Complexe functies die differentieerbaar zijn in elk punt van een open deelverzameling Ω {Displaystyle \Omega }
van het complexe vlak worden gezegd holomorf te zijn op Ω {{{\displaystyle \Omega }}
. In de context van complexe analyse is de afgeleide van f {\displaystyle f}
bij z 0 {\displaystyle z_{0}}
gedefinieerd als f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) – f ( z 0 ) z – z 0 . {Displaystyle f'(z_{0})=lim _{z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}.}
Oppervlakkig gezien is deze definitie formeel analoog aan die van de afgeleide van een reële functie. Complexe afgeleiden en differentieerbare functies gedragen zich echter heel anders dan hun reële tegenhangers. In het bijzonder, opdat deze limiet zou bestaan, moet de waarde van het verschilquotiënt hetzelfde complexe getal benaderen, ongeacht de manier waarop men z 0 benadert {Displaystyle z_{0}}
in het complexe vlak. Bijgevolg heeft complexe differentieerbaarheid veel sterkere implicaties dan reële differentieerbaarheid. Zo zijn holomorfe functies oneindig differentieerbaar, terwijl het bestaan van de n-de afgeleide voor reële functies niet het bestaan van de (n + 1)-de afgeleide hoeft te impliceren. Bovendien voldoen alle holomorfe functies aan de sterkere voorwaarde van analyticiteit, hetgeen betekent dat de functie in elk punt van haar domein plaatselijk gegeven is door een convergente machtreeks. In essentie betekent dit dat holomorfe functies op Ω {\Omega }
willekeurig goed benaderd kunnen worden door veeltermen in een of andere buurt van elk punt in Ω {\displaystyle \Omega }
. Dit staat in schril contrast met differentieerbare reële functies; er zijn oneindig differentieerbare reële functies die nergens analytisch zijn; zie Niet-analytische gladde functie § Een gladde functie die nergens reëel analytisch is.
De meeste elementaire functies, waaronder de exponentiële functie, de goniometrische functies, en alle polynomiale functies, op passende wijze uitgebreid tot complexe argumenten als functies C → C {\displaystyle \mathbb {C}}} \tot \mathbb {C} }
, zijn holomorf over het gehele complexe vlak en zijn dus gehele functies, terwijl rationale functies p / q {\displaystyle p/q}
, waarbij p en q polynomen zijn, holomorf zijn op domeinen die punten uitsluiten waar q nul is. Zulke functies die overal holomorf zijn, behalve in een stel geïsoleerde punten, heten meromorfe functies. Daarentegen zijn de functies z ↦ ℜ ( z )
, z ↦ | z | {\displaystyle z-mapsto |z|}
, en z ↦ z ¯ {\displaystyle z\mapsto {z}}
zijn nergens holomorf op het complexe vlak, zoals blijkt uit het feit dat ze niet voldoen aan de Cauchy-Riemann voorwaarden (zie hieronder).
Een belangrijke eigenschap van holomorfe functies is het verband tussen de partiële afgeleiden van hun reële en imaginaire componenten, bekend als de Cauchy-Riemann voorwaarden. Als f : C → C {afwijking f:\mathbb {C} \naar \mathbb {C} }
, gedefinieerd door f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}
, waarbij x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ∈ R {\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)} in \mathbb {R} }
, is holomorf op een gebied Ω {{displaystyle \Omega }
, dan ( ∂ f / ∂ z ¯ ) ( z 0 ) = 0 {\displaystyle (∂ f/ ∂ z ¯ )(z_{0})=0}
moet gelden voor alle z 0 ∈ Ω {\partieel z_{0}} in \Omega }
. Hierbij geldt dat de differentiaaloperator ∂ / ∂ z ¯ {{\displaystyle \partieel /\partieel {z}}}
is gedefinieerd als ( 1 / 2 ) ( ∂ / ∂ x + i ∂ / ∂ y ) {\displaystyle (1/2)(\partial /\partial x+i\partial /\partial y)}
. In termen van de reële en imaginaire delen van de functie, u en v, is dit equivalent met het stel vergelijkingen u x = v y {\displaystyle u_{x}=v_{y}}
en u y = – v x {\displaystyle u_{y}=-v_{x}}
, waarbij de subscripts partiële differentiatie aangeven. De Cauchy-Riemann voorwaarden karakteriseren echter geen holomorfe functies, zonder bijkomende continuïteitsvoorwaarden (zie de stelling van Looman-Menchoff).
Holomorfe functies vertonen enkele opmerkelijke eigenschappen. Zo beweert de stelling van Picard dat het bereik van een gehele functie slechts drie mogelijke vormen kan aannemen: C {\displaystyle \mathbb {C} }
, C ∖ { z 0 } {\displaystyle \mathbb {C} \{C}
, of {z 0 } {\displaystyle \{z_{0}}
voor sommige z 0 ∈ C {\displaystyle z_{0}} in \mathbb {C}} }
. Met andere woorden, als twee verschillende complexe getallen z {{0}
en w {{\displaystyle w}}
niet in het bereik liggen van een gehele functie f {{Displaystyle f}
, dan is f {{\displaystyle f}
een constante functie. Bovendien is een holomorfe functie op een verbonden open verzameling bepaald door haar beperking tot een willekeurige niet-lege open deelverzameling.