩{displaystyle \mathbb {Q}}とは異なり、.Qのわずかな部分集合であり、.Qの小さな集合である。 \cap }

{displaystyle \mathbb {Q}}. \ℵ 0 {displaystyle \aleph _{0}} , これは可算で「小さな」カージナルティを持つ。｝

$Apph _{0}$

, the cardinality of C {displaystyle {}mathcal {C}}} 。

${Mathcal {C}}$

is same as that of , the continuum c {displaystyle {Mathfrak {c}}}。

${mathfrak {c}$

, カージナルという意味で “large “である。実際、ミーガーであるが正の測度を持つ部分集合と、ミーガーではないが測度ゼロの部分集合を構成することも可能である。 By taking the countable union of “fat” Cantor sets C ( n ) {displaystyle {mathcal {C}}^{(n)}}

${displaystyle {} {} {} {mathcal {C}^{(n)}}$

of measure λ = ( n – 1 ) / n {displaystyle \lambda =(n-1)/n}.

${displaystyle \lambda =(n-1)/n}$

(構成は後述のSmith-Volterra-Cantor集合参照) とすると、集合A := ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {displaystyle { ◇mathcal {A}}:= ◇mathcup _{n=1}^{}infty }} ◇mathcal {C}}^{ (n)}} が得られます。

${displaystyle {} {} {A}:=bigcup _{n=1}^{infty }{mathcal {C}^{(n)}}$

which has positive measure (equal to 1) but is meager in , because each C ( n ) {displaystyle {Mathcal {C}^{(n)}} {That’s fine.｝

${displaystyle{C}^{(n)}}$

はどこにも密でありません。次に、集合A c = ∖ ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) { {displaystyle {Mathcal {A}}^{Mathrm {c}} を考えてみる。 }=setminus \bigcup _{n=1}^{infty }{Thomascal {C}}^{(n)}}.

${displaystyle {} {Mathcal {A}}^{Mathrm {c}. }=setminus \bigcup _{n=1}^{infty }{mathcal {C}}^{(n)}}$

. A∪A c = {displaystyle {} {}mathcal {A}}^{}mathrm {c}. }=}

${displaystyle { Commentscal {A}}cup { Commentscal {A}}^{Mathrm {c}}. }=}$

, A c {displaystyle {}^{mathrm {c}} }}

${displaystyle {} {Mathcal {A}}^{Mathrm {c}} }}$

が貧弱であるはずがないが、μ ( A ) = 1 {displaystyle \mu ({Mathcal {A}})=1}} であるので

${displaystyle \mu ({Mathcal {A}})=1}$

, A c {}displaystyle {Mathcal {A}}^{Mathrm {c}}. }}

${displaystyle {} {Mathcal {A}}^{Mathrm {c}}. }}$

は測度ゼロでなければならない。

CardinalityEdit

自己相似性編集

保存則の編集

Topological and analytical propertiesEdit

Measure and probabilityEdit

カントール数編集

記述的集合論編集

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