SeismologyEdit
デコンボリューションの概念は、反射型地震学に早くから応用されていたものである。 1950 年、Enders Robinson は MIT の大学院生でした。 彼は、Norbert Wiener、Norman Levinson、経済学者 Paul Samuelson などの MIT の他の研究者とともに、反射地震計の「畳み込みモデル」を開発しました。 このモデルでは、記録された地震計 s（t）は、地球の反射率関数 e（t）と点音源からの地震波動 w（t）の畳み込みであるとしています（tは記録時間を表します）。 したがって、畳み込み式は
s ( t ) = ( e ∗ w ) ( t ) となる。 {displaystyle s(t)=(e*w)(t).\,}
周波数領域において、ω{displaystyle \omega }があるとき。
は周波数変数である。 反射率が白色であると仮定することにより、反射率のパワースペクトルは一定であり、地震波のパワースペクトルはその定数を乗じたスペクトルになると考えることができる。 したがって、｜S ( ω ) ｜≈ k ｜W ( ω ) ｜ . {
ウェーブレットが最小位相であると仮定すれば、先ほど求めたパワースペクトルの最小位相相当を計算することで回復できる。 推定されたウェーブレットをディラック・デルタ関数（つまりスパイク）に整形するWienerフィルタを設計して適用すれば、反射率を回復することができる。 この結果は、スケーリングされ、シフトされた一連のデルタ関数として見ることができます（ただし、これは数学的に厳密ではありません）。
e ( t ) = ∑ i = 1 N r i δ ( t – τ i ) , {displaystyle e(t)=sum _{i=1}^{N}r_{i}delta (t-enta _{i}),}
ここでNは反射イベントの数、r i {displaystyle r_{i}} は反射イベント数です。
は反射係数、t – τ i {displaystyle t-tau _{i}} は反射係数。
は各イベントの反射時間、δ {displaystyle \delta } は各イベントの反射時間である。
はディラック・デルタ関数である。
実際には、ノイズの多い、有限帯域幅、有限長の、離散的にサンプリングされたデータセットを扱っているので、上記の手順はデータをデコンボリューションするために必要なフィルタの近似値を得るだけである。 しかし、問題をToeplitz行列の解として定式化し、Levinson recursionを用いれば、平均二乗誤差をできるだけ小さくしたフィルタを比較的短時間で推定することができる。 また、周波数領域で直接デコンボリューションを行い、同様の結果を得ることもできる。 この技術は線形予測と密接な関係があります。
光学およびその他のイメージング編集
光学およびイメージングにおいて、「デコンボリューション」という用語は、特に、光学顕微鏡、電子顕微鏡、望遠鏡、またはその他のイメージング装置で起こる光学歪みを反転させ、より鮮明な画像を作成するプロセスを指すために使用されます。 通常、顕微鏡の画像処理技術の一部として、ソフトウェアアルゴリズムによってデジタル領域で行われる。 また、デコンボリューションは、撮影時の速い動きや揺れのある画像を鮮明にするためにも実用的です。 9265>
通常の方法は、装置を通る光路が光学的に完全であると仮定し、点広がり関数 (PSF)、つまり、理論上の点光源 (または他の波) が装置を通過する経路の観点から歪みを記述する数学関数で畳み込むことです。 通常、このような点光源は、最終的な画像に小さな曖昧さを与えます。 この関数を求めることができれば、その逆関数または補関数を計算し、取得した画像をその関数で畳み込めばよいのです。 実際には、真のPSFを求めることは不可能であり、通常は理論的に計算された、あるいは既知のプローブを使用した実験的な推定に基づく近似値が使用されます。 また、実際の光学系では、焦点位置や空間位置によってPSFが異なる場合があり、PSFが非線形である場合もある。 PSFの近似精度が最終的な結果を決定します。 より良い結果を得るために様々なアルゴリズムを採用することができますが、その代償としてより多くの計算を必要とします。 元の畳み込みはデータを破棄するため、いくつかのアルゴリズムでは、近くの焦点位置で取得した追加データを使用して、失われた情報の一部を補います。
PSFが未知の場合、系統的に異なるPSFを試し、画像が改善されたかどうかを評価することによって、それを推測することが可能な場合があります。 この方法をブラインドデコンボリューションと呼びます。 ブラインドデコンボリューションは天文学の分野で確立された画像復元技術で、撮影対象が点であるためPSFが露出しており、実現可能性が高い。 また、蛍光顕微鏡の画像修復や、蛍光スペクトル撮影において、複数の未知の蛍光体のスペクトル分離にも利用されています。 9265>
レーザーパルステラヘルツシステムなど、いくつかの特定のイメージングシステムでは、PSFは数学的にモデル化することができる。 その結果、図に示すように、モデル化されたPSFとテラヘルツ画像のデコンボリューションは、テラヘルツ画像のより高い解像度表現を与えることができます。
電波天文学 編集
電波天文学の特定の種類である電波干渉法において画像合成を行うとき、1つのステップは、生成した画像を点広がり関数の別の名前である「汚いビーム」でデコンボルすることである。 9265>
吸収スペクトル編集
デコンボリューションは、吸収スペクトルに広く適用されています。 Van Cittertアルゴリズム(ドイツ語の記事)を使用することができる。
Fourier transform aspectsEdit
デコンボリューションはFourier co-domain の分割に対応する。 これにより、デコンボリューションはフーリエ変換を受ける実験データに対して容易に適用することができる。 例えば、NMRのように時間領域で記録され、周波数領域で分析されるような場合です。 時間領域のデータを指数関数で割ると、周波数領域でのローレンツ線の幅が小さくなる効果があります
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