ランダム行列理論は、複雑系における大規模挙動は、その対称性とパラメータの統計特性に支配されているはずで、相互作用する個々の要素の詳細には比較的敏感でないとの仮定から出発しています。 この理論の主な目的は、ランダム行列の固有値と固有ベクトルの統計量を大サイズ極限で決定することである。 核物理学に端を発した初期の研究では、統計物理学における平均場モデルに似た、エルミート対称性と全相互作用の両方を持つアンサンブルに焦点が当てられていた。 全相互作用の仮定を緩和すると、トポロジカルな乱れが生じ、多数のゼロエントリーを持つ疎なランダム行列のアンサンブルにつながる。 このような行列は、与えられた自由度が有限の数の他の自由度と相互作用する複雑なシステムをモデル化し、神経ネットワークや生態系などのシステムとの関連で自然に生じる。
しかし、この広い重要性にもかかわらず、ランダム行列理論からの標準解析法が適用できないため、疎な非エルミートランダム行列は過去10年間にのみ重要な研究を受けていた。 行列のサイズが大きくなると、固有値や固有ベクトルの性質が決定論的極限に収束することを証明するのが非常に難しくなるため、このような行列に対する厳密な結果はほとんど存在しないのである。 しかし、最近の研究では、新しいアプローチで進展が見られます。 この論文では、LMLフェローのフェルナンド・メッツが、キングス・カレッジ・ロンドンのイザーク・ネリ、バース大学のティム・ロジャースとともに、疎な非エルミートランダム行列のスペクトルの研究における理論的進展をレビューし、ランダム行列計算と無秩序スピン系の統計力学の間の有益な類似に基づく厳密アプローチに焦点を当てます。 その結果、単純なモデルでは、これらの方法によって、疎な非エルミートランダム行列のスペクトル特性の解析的な結果を得ることができることが示された。
Metzらは、スパース非エルミートランダム行列の理論は、古典的なランダム行列理論と比較して、まだ初期段階にあり、多くの未解決問題があることを指摘して、レビューを締めくくっている。 その中でも普遍性の問題は重要である。 ランダム行列理論の興味は、多くのスペクトル観測量の普遍的な振る舞いに大きく依存しており、これにより複雑な力学系の安定性を研究することが可能になる。 疎なランダム行列の場合、グラフ構造の強い局所的揺らぎにより、この可能性は失われるように思われる。 しかし、疎な非エルミートランダム行列のアンサンブルの多くは、スペクトルギャップ、実部が最大となる固有値、この固有値に対応する固有ベクトルモーメントなど、ある普遍的な性質を示すことが分かっています。 これらのスペクトル特性は、複雑な系の安定性や定常ダイナミクスを決定する。 したがって、正しい観測量に注目すれば、疎行列の普遍的な振る舞いを見つける希望があるように思われ、大規模な力学系における普遍性の理解を深めることにつながるかもしれない。