Riceviamo ogni sorta di domande nella nostra casella di posta elettronica “Ask a Physicist” (compreso un numero decisamente scoraggiante di persone che sembrano pensare che sia “Ask a Psychic”) ma un argomento che sembra costantemente accendere l’immaginazione e la curiosità delle persone è la velocità della luce. Cosa la definisce, e perché niente può andare più veloce di così? Cosa succede se ci proviamo? Pensare a queste domande e cercare di trovare le loro risposte è affascinante e divertente di per sé, ma soprattutto ci dà un’idea delle regole alla base del nostro universo. Oggi, approfondiremo una di queste domande e la sua illuminante (nessun gioco di parole) risposta: Perché la velocità della luce nel vuoto è di ~300.000.000 metri al secondo? Perché c?
A prescindere dalla lunghezza d’onda e dall’energia, tutte le onde elettromagnetiche si muovono alla stessa velocità.
Immaginate di avere un filo carico che si estende infinitamente in entrambe le direzioni. Poiché è infinito, è difficile parlare di quanta carica totale c’è sul filo, come potremmo fare se fosse qualcosa come una sfera. Tuttavia, osservando un’unità finita di lunghezza, possiamo parlare, per esempio, della carica per metro, o densità di carica.
Un filo infinito ha lo stesso aspetto da qualsiasi punto della sua lunghezza, quindi quando pensi alla forza del campo elettrico creato dalla carica in questo filo – quanto fortemente una particella carica sarebbe attratta o respinta da esso – dipenderà solo dalla densità di carica del filo e dalla distanza della particella dal filo (così come dalla permittività del mezzo in cui ti trovi, che per i nostri scopi è il vuoto). L’equazione per il campo elettrico intorno a questo filo è mostrata qui sotto:
Ora, a distanza infinita, qualcuno comincia a tirare questo filo, tirandolo lungo il suo asse. Per tutti gli scopi pratici, questo movimento crea una corrente; piuttosto che spostare le cariche nel filo (come si farebbe cambiando la tensione ad un’estremità), stiamo spostando il filo stesso, insieme alle cariche che contiene. Per quanto riguarda il perché, si spera che lo vedrete tra un momento.
Come forse sapete, una corrente in un filo crea un campo magnetico che circonda quel filo. La forza di questo campo magnetico dipende dalla tua distanza dal filo (d), ma anche dalla forza della corrente, che in questo caso è il prodotto della densità di carica del filo e della velocità con cui viene tirato.
Ora immagina di avere un secondo di questi fili, parallelo al primo, caricato alla stessa tensione, e tirato nella stessa direzione alla stessa velocità. Essendo di carica simile, i due fili si respingeranno a vicenda, spinti a parte dalla loro repulsione elettrostatica.
Quando si calcola la forza tra due oggetti carichi, le loro cariche vengono moltiplicate insieme, portando al termine lambda al quadrato di cui sopra (poiché ogni filo ha una densità di carica di lambda).
La carica elettrica statica su questi fili li spinge a respingersi a vicenda. Tuttavia, poiché i fili vengono tirati nella stessa direzione, c’è effettivamente una corrente in ciascuno di essi, e il campo magnetico che accompagna queste correnti. Quando hai due correnti che puntano nella stessa direzione in fili paralleli, i loro campi magnetici creano una forza attrattiva tra i due – più velocemente vanno, più forte diventa questa forza attrattiva.
L’equazione per la forza attrattiva creata magneticamente tra i fili.
Se stai seguendo attentamente, vedrai che abbiamo creato uno scenario dove la forza attrattiva del magnetismo contrasta la forza elettrica repulsiva tra questi fili. Come puoi vedere dalle equazioni di cui sopra, però, la forza di questa forza magnetica dipende dalla velocità con cui si muovono i fili, mentre la forza elettrica repulsiva non lo fa (da qui il termine comune di fisica elettrostatica). Quindi, quanto velocemente dovrebbero muoversi i fili perché la repulsione elettrica sia annullata dall’attrazione magnetica? Possiamo scoprirlo ponendo le due equazioni delle forze uguali tra loro, come sotto, e poi risolvendo per v.
Un po’ di algebra ci aiuta a liberarci delle parentesi e a ridurre la frazione sul lato destro dell’equazione, ottenendo questo:
Un risultato sorprendente a questo passo è che il termine di densità di carica appare nello stesso posto su entrambi i lati dell’equazione, e sollevato alla stessa potenza, il che significa che può essere “annullato” – la velocità che i fili devono muovere per bilanciare le loro forze elettriche e magnetiche non dipende affatto dalla forza della loro carica. Anche il fattore 2*pi*d si annulla, il che significa che anche la distanza tra i fili è irrilevante in questa equazione. Dividendo tutti i termini ridondanti, l’equazione diventa:
e, infine, risolvendo per v si ottiene:
Se si inseriscono i valori numerici reali della permittività e permeabilità del vuoto, si ottiene 299.792.400 metri al secondo – esattamente la velocità della luce!
Quindi cosa significa questo? Per prima cosa, significa che in realtà non si potrebbe mai muovere i fili abbastanza velocemente perché la loro repulsione elettrica sia completamente contrastata dalla loro attrazione magnetica, poiché nessun oggetto massiccio può mai muoversi alla velocità della luce. Ancora più importante, però, ci dà un indizio sul perché la velocità della luce nel vuoto è quella che è; è la velocità in cui le forze elettriche e magnetiche si equilibrano per creare un pacchetto di onde elettromagnetiche stabile che può viaggiare indefinitamente. Se fosse più lento, il fotone si disfarebbe, così come i fili sarebbero spinti a parte dalla repulsione elettrica. Se fosse più veloce, il magnetismo supererebbe quella repulsione e li attirerebbe insieme, facendo collassare il sistema. Con nient’altro che la matematica a livello di scuola superiore, è facile dimostrare che la velocità della luce in un mezzo (o nel vuoto dello spazio) nasce inevitabilmente come conseguenza della permittività elettrica e della permeabilità magnetica di quel mezzo.
So che questo è stato terribilmente matematico per un post sul blog (in realtà abbiamo dovuto risolvere tutto questo come problema a casa all’università), ma spero che vi abbia dato un assaggio di una delle parti più eccitanti e coinvolgenti della fisica – il potenziale di derivare e scoprire verità universali letterali con nient’altro che un po’ di immaginazione e matematica.