デカルトもフェルマーも空間の曲線や曲面を研究するために 3 つの座標を使うことを提案したが、3 次元の解析幾何学の発展は遅く、1730 年頃、スイス人数学者オイラーとヤコブ・ヘルマン、フランス人数学者クレラウトが円柱や円錐や回転面についての一般方程式を生み出したときであった。 たとえば、オイラーとヘルマンは、曲線 f(z) = x2 を z 軸のまわりで回転させたときにできる曲面が、方程式 f(z) = x2 + y2 になることを示した（図参照、楕円放物面 z = x2 + y2）。
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ニュートンは、すべての平面立方体は、平面間の射影によって彼の第3標準形式のものから生じるという驚くべき主張をした。 これは、1731年にクレローとフランスの数学者フランソワ・ニコルによって独自に証明された。 クレローは、ニュートンの4つの標準形のすべての立方体を、原点 (0, 0, 0) と平面 z = 1 の第3標準立方体上の点を結ぶ空間の線からなる立方体 conezy2 = ax3 + bx2z + cxz2 + dz3 のセクションとして得たのである。
1748年、オイラーは空間の回転と並進の方程式を使って、一般の二次曲面ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0を、その主軸が座標軸と一致するように変形させた。 オイラーとフランスの数学者ラグランジュとモンジュは、解析幾何学を合成幾何学（非解析幾何学）から独立させた。 nタプル(a1, …, an)は、n次元空間において、座標軸上の実数a1, …, anに投影するベクトルを表す。
1843年にアイルランドの数学者・天文学者のウィリアム ローワン ハミルトンが4次元ベクトルを代数的に表現して、非可換環代数を初めて広範に研究した四元数を発案。 ハミルトンは、4元数列に1つの座標0を乗じることで、ベクトルに対する基本的な演算を発見した。 しかし、数理物理学者たちは、ベクトル解析の表記法がより柔軟で、特に無限次元空間への拡張が容易であることを見出した。 1960 年代には、ある新しい素粒子物理学のモデルに組み込まれました。
Projections
20 世紀末に計算能力が飛躍的に増大し、コンピューターアニメーションやコンピューター支援設計がいたるところで見られるようになりました。 これらのアプリケーションは、3次元の解析幾何学に基づいている。 座標は、仮想オブジェクトの表面の境界を形成するエッジやパラメトリックカーブを決定するために使用される。 ユークリッド平面（ユークリッド幾何学参照）および無限遠の点を一様に三角形で表す同次座標を導入し、解析幾何学と射影幾何学を統一したのである。 射影変換は、同次座標の可逆的な線形変化であり、行列の乗算で与えられる。 これにより、コンピュータグラフィックスプログラムは、描かれた物体の形や見え方を効率的に変化させ、3次元の仮想空間から2次元の表示画面に投影させることができる。