Cu ocazia apariției rock and roll-ului, Norman și-a achiziționat prima chitară la vârsta de șapte ani. Primele sale influențe muzicale au fost Elvis Presley, Little Richard și Lonnie Donegan.
În acești primii ani, părinții lui Norman s-au mutat mult prin țară, ceea ce a făcut ca el să meargă la nouă școli diferite și să locuiască în diverse locații din Anglia, cum ar fi Redcar, Luton, Kimpton și Nottingham. Cu toate acestea, până în 1962, familia s-a mutat înapoi în orașul natal al mamei lui Norman, Bradford. Apropiindu-se de împlinirea vârstei de 12 ani, Norman a început să studieze la St. Bede’s Grammar School, unde avea să-i întâlnească pe Alan Silson și Terry Uttley, viitorii membri ai trupei Smokie.
În adolescență, influențați de noua eră a unor grupuri precum The Beatles și The Rolling Stones și apoi de cântărețul folk, Bob Dylan, Norman și Silson au început să se întâlnească și își petreceau aproape tot timpul liber învățând cântece noi la chitară. Au reușit să-l convingă pe Uttley să li se alăture și, împreună cu un prieten toboșar pe nume Ron Kelly, au format prima lor trupă. The Yen, Essence și Long Side Down au fost doar câteva dintre diversele nume cu care s-au numit înainte de a se decide pentru „The Elizabethans”. Când Ron Kelly a părăsit grupul în 1973, un vechi prieten pe nume Pete Spencer a fost rugat să preia tobele, iar grupul, care avea să devină Smokie, era complet.
Între 1974 și începutul anilor ’80, Smokie s-a bucurat de succes făcând turnee în toată lumea, dar tensiunea și presiunea de a fi în mod constant departe de casă și de familie începea să se resimtă asupra lui Norman. La începutul anilor 1980 a decis să petreacă mai mult timp scriind și lucrând în studio. Norman și Spencer lucrau acum împreună la cântece pentru alți artiști, inclusiv la hituri pentru Kevin Keegan („Head Over Heels in Love”, un hit nr. 31 în Marea Britanie) și la cântecul echipei de fotbal a Angliei „This Time (We’ll Get It Right)”. De asemenea, a lucrat cu Agnetha Fältskog (pe albumul ei solo), Racey (co-autor al piesei „Baby It’s You”), Donovan (backing vocals pe Donovan), și Heavy Metal Kids.
În 1978, Norman a înregistrat un duet cu Suzi Quatro, „Stumblin’ In”, care a ajuns pe locul nr. 4 în US Billboard Hot 100 și s-a vândut în peste un milion de exemplare.
Cariera solo a lui Norman a luat avânt în 1986 cu piesa, „Midnight Lady”, care a fost un hit în toată Europa, deținând locul întâi în Germania timp de șase săptămâni (unde s-a vândut în 900.000 de exemplare). Alte succese au urmat cu piesele „Some Hearts Are Diamonds”, „No Arms Can Ever Hold You”, „Broken Heroes”, „Fearless Hearts”, „Sarah” și „Baby I Miss You”. În 1994, Norman a fost distins de CMT Europe ca „International Video Star of the Year”.
În 2004, a participat la Comeback Show la postul de televiziune german ProSieben și a interpretat „Stumblin’ In” în duet cu C. C. C. Catch. În ultimul episod al emisiunii, i s-a alăturat Smokie pentru cântecul final.
Pe 2 iunie 2007, Norman a cântat la Festivalul Peel Bay, Isle of Man.
.