閉包性

ある操作の下での集合の性質

数学者はしばしば、ある操作の下で特定の集合が特定の性質を持つかどうかに関心を持ちます。 数学者がこのことに興味を持った理由の1つは、方程式がいつ解を持つかを決定するためであった。 もしある操作の下にある集合がある一般的な性質を持つなら、例えばその集合の一次方程式を解くことができる。

ある操作の下で集合が満たすか満たさないか、いくつかの重要な性質がある。 性質とは、与えられた操作の下で集合のすべての要素に対して真であれば成立するある規則のことで、与えられた操作の下で性質に従わない要素の組が少なくとも1つあれば、性質は成立しないのである。

このように抽象的な方法で性質について話しても、まだ何の意味もないので、性質が何であるかをよりよく理解するために、いくつかの例を見てみましょう。 この講義では、クロージャープロパティについて学びます。

閉鎖性の性質

集合が特定の操作の下で閉鎖性を持つのは、その操作の結果が常に集合の要素であるときである。 ある集合が特定の操作の下で閉鎖性を持つ場合、その集合は “その操作の下で閉鎖的 “であると言う。

特性について抽象的に話すよりも、例を見る方がはるかに理解しやすいので、集合が閉鎖性を持つと言ったときに何を言っているのかを正確に理解できるように、例を見ていくことに移りましょう。

まず、すでに馴染みのある操作を伴ういくつかの無限集合を見てみましょう。

a) 整数の集合は加算操作の下では閉じている。なぜなら任意の二つの整数の和は常に別の整数であり、したがって整数の集合の中にあるからである。

b) ある整数を別の整数で割るとき、常に別の整数が答えになるとは限らないので、整数の集合は除算の操作のもとでは閉じていない。 例えば、4と9はどちらも整数であるが、4÷9＝4/9である。 4/9は整数ではないので、整数の集合には入らない！

で、閉鎖性を満たす無限集合と満たさない無限集合の例をもっと見る。

さて、私たちにとって馴染みのない操作を伴う有限集合の例をいくつか見てみよう：

e) 集合 {1,2,3,4} は 2 + 3 = 5 なので加算操作では閉じておらず、5 は集合 {1,2,3,4} の要素ではないことから、このように考える。

このことは、集合{1,2,3,4}の加算操作下での操作表を見ることでもわかります。

+

The set{1,2,3,4}は、集合{1,2,3,4}の要素ではない結果が少なくとも1つ（結果はすべてオレンジ色の網掛け）あるので、+演算では閉じない。 このグラフには結果 5, 6, 7, 8 が含まれていますが、どれも集合 {1,2,3,4} の要素ではありません!

f) 集合 {a,b,c,d,e} は、演算 * に対して次のような演算表を持っている。

e

611

の場合

*	a	b	c	d	e
a	b	c
b>	a	d
b
d	a	c	b	e
c	c	d	b	e	a
d	a	e	d c	b
e	e b	a	d	c

セット{a.は “a “であり、”b “は “b “である。b,c,d,e} は、すべての結果（オレンジ色の網掛け）が集合 {a,b,c,d,e} の要素であるため、 * の操作で閉じています。

別の例を見る。