Il concetto base di lunghezza ha origine dalla distanza euclidea. Nella geometria euclidea, una linea retta rappresenta la distanza più breve tra due punti. Questa linea ha una sola lunghezza. Sulla superficie di una sfera, questa è sostituita dalla lunghezza geodetica (chiamata anche lunghezza del grande cerchio), che è misurata lungo la curva di superficie che esiste nel piano contenente entrambi i punti finali e il centro della sfera. La lunghezza delle curve di base è più complicata, ma può anche essere calcolata. Misurando con i righelli, si può approssimare la lunghezza di una curva sommando la somma delle linee rette che collegano i punti:
Utilizzando poche linee rette per approssimare la lunghezza di una curva si ottiene una stima inferiore alla lunghezza vera; quando si usano linee sempre più corte (e quindi più numerose), la somma si avvicina alla lunghezza vera della curva. Un valore preciso di questa lunghezza può essere trovato usando il calcolo, il ramo della matematica che permette di calcolare distanze infinitesimamente piccole. L’animazione seguente illustra come ad una curva liscia può essere significativamente assegnata una lunghezza precisa:
Tuttavia, non tutte le curve possono essere misurate in questo modo. Un frattale è, per definizione, una curva la cui complessità cambia con la scala di misurazione. Mentre le approssimazioni di una curva liscia tendono ad un unico valore all’aumentare della precisione della misurazione, il valore misurato per un frattale non converge.
Come la lunghezza di una curva frattale diverge sempre verso l’infinito, se si dovesse misurare una linea costiera con risoluzione infinita o quasi-infinita, la lunghezza delle pieghe infinitamente brevi nella linea costiera si aggiungerebbe all’infinito. Tuttavia, questa figura si basa sull’assunzione che lo spazio possa essere suddiviso in sezioni infinitesimali. Il valore di verità di questa assunzione – che è alla base della geometria euclidea e serve come modello utile nella misurazione quotidiana – è una questione di speculazione filosofica, e può o non può riflettere le realtà mutevoli di “spazio” e “distanza” a livello atomico (approssimativamente la scala di un nanometro). Per esempio, la lunghezza di Planck, molti ordini di grandezza più piccola di un atomo, è proposta come la più piccola unità misurabile possibile nell’universo.
Le linee costiere sono meno definite nella loro costruzione rispetto ai frattali idealizzati come l’insieme di Mandelbrot, perché sono formate da vari eventi naturali che creano modelli in modi statisticamente casuali, mentre i frattali idealizzati si formano attraverso iterazioni ripetute di semplici sequenze formali.
Si tratta di una serie di frattali, ma non di fratture.