Proprietà degli insiemi sotto un’operazione
I matematici sono spesso interessati a sapere se certi insiemi hanno o meno particolari proprietà sotto una data operazione. Uno dei motivi per cui i matematici erano interessati a questo era per poter determinare quando le equazioni avrebbero avuto soluzioni. Se un insieme sotto una data operazione ha certe proprietà generali, allora possiamo risolvere equazioni lineari in quell’insieme, per esempio.
Ci sono diverse proprietà importanti che un insieme può o non può soddisfare sotto una particolare operazione. Una proprietà è una certa regola che vale se è vera per tutti gli elementi di un insieme sotto la data operazione e una proprietà non vale se c’è almeno una coppia di elementi che non segue la proprietà sotto la data operazione.
Parlare di proprietà in questo modo astratto non ha ancora molto senso, quindi vediamo alcuni esempi di proprietà in modo da capire meglio cosa sono. In questa lezione, impareremo la proprietà di chiusura.
La proprietà di chiusura
Un insieme ha la proprietà di chiusura sotto una particolare operazione se il risultato dell’operazione è sempre un elemento dell’insieme. Se un insieme ha la proprietà di chiusura sotto una particolare operazione, allora diciamo che l’insieme è “chiuso sotto l’operazione”.
È molto più facile capire una proprietà guardando degli esempi che non parlandone semplicemente in modo astratto, quindi passiamo a guardare degli esempi in modo che possiate vedere esattamente di cosa stiamo parlando quando diciamo che un insieme ha la proprietà di chiusura:
Prima guardiamo alcuni insiemi infiniti con operazioni che ci sono già familiari:
a) L’insieme dei numeri interi è chiuso sotto l’operazione di addizione perché la somma di due interi qualsiasi è sempre un altro intero ed è quindi nell’insieme dei numeri interi.
b) L’insieme dei numeri interi non è chiuso sotto l’operazione di divisione perché quando si divide un intero per un altro, non sempre si ottiene un altro intero come risposta. Per esempio, 4 e 9 sono entrambi interi, ma 4 ÷ 9 = 4/9. 4/9 non è un intero, quindi non è nell’insieme dei numeri interi!
per vedere altri esempi di insiemi infiniti che soddisfano e non soddisfano la proprietà di chiusura.
c) L’insieme dei numeri razionali è chiuso sotto l’operazione di moltiplicazione, perché il prodotto di qualsiasi due numeri razionali sarà sempre un altro numero razionale, e sarà quindi nell’insieme dei numeri razionali. Questo perché moltiplicando due frazioni si avrà sempre come risultato un’altra frazione, poiché il prodotto di due frazioni a/b e c/d, darà come risultato ac/bd. L’unico modo possibile in cui ac/bd potrebbe non essere una frazione è se bd è uguale a 0. Ma se a/b e c/d sono entrambe frazioni, questo significa che né b né d è 0, quindi bd non può essere 0.
d) L’insieme dei numeri naturali non è chiuso sotto l’operazione di sottrazione perché quando si sottrae un numero naturale da un altro, non si ottiene sempre un altro numero naturale. Per esempio, 5 e 16 sono entrambi numeri naturali, ma 5 – 16 = – 11. – 11 non è un numero naturale, quindi non è nell’insieme dei numeri naturali!
Ora vediamo alcuni esempi di insiemi finiti con operazioni che possono non esserci familiari:
e) L’insieme {1,2,3,4} non è chiuso sotto l’operazione di addizione perché 2 + 3 = 5, e 5 non è un elemento dell’insieme {1,2,3,4}.
Lo possiamo vedere anche guardando la tabella delle operazioni per l’insieme {1,2,3,4} sotto l’operazione di addizione:
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+ |
||||
L’insieme{1,2,3,4} non è chiuso sotto l’operazione + perché c’è almeno un risultato (tutti i risultati sono ombreggiati in arancione) che non è un elemento dell’insieme {1,2,3,4}. Il grafico contiene i risultati 5, 6, 7 e 8, nessuno dei quali è elemento dell’insieme {1,2,3,4}!
f) L’insieme {a,b,c,d,e} ha la seguente tabella delle operazioni per l’operazione *:
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* |
a |
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c |
d |
e |
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a |
b |
c |
e |
a |
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b |
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c |
c |
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a |
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d |
a |
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c |
b |
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e |
e |
b |
a |
d |
c |
L’insieme{a,b,c,d,e} è chiuso sotto l’operazione * perché tutti i risultati (che sono ombreggiati in arancione) sono elementi dell’insieme {a,b,c,d,e}.
per vedere un altro esempio.
g) L’insieme {a,b,c,d,e} ha la seguente tabella delle operazioni per l’operazione $:
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a |
b |
c |
d |
e |
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a |
b |
f |
e |
a |
h |
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b |
d |
a |
c |
h |
e |
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c |
c |
d |
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g |
a |
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d |
g |
e |
d |
c |
b |
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e |
e |
b |
h |
d |
c |
L’insieme{a,b,c,d,e} non è chiuso sotto l’operazione $ perché c’è almeno un risultato (tutti i risultati sono ombreggiati in arancione) che non è un elemento dell’insieme {a,b,c,d,e}. Per esempio, secondo il grafico, a$b=f. Ma f non è un elemento di {a,b,c,d,e}!