Embora tanto Descartes como Fermat sugerissem o uso de três coordenadas para estudar curvas e superfícies no espaço, a geometria analítica tridimensional desenvolveu-se lentamente até cerca de 1730, quando os matemáticos suíços Leonhard Euler e Jakob Hermann e o matemático francês Alexis Clairaut produziram equações gerais para cilindros, cones e superfícies de revolução. Por exemplo, Euler e Hermann mostraram que a equação f(z) = x2 + y2 dá a superfície que é produzida girando a curva f(z) = x2 sobre o eixo z (veja a figura, que mostra o parabolóide elíptico z = x2 + y2).
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Newton fez a notável afirmação de que todos os cúbicos planos surgem daqueles em sua terceira forma padrão por projeção entre os planos. Isto foi provado independentemente em 1731 por Clairaut e pelo matemático francês François Nicole. Clairaut obteve todos os cúbicos nas quatro formas padrão de Newton como secções do cone cúbico2 = ax3 + bx2z + cxz2 + dz3 consistindo das linhas no espaço que unem a origem (0, 0, 0) aos pontos do terceiro cúbico padrão no plano z = 1.
Em 1748 Euler utilizou equações para rotações e translações no espaço para transformar o eixo de superfície quadric geral2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0 para que seus eixos principais coincidam com os eixos coordenados. Euler e os matemáticos franceses Joseph-Louis Lagrange e Gaspard Monge fizeram a geometria analítica independente da geometria sintética (não analítica).
Análise vectorial
No espaço euclidiano de qualquer dimensão, segmentos de linha direccionados por vectores – podem ser especificados por coordenadas. Um n-tuplo (a1, …, an) representa o vector no espaço n-dimensional que projecta sobre os números reais a1, …, an sobre os eixos coordenados.
Em 1843 o matemático astrónomo irlandês William Rowan Hamilton representou algebricamente os vectores tetradimensionais e inventou os quaterniões, a primeira álgebra não-comutativa a ser estudada extensivamente. A multiplicação dos quaterniões com uma coordenada zero levou Hamilton a descobrir operações fundamentais sobre os vectores. No entanto, os físicos matemáticos acharam a notação utilizada na análise vectorial mais flexível – em particular, ela é facilmente extensível a espaços infinitamente dimensionais. Os quaterniões permaneceram algebricamente interessantes e foram incorporados nos anos 60 em certos novos modelos de física de partículas.
Projeções
Como o poder computacional prontamente disponível cresceu exponencialmente nas últimas décadas do século 20, a animação por computador e o design assistido por computador tornaram-se onipresentes. Estas aplicações são baseadas na geometria analítica tridimensional. As coordenadas são usadas para determinar as bordas ou curvas paramétricas que formam os limites das superfícies dos objetos virtuais. A análise vectorial é usada para modelar a iluminação e determinar sombras realistas das superfícies.
A partir de 1850, Julius Plücker uniu geometria analítica e projectiva introduzindo coordenadas homogéneas que representam pontos no plano euclidiano (ver geometria euclidiana) e no infinito de uma forma uniforme como triplos. As transformações projetivas, que são mudanças lineares invertíveis de coordenadas homogêneas, são dadas por multiplicação matricial. Isto permite que programas de computação gráfica mudem eficientemente a forma ou a visão dos objetos retratados e os projetem do espaço virtual tridimensional para a tela de visão bidimensional.
Robert Alan BixHarry Joseph D’Souza