În matematică, contraexemplele sunt adesea folosite pentru a demonstra limitele teoremelor posibile. Prin utilizarea contraexemplelor pentru a arăta că anumite conjecturi sunt false, cercetătorii matematicieni pot evita apoi să meargă pe căi oarbe și pot învăța să modifice conjecturile pentru a produce teoreme demonstrabile. Se spune uneori că dezvoltarea matematică constă în primul rând în găsirea (și demonstrarea) teoremelor și contraexemplelor.
Exemplu de dreptunghiEdit
Să presupunem că un matematician studiază geometria și formele și dorește să demonstreze anumite teoreme despre acestea. Ea conjecturează că „Toate dreptunghiurile sunt pătrate” și este interesată să știe dacă această afirmație este adevărată sau falsă.
În acest caz, ea poate fie să încerce să demonstreze adevărul afirmației folosind raționamentul deductiv, fie să încerce să găsească un contraexemplu al afirmației dacă bănuiește că este falsă. În acest din urmă caz, un contraexemplu ar fi un dreptunghi care nu este un pătrat, cum ar fi un dreptunghi cu două laturi de lungime 5 și două laturi de lungime 7. Cu toate acestea, în ciuda faptului că a găsit dreptunghiuri care nu sunt pătrate, toate dreptunghiurile pe care le-a găsit au patru laturi. În acest caz, ea formulează o nouă ipoteză: „Toate dreptunghiurile au patru laturi”. Aceasta este mai slabă din punct de vedere logic decât conjectura ei inițială, deoarece orice pătrat are patru laturi, dar nu orice formă cu patru laturi este un pătrat.
Exemplul de mai sus a explicat – într-un mod simplificat – modul în care un matematician ar putea să își slăbească conjectura în fața unor contraexemple, dar contraexemplele pot fi, de asemenea, folosite pentru a demonstra necesitatea anumitor ipoteze și supoziții. De exemplu, să presupunem că, după un timp, matematicianul de mai sus s-a oprit asupra noii conjecturi „Toate formele care sunt dreptunghiuri și au patru laturi de lungime egală sunt pătrate”. Această conjectură are două părți ale ipotezei: forma trebuie să fie „un dreptunghi” și trebuie să aibă „patru laturi de lungime egală”. Matematicianul ar dori atunci să știe dacă poate elimina oricare dintre cele două ipoteze și să mențină în continuare adevărul conjecturii sale. Aceasta înseamnă că trebuie să verifice adevărul următoarelor două afirmații:
- „Toate formele care sunt dreptunghiuri sunt pătrate.”
- „Toate formele care au patru laturi de lungime egală sunt pătrate.”
Un contraexemplu la (1) a fost deja dat mai sus, iar un contraexemplu la (2) este un romb care nu este pătrat. Contraexemple în topologie și Contraexemplu minim
Un contraexemplu la afirmația „toate numerele prime sunt numere impare” este numărul 2, deoarece acesta este un număr prim, dar nu este un număr impar. Nici unul dintre numerele 7 sau 10 nu este un contraexemplu, deoarece niciunul dintre ele nu este suficient pentru a contrazice afirmația. În acest exemplu, 2 este, de fapt, singurul contraexemplu posibil la afirmație, chiar dacă numai acest număr este suficient pentru a contrazice afirmația. În mod similar, afirmația „Toate numerele naturale sunt fie prime, fie compuse” are ca și contraexemplu numărul 1, deoarece 1 nu este nici prim, nici compus.
Conjectura lui Euler privind suma puterilor a fost infirmată prin contraexemplu. Aceasta afirma că sunt necesare cel puțin n puteri a n-a pentru a însuma o altă putere a n-a. Această conjectură a fost infirmată în 1966, cu un contraexemplu care implica n = 5; în prezent sunt cunoscute și alte contraexemple n = 5, precum și unele contraexemple n = 4.
Contraexemplul lui Witsenhausen arată că nu este întotdeauna adevărat (pentru probleme de control) că o funcție de pierdere pătratică și o ecuație liniară de evoluție a variabilei de stare implică legi de control optime care sunt liniare.
Alte exemple includ infirmarea conjecturii lui Seifert, a conjecturii lui Pólya, a conjecturii celei de-a paisprezecea probleme a lui Hilbert, a conjecturii lui Tait și a conjecturii lui Ganea.
.