数学では、可能な定理の境界を証明するために反例がよく使われます。 ある予想が誤りであることを反例を用いて示すことで、数学研究者たちは迷路を避け、証明可能な定理を生み出すために予想を修正することを学ぶことができるのである。 5031>
長方形の例Edit
ある数学者が幾何学や図形を研究していて、それらに関するある定理を証明したいと考えたとする。 彼女は「すべての長方形は正方形である」と推測しており、このステートメントが真か偽かを知りたいと思っている。
この場合、彼女は演繹的推論を用いてその真偽を証明しようとするか、あるいは、それが偽であると疑われる場合には、その反例を見つけようとすることができる。 後者の場合、反例は正方形でない長方形、例えば長さ5の2辺と長さ7の2辺を持つ長方形である。しかし、正方形でない長方形を見つけたにもかかわらず、見つけた長方形はすべて4辺であった。 そこで、彼女は「すべての長方形は4つの辺を持つ」という新しい推測をする。 5031>
上の例では、数学者が反例に直面して自分の予想を弱める方法を簡略化して説明したが、反例はある仮定や仮説の必要性を示すために使うこともできる。 例えば、上記の数学者がしばらくして「長方形で4辺の長さが等しい図形はすべて正方形である」という新しい予想に落ち着いたとする。 この予想には、「形は『長方形』でなければならない」「『長さの等しい4つの辺』を持たなければならない」という2つの仮説の部分がある。 そこで数学者は、どちらかの仮定を外しても、自分の予想が正しいかどうかを知りたいと思う。 5031>
- 「長方形である図形はすべて正方形である」
- 「4辺の長さが等しい図形はすべて正方形である」
（1）の反例は既に述べたとおりで、（2）の反例は非正方形のひし形である。 5031>
その他の数学的例題編集
「すべての素数は奇数である」という記述の反例は、素数であるが奇数でない2という数である。 7と10はどちらもこの文に矛盾するほどの数ではないので反例とはならない。 この例では、2が実は唯一の可能な反例であり、それだけでもこの文に矛盾するにもかかわらず、この文に矛盾している。 同様に、「すべての自然数は素数か合成数である」という文は、1が素数でも合成数でもないため、1が反例となる。
オイラーの累乗和予想は、反例によって反証された。 これは、和が別のn乗になるためには、少なくともn乗が必要であることを主張したものである。 この予想は1966年にn=5の反例で反証され、現在では他のn=5の反例や、いくつかのn=4の反例が知られている。
Witsenhausenの反例は、2次損失関数と状態変数の線形進化方程式が最適制御則を線形とすることが（制御問題では）必ずしも正しくないことを示した。
その他、Seifert予想、Pólya予想、Hilbertの14番目の問題の予想、Tait予想、Ganea予想などの反証がある。