バナッハ空間

線形作用素、同型性編集

本論文。境界演算子

XとYが同じ基底場K上のノルム空間であるとき、すべての連続K線型写像T : X → Yの集合はB(X, Y)で示される。無限次元空間では、すべての線形写像が連続であるとは限らない。ノルム空間Xから別のノルム空間への線形写像は、それがXの閉じた単位球上で有界である場合にのみ連続である。したがって、ベクトル空間B（X，Y）は、演算子ノルム

‖T‖= sup { ‖T x‖Y ∣ x∈X ,‖x‖X ≦1 } を与えることができる。 {displaystyle \|T|=sup \left {{Tx´ω`|_{Y}mid xin X,}} ⑭x|_{X}レク 1right}.} .

$Thanks|Thanksup==Left{Tx|_{Y}}mid xasmine in X,\|x|_{X}leq 1right}.$

For Y a Banach space, the space B(X, Y) is a Banach space with respect to this norm.B(Y) は、このノルムに関する空間です。

XがBanach空間であれば、空間B(X) = B(X, X)はunital Banach algebraを形成し、乗算演算は線形写像の合成によって与えられる。

XとYがノルム化空間ならば、Tとその逆T -1が連続するように線形双射T : X → Yが存在すれば同形のノルム化空間とする。 2つの空間XまたはYの一方が完全（または反射的、分離可能など）であれば、他方の空間もそうである。 2つのノルム空間XとYは、さらにTがアイソメトリーであれば、すなわち同型である。 ||同型であるが同相ではない2つの空間 X と Y の間の Banach-Mazur 距離 d(X, Y) は、2つの空間 X と Y がどれだけ異なるかの尺度を与える。

基本的な概念Edit

2つのノルム空間のデカルト積 X × Y は、正準ノムを備えてはいない。しかし、いくつかの等価なノルムが一般に用いられており、例えば

‖ ( x , y ) ‖ 1 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖ , ‖ ( x , y ) ‖∞ ( ‖ x‖ , ‖ y‖ ) {displaystyle \|(x,y)\|_{1}=\|x|+|y|,\quad ‖(x,y)\|_{infty }=᷅max(\|x|,\|y|) } } ‖ max = max ( ‖ x‖ y‖) {displaystyle ‖ max = max ( ‖ x‖ ‖ ‖ ‖ ) {displaystyle ‖ max ( ‖ y‖ ‖ ‖ )

{x}+{y},{8}{qquad}{(x,y){|_{infty }=

そして同形の標準化空間を生じさせる。この意味で、積X×Y（または直和X⊕Y）は二つの因子が完全である場合にのみ完全である。

Mがノルム化空間Xの閉線形部分空間であれば、商空間X / Mに自然ノルムがある

‖ x + M‖ = inf m∈M‖ x + m‖ . {Όταμμα για για για για για για για για για για για για για για για

$Thanks|x+M***=inf \limits _{min M}|x+m***.$

The quotient X / M is a Banach space when X is complete. Xのxをそのクラスx + Mに送る、XからX / Mへの商写像は、M = Xの場合を除き、線形、上、ノルム1を持ち、その場合商はヌル空間である。

Xの閉じた線形部分空間Mは、MがXからMへの境界線形射影Pの範囲であればXの補完部分空間という。この場合、空間XはMと射影PのカーネルであるKer(P)の直和に同型である。

XとYがBanach空間で、T∈B（X，Y）であると仮定する。 T = T 1 ∘ π , T : X ⟶ π X / Ker ( T ) ⟶ T 1 Y {displaystyle T=T_{1}circ \pi ,\ T:X {}overset {pi }{longrightarrow} X/peratorname {Ker} {T_{1}circ ⟦ π ,Γ {D}{1}Circ ⟦π ,Γ {T_27E6↩π }} {T_[ T=T_27E6↩ ⟶ ｝] {T_27E8 (T){overset {T_{1}}{longrightarrow }} Y} ୧୧⃛(๑⃙⃘◡̈๑⃙⃘)

$T=T_{1}circ ︓pi ,︓T:X} {overset {pi }{longrightarrow }} X/operatorname {Ker} (T)\ {overset {T_{1}}{longrightarrow }} Y$

ここで、最初の写像πは商写像、第2の写像T1は商における全てのクラスx + Ker(T)をYにおける像T(x)に送るもので、同じクラス内の要素は全て同じ像を持つのでこれはよく定義されています。写像T1はX / Ker(T)から範囲T(X)への線形双射であり、その逆は有界である必要はない。

古典空間編集

バナッハ空間の基本的な例として、以下のものがある。 Lp空間とその特殊例、Nを指標とするスカラー列からなる列空間ℓp、中でも絶対和数列の空間ℓ1、平方和数列の空間ℓ2がある。ゼロに向かう数列の空間 c0 と有界数列の空間 ℓ∞；コンパクトなハウスドルフ空間 K 上の連続スカラ関数の空間 C(K) で max ノルム

f ‖ C ( K ) = max { | f ( x ) | : x ∈ K } とする。 , f ∈ C ( K ) . {ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\|f(x)|_{C(K)}=max{|f(x)|:xin K},\quad facentin C(K).$

Banach-Mazur定理により、すべてのBanach空間はあるC（K）の部分空間と等量的に同型であるとされています。あらゆる分離可能なバナッハ空間Xに対して、X ≅ℓ1/M が成り立つようなℓ1の閉じた部分空間Mが存在する。

あらゆるヒルベルト空間がバナッハ空間の例として挙げられる。 K=R, C上のヒルベルト空間Hは

‖ x ‖ H = ⟨ x , x ⟩ , {displaystyle \|x|_{H}={\sqrt {\langle x,xrangle }},}

$Chat|x|_{H}={sqrt {langle x,xrangle }},$

where

⟨ ⋅ ⋅ ⟩ ． H × H → K {displaystyle \langle ,\cdot \rangle :Http Hto｜｜mathbf {K}｜displaystyle｜｜displaystyle｜｜k {displaystyle｜｜displaystyle｜｜displaystyle｜k }

$Langle \cdot ,\cdot \rangle :Htimes H\to \mathbf {K}$

は以下を満たす第一引数の線形内積である。

∀ x , y∈H : ⟨ y , x ⟩ = ⟨ x , y ⟩ ¯ , ∀ x∈H : ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 , ⟨ x , x ⟩ = 0⇔ x = 0. を満たす第一引数の線形内積です。 {ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ 17日, H:³,800で終了。

{begin{aligned}}forall x,y}in H:\quad \langle y,xrangle ={overline {} {}langle x,yrangle }},\forall x}in H:\quad \langle x,xrangle {geq 0,\langle x,xrangle =0

Hardy spaces, the Sobolev spaces are examples of Banach spaces that are related to Lp spaces and have additional structure.

バナッハ代数編集

バナッハ代数はK=RまたはC上のバナッハ空間Aで、K上の代数構造とともに、積写像A × A ∋ (a, b) ↦ ab∈A が連続であるようなものである。すべてのa, b∈A に対して｜ab｜≦｜a｜｜｜b｜｜となるように、A上の等価ノルムが求められる。

ExamplesEdit

点積を持つバナッハ空間C(K)はバナッハ代数である。
ディスク代数A(D)は、開いた単位ディスクD⊂Cに同相で、その閉路に連続な関数からなる。 D上のmaxノルムを備え、ディスク代数A（D）はC（D）の閉じた部分代数である。
ウィーナー代数A（T）は、絶対収束フーリエ級数を持つ単位円T上の関数の代数である。 T上の関数をそのフーリエ係数の列に関連づける写像によって、この代数はバナッハ代数ℓ1(Z)に同型であり、積は系列の畳み込みである。
すべてのバナッハ空間Xについて、写像の合成を積とするX上の有界線形作用素の空間B(X)はバナッハ代数である。
C*-代数とは｜｜a｜＝｜a｜2である反線型インボルーションa↦a｜を持つ複素バナッハ代数Aを指す。ヒルベルト空間H上の有界線形作用素の空間B(H)は、C*-代数の基本的な例である。 Gelfand-Naimarkの定理は、すべてのC*-algebraがあるB(H)のC*-subalgebraに同相的に同化することを述べています。コンパクトなハウスドルフ空間K上の複素連続関数の空間C(K)は可換C*-代数の例で、インボリューションはすべての関数fにその複素共役fを結合する.

Dual spaceEdit

本論文: 双対空間

Xがノルム空間、Kが基底場（実数または複素数のいずれか）であるとき、連続双対空間はXからKへの連続線形写像の空間、または連続線形汎関数と呼ばれるものである。本稿では、連続双対空間の表記をX′＝B（X，K）とする。 Kはバナッハ空間（絶対値をノルムとする）なので、すべてのノルム空間Xについて、双対X ′はバナッハ空間である。

連続線形関数の存在を証明する主な道具はハーン-バナッハの定理である。 XをK＝R，C上のベクトル空間とし、さらに

Y⊆Xを線形部分空間、
p : X → R を部分線形関数とし、
f : Y → K を、Y のすべての y に対して Re( f (y)) ≤ p(y) となる線形関数とする。

そこで、F｜Y = f 、∀x ∈ X 、Re ( F ( x ) ) ≤ p ( x ) となる線形関数 F : X → K を存在させる。 {displaystyle F|_{Y}=f,\quad {text{and}}forall xin X,\operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).} } ←クリックすると拡大します。

$F|_{Y}=f,\quad {text{and}}forall xin X,\ \operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).$

特に、ある規格空間の部分空間上のあらゆる連続線形関数が、その関数が持つ規格を増加することなしに空間全体へ連続して拡張できることがわかります。重要な特殊ケースは次のとおりである：ノルム化空間Xのすべてのベクトルxについて、

f ( x ) = ‖ x ‖ X , ‖ f ‖ X′ ≤ 1のようなX上の連続線形関数fが存在する。 {displaystyle f(x)=Think|x|_{X},\quad \|f|_{X’}leq 1.}.

$f(x)=Cert|x￨_{X},\quad ￨f￨_{X'}leq 1.$

xが0ベクトルと等しくないとき、関数fはノルム1でなければならず、xに対するノルム関数と呼ばれる。

ハーン・バナッハ分離定理は、実バナッハ空間における2つの不連続な非空凸集合（一方は開）の分離が閉アフィン超平面で可能であることを述べている。バナッハ空間Xの部分集合Sは、Sの線形スパンがXにおいて密である場合、全集である。このとき、S上で消失する唯一の連続線形関数が0関数である場合に限り、Xにおいて全集であるとする、この同値はHahn-Banach定理から導かれるものである。

Xが2つの閉じた線形部分空間MとNの直和であるならば、Xの双対X ′はMとNの双対の直和に同型である。 MがXの閉じた線形部分空間であれば、デュアルでMの直交を連想できる

M ⊥ = { x ′∈X ′ : x ′ ( m ) = 0 , ∀ m ∈ M }。 . {displaystyle M^{perp }=︓︓x’\in X’:x'(m)=0,\forall min Mentaright}.}.

$M^{perp }=Пleft {x'\in X':x'(m)=0,\forall min Mright}.$

The orthogonal M ⊥ is a closed linear subspace of the dual.M^{perp }=Пleft {x'(m)=0,\forall min Mright}.{7752>

分離可能な Banach 空間の dual は分離可能である必要はないが：

Theorem.The dual of a separable Banach space is not be separable.

The dual of a separable Banach space is is isometrically isomorphic to M ⊥⊥. Xをノルム化された空間とする。 X ′が分離可能であれば、Xは分離可能である。

X ′が分離可能であるとき、上記の全体性の基準は、Xにおける可算総部分の存在の証明に用いることができる。

Weak topologiesEdit

Banach空間X上の弱いトポロジーは、連続双対空間X ′におけるすべての要素xが連続であるX上の最も粗いトポロジーである。したがって、ノルムトポロジーは弱いトポロジーよりも細かい。弱い位相幾何学はHahn-Banach分離定理からHausdorffであり、バナッハ空間のノルムで閉じた凸部分集合も弱く閉じていることがわかります。 2つのバナッハ空間XとYの間のノルム連続な線形写像も弱連続、すなわちXの弱トポロジーからYのトポロジーへ連続である。

Xが無限次元の場合、連続でない線形写像が存在する。 XからKへのすべての線形写像の空間X＊＊（この空間X＊＊はX′と区別するために代数的双対空間と呼ばれる）もX上のトポロジーを誘導するが、これは弱いトポロジーより細かく、関数解析ではあまり用いられない。これは、X′上の評価写像x′→x′(x), x′→Xがすべて連続である最も粗いトポロジである。その重要性はBanach-Alaogluの定理に由来する。

Banach-Alaoglu Theorem. Xをノルム化されたベクトル空間とする。すると閉単位球B ′＝{x′∈X ′． ||x′X ∈1} は弱い*位相幾何学でコンパクトである。

Banach-Alaogluの定理は、コンパクト空間の無限積に関するTychonoffの定理に依存する。 Xが分離可能なとき、双対空間の単位球B ′はweak*位相でmetrizable compactとなる。

dual spaceの例Edit

c0のdualはℓ1にisometrically isomorphic：c0上のすべての有界線形関数fに対して、

f ( x ) = ∑ n∈N x n y n , x = { x n }となる一次要素y = {yn} ∈ ℓ1が存在する。 ∈ c 0 , そして‖f ‖ ( c 0 ) ′ = ‖ y ‖ ℓ 1 . {displaystyle f(x)=Thum _{n}in \mathbf {N} }x_{n}y_{n},\qquad x={x_{n}}in c_{0},\ \text{and}’}={f|_{(c_{0})’}} y|_{cell _{1}}.}.

$f(x)=Thum _{n}in \mathbf {N}. }x_{n}y_{n},\qquad x={x_{n}}}in c_{0},\{f|_{(c_{0})'}={y|{ell _{1}}.$

The dual of ℓ1 isometrically isomorphic to ℓ∞.このように、ℓ1は偶像の同位体であり、ℓ2は偶像の同位体である。 Lp()の双対は1≦p < ∞で1/p + 1/q = 1のときLq()に等尺性同型となる。

ヒルベルト空間Hの各ベクトルyに対して、写像

x∈H → f y ( x ) = ⟨ x , y ⟩ {displaystyle x in H\to f_{y}(x)=langle x,yrangle }が成り立つ。

$xin H\to f_{y}(x)=teenlangle x,yrangle$

defines a continuous linear functional fy on H. Riesz representation theorem that every continuous linear functional on H is of form for a uniquely defined vector y in H. mapping y ∈ H → fy is antilinear bijection from H onto its dual H ′. 8035>

KがコンパクトなHausdorff位相空間のとき、C(K)の双対M(K)はBourbakiの意味でのラドン測度の空間である。質量1の非負測度からなるM(K)の部分集合P(K)は、M(K)の単位球の凸w*閉じた部分集合である。 P(K)の極点はK上のディラック測度であり、w*-トポロジーを備えたK上のディラック測度の集合は、Kに同型である。 KとLがコンパクトなHausdorff空間であり、C(K)とC(L)が同形であれば、位相空間KとLは同相である。

この結果はAmirとCambernによって、C(K)とC(L)の乗法的Banach-Mazur距離が< 2の場合にも拡張されている。

可換バナッハ代数C(K)において、極大イデアルはまさにK上のディラック測度カーネル

I x = ker δ x = { f∈C ( K ) : f ( x ) = 0 }であり、このカーネルはDirac測度カーネルである。 , x ∈ K . {I_{x}=ker \delta _{x}=\{f in C(K):f(x)=0},\quad x in K.}

$I_{x}=ker \delta _{x}=\{fin C(K:f(x)=0}},\quad x in K.$

より一般的には、Gelfand-Mazurの定理により、unital commutative Banach algebraのmaximal idealsはそのキャラクターと識別することができ、単に集合としてではなく位相空間として、前者はhull-kernel topology、後者はw*-topologyとして識別される。この同定において、最大理想空間は、双対Aにおける単位球のw*-コンパクト部分集合と見なすことができる′

定理。 KがコンパクトなHausdorff空間であれば、バナッハ代数C(K)の最大理想空間ΞはKに同相である。

あるコンパクトなHausdorff空間Kに対して、すべてのユニタル可換バナッハ代数はC(K)の形式であるとは限らない。しかしC(K)を可換C*-代数という小さいカテゴリーに置くとこの文は成立する。可換C*-代数に対するゲルファンドの表現定理は、すべての可換ユニタルC*-代数AはC(K)空間に等比級数的に同型であることを述べています。ここでいうHausdorffコンパクト空間Kは、やはり最大理想空間であり、C*-algebraの文脈ではAのスペクトルとも呼ばれる。

BidualEdit

Xが正規空間ならば、その（連続）双対X ′′はBidual、またはXの第2双対と呼ばれる。すべてのノルム空間Xに対して、自然写像

{ F X : X → X ″ F ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x∈X , ∀ f∈X ″ {displaystyle {begin{cases}F_{X}:Xto X”↵F_{X}(x)(f)=f(x)&forall x}in X,\forall f}in X’↵end{cases}}} ↵F_{X}(x)(f)=f(x)

${begin{cases}F_{X}:Xto X''\F_{X}(x)(f)=f(x)\forall x-in X,\for fented in X'}}$

これによりFX（x）がX ′′上の連続線形関数、つまりX ′′の要素として定義されます。写像FX : x → FX(x)はXからX ′′への線形写像である。例えば、X=c0の双対はℓ1と同定され、ℓ1の双対は有界スカラー列の空間であるℓ∞と同定される。これらの同定において、FXはc0からℓ∞への包含写像となる。 8035>

FXが漸化式であるとき、ノルム空間Xは反射的と呼ばれる（後述）。 FXが帰納的であれば、規範空間Xは反射的と呼ばれ、規範空間の双対であるX′′は完全であるから、反射的規範空間はすべてバナッハ空間である

等尺性埋め込みFXを用いて規範空間Xを双対空間の部分集合として考えることが通例である． Xがバナッハ空間のとき、X′′の閉じた線形部分空間と見なす。 Xが反射的でない場合、Xの単位球はXの単位球の固有部分集合である′′。ゴールドスティンの定理は、ノルム空間の単位球は双対空間の単位球に弱く*密であることを述べている。すなわち、ビデュアルにおけるすべてのx ′′に対して、Xに網{xj}が存在し、

sup j ‖ x ‖ ‖ x ″ , x ″ ( f ) = lim j f ( x j ) , f∈ X ′ ‖ となる。 {x”(f)=Slim _{j}f(x_{j}),⑭quad fin X”.} ⑷x”(f)=Slim _{j}f(x_{j}),⑸quad fin X”}.

$sup _{j}}|x_{j}}{leq}{x''\|,\ x''(f)={lim _{j}f(x_{j}),\quad fin X'.$

The net may be replaced by a weakly*-convergent sequence when the dual X′ is separable. 一方、ℓ1 の bidual の要素で ℓ1 にないものは、ℓ1 が weakly sequentially complete なので、ℓ1 の数列の weak*-limit にはなりえません。

Banachの定理Edit

ここではBanachの著書（Banach (1932)）の時代にさかのぼり、Baire category theoremに関連するBanach空間に関する主な一般結果を紹介します。この定理によれば、完全計量空間（バナッハ空間、フレシェ空間、F空間など）は、内部が空である可算多数の閉部分集合の和に等しくなることはない、ということである。したがって、バナッハ空間は、すでにそのうちの1つに等しくない限り、可算的に多くの閉じた部分空間の和になることはできない。可算的なハーメル基底を持つバナッハ空間は有限次元である」

Banach-Steinhaus Theorem. Xをバナッハ空間とし、Yをノルム化ベクトル空間とする。 FをXからYへの連続線型作用素の集合とすると、一様境界性原理は、XのすべてのxについてsupT∈F｜｜T（x）｜｜Y < ∞とすれば、supT∈F｜｜T｜｜Y < ∞であることを意味する。

バナッハ-シュタインハウスの定理はバナッハ空間に限定されるものではない。例えばXがFréchet空間である場合にも拡張でき、ただし結論を次のように修正する：同じ仮説の下で、FにおけるすべてのTがU上で一様に束縛されるようなXにおける0の近傍Uが存在する、

sup T∈F sup x∈U‖T ( x )‖Y < ∞． {ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\sup _{Thesisin F}sup _{x}in U};\|T(x)\|_{Y}infty .$

The Open Mapping Theorem. XとYをバナッハ空間とし、T : X → Yを漸近的連続線型演算子とすると、Tは開放写像である。コロラリーバナッハ空間からバナッハ空間への一対一の有界線形作用素はすべて同型である。バナッハ空間の第1同型性定理。 XとYがバナッハ空間であり、T∈B(X, Y)があるとする。さらに、Tの範囲がYで閉じているとすると、X/ Ker(T)はT(X)に同型である。

この結果は先のバナッハ同型性定理と有界線形写像の正準因数分解の直接的な帰結である

。バナッハ空間Xが閉じた部分空間M1、…、Mnの内部直和であれば、XはM1 ⊕ … ⊕ Mnと同形である。

これはバナッハの同型性定理のもう一つの帰結で、M1 ⊕ … ⊕ MnからXへの連続双射で、（m1、…、mn）を和m1 + …に送ることに適用されます。 + mn.

閉じたグラフの定理。 T : X → Yをバナッハ空間間の線形写像とする。 TのグラフがX×Yに閉じているのは、Tが連続であるときだけである。

ReflexivityEdit

Main article: 反射的空間

自然写像

{ F X : X → X ″ F ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x∈ X ′ {\F_{X}(x)(f)=f(x)&forall xin X,\forall fenta in X’}} が成り立つとき、再帰的空間と呼ばれる。

${begin{cases}F_{X}:X}to X''\F_{X}(x)(f)=f(x)\forall xÌin X,\forall fÌin X'Γend{cases}}$

は超射影です。 Reflexive normed spaces are Banach spaces.

Theorem. Xが反射的なBanach空間であるとき、Xのすべての閉じた部分空間とXのすべての商空間は反射的である。

これはHahn-Banachの定理の帰結である。さらに、開写像定理により、バナッハ空間Xからバナッハ空間Y上に有界線形作用素があれば、Yは反射的である

定理である。 Xをバナッハ空間とすると、Xが反射的であるのはX′が反射的である場合に限られる。コロラリー Xを反射的なバナッハ空間とする。 Xが分離可能であるのは、X ′が分離可能であるときだけである。

実際、バナッハ空間Yの双対Y ′が分離可能であれば、Yは分離可能である。 Xが反射的で分離可能なら、Xの双対は分離可能なので、X ′は分離可能。

定理。 X1、…、Xnをノルム化された空間とし、X＝X1 ⊕ … ⊕ Xnであるとする。このとき、Xは、各Xjが反射的である場合にのみ反射的である。

ヒルベルト空間は反射的である。 Lp空間は1 < p < ∞のとき反射的である。より一般的には、ミルマン-ペティスの定理により、一様に凸な空間は反射的である。 c0, ℓ1, L1(), C() の空間は反射的でない。すなわち、Hahn-Banach の定理によって与えられる X の X ′′ への自然等長埋め込みによって、商 X ′′ / X は無限次元となり、さらに非分離となるのである。しかし、Robert C. Jamesは、通常「James空間」と呼ばれ、Jで示される非反射空間の例として、商J ′′ / Jが1次元であるような空間を構築している。さらに、この空間Jはその双対に等比級数的に同型である

定理。バナッハ空間Xは、その単位球が弱トポロジーにおいてコンパクトである場合にのみ反射的である。

Xが反射的であるとき、Xのすべての閉じた有界の凸部分集合は弱くコンパクトであることが導かれる。ヒルベルト空間Hにおいて、単位球の弱いコンパクト性は次のように非常によく使われる：Hのすべての有界数列は弱収束部分列を持つ。

単位球の弱いコンパクト性はある最適化問題に対して反射的空間での解を求めるための道具を提供する。例えば、反射的空間の単位球B上のすべての凸連続関数はBのある点で最小になる。

前の結果の特殊なケースとして、XがR上の反射的空間であるとき、Xのすべての連続線形関数fはXの単位球上で最大｜｜f｜｜になる。

Xは反射的である。
for all f in X ′には、｜x｜≦1のxが存在し、f (x) = || f || である。

この定理は弱くコンパクトな凸集合の特徴を与えるように拡張できる。

あらゆる非反射バナッハ空間X上で、ノルム獲得でない連続線形汎関数が存在する。

数列の弱い収束編集

Banach空間Xにおける数列{xn}は、dual X ′におけるすべての連続線形関数fに対してf (xn) がf (x) に収束するなら、ベクトルx ∈ Xに弱く収束していることになる。数列 {xn} は、X ′のすべての f に対して、f (xn) がスカラー極限 L( f ) に収束する場合、weakly Cauchy 数列となる。弱コーキー数列、弱収束数列、弱収束*数列は、Banach-Steinhausの定理の結果として、ノルム有界となる。

Xの数列{xn}が弱コーキー数列であるとき、上の極限Lは双対X′上の有界線形汎関数を定義する、すなわちの要素Lを定義し、Lはbidualのweak*-topologyにおける{xn}の極限である。バナッハ空間Xは、すべての弱冠コーシー数列がXにおいて弱冠収束的であれば弱冠逐次完全である。反射的空間が弱冠逐次完全であることは前の議論から導かれる

定理である。あらゆる測度μに対して、空間L1(μ)は弱順序完全である。

ヒルベルト空間における正規直列は弱収束直列の簡単な例で、極限は0ベクトルに等しい。バナッハ空間の弱ヌル数列には、与えられた数列のベクトルの凸の組み合わせで0にノルム収束する数列が存在する

ℓ1の単位ベクトルの基底は弱コーキーではない L1空間は弱順序完全なので、ℓ1の弱Cauchy数列は弱収束です。実は、ℓ1 の弱収束数列はノルム収束です。 8035>

ℓ1基底の結果編集

弱コーシー数列とℓ1基底は、H. P. Rosenthalの次の深い結果で確立された二律背反の場合です

定理。 xn}をバナッハ空間における有界列とする。 xn}はweakly Cauchy部分集合を持つか、ℓ1の標準単位ベクトル基底と等価な部分集合を認めるか、どちらかである。

この結果の補題はOdell and Rosenthal (1975)によるもので、

定理である。 Xを分離可能なバナッハ空間とする。以下は等価である：

空間Xにはℓ1に同型の閉部分空間はない。
双対X′′のすべての要素はXにおける数列{xn}の弱*極限である。

ゴールドスティンの定理により、Xの単位球B ′′のすべての要素は、Xの単位球における網のweak*-limitとなる。 Xがℓ1を含まないとき、B′′のすべての要素はXの単位球における数列のweak*-limitとなる。

バナッハ空間Xが分離可能なとき、weak*-topologyを備えた双対Xの単位球はmetrizable compact space Kであり、双対Xの要素x ′′はすべてK上の有界関数を定義している。

x ′∈K ↦ x ″ ( x ′ ) , | x ″ ( x ′ ) | ≦ ‖ x ″ ‖ . {x”(x’),\quad \left|x”(x’) \right|leq \left|x”’\right|.} ←クリックすると拡大表示します。

$x'\in Kmapsto x''(x'),\quad \left|x''(x') \right|leq \left|x'''\right|.$

この関数は、x ′′がX ′′の部分集合として考えて実際にXにあるときだけ、Kのコンパクトトポロジーに対して連続的である。この段落の続きで、Xにℓ1が含まれないと仮定する。先のオデルとローゼンタールの結果から、関数x ′はK上の連続関数の列{xn} ⊂ XのK上の点的極限であるから、K上の第一ベール級関数であることが分かる。

Sequences, weak and weak* compactnessEdit

Xが分離可能なとき、dualの単位球はBanach-Alaogluによって弱*コンパクトで、弱*位相に対してメトリザブルなので、dualのすべての有界列には弱*収束部分列があります。

バナッハ空間Xの弱トポロジーは、Xが有限次元である場合にのみ、metrizableである。 Xの双対が分離可能であれば、Xの単位球の弱いトポロジーはmetrizableである。これは特に分離可能な反射的バナッハ空間に適用される。単位球の弱い位相は一般にmetrizableではないが、数列を用いて弱いコンパクト性を特徴づけることができる。バナッハ空間の集合Aは、Aのすべての列{an}が弱収束の部分列を持つ場合にのみ、相対的に弱くコンパクトである。

バナッハ空間Xは、Xの各有界列が弱収束部分列を持つ場合にのみ反射的である。

ℓ1における弱くコンパクトな部分集合Aはノームコンパクトである。実際、A の各列は Eberlein-Šmulian によって弱収束部分列を持ち、それは ℓ1 の Schur 属性によってノルム収束となる.

。