Deconvoluție

SeismologieEdit

Conceptul de deconvoluție a avut o aplicație timpurie în seismologia de reflexie. În 1950, Enders Robinson era student absolvent la MIT. El a lucrat cu alte persoane de la MIT, cum ar fi Norbert Wiener, Norman Levinson și economistul Paul Samuelson, pentru a dezvolta „modelul convoluțional” al unei seismograme de reflexie. Acest model presupune că seismograma înregistrată s(t) este convoluția unei funcții de reflexie a Pământului e(t) și a unei undete seismice w(t) de la o sursă punctiformă, unde t reprezintă timpul de înregistrare. Astfel, ecuația noastră de convoluție este

s ( t ) = ( e ∗ w ) ( t ) . {\displaystyle s(t)=(e*w)(t).\,}

Seismologul este interesat de e, care conține informații despre structura Pământului. Prin teorema de convoluție, această ecuație poate fi transformată Fourier în

S ( ω ) = E ( ω ) W ( ω ) {\displaystyle S(\omega )=E(\omega )W(\omega )\\,}

în domeniul de frecvență, unde ω {\displaystyle \omega }

este variabila de frecvență. Presupunând că reflexivitatea este albă, putem presupune că spectrul de putere al reflexivității este constant și că spectrul de putere al seismogramei este spectrul undei înmulțit cu această constantă. Astfel, | S ( ω ) | ≈ k | W ( ω ) | . {\displaystyle |S(\omega )|\approx k|W(\omega )|.\,}

Dacă presupunem că wavelet-ul este de fază minimă, îl putem recupera prin calcularea echivalentului de fază minimă al spectrului de putere pe care tocmai l-am găsit. Reflectivitatea poate fi recuperată prin proiectarea și aplicarea unui filtru Wiener care modelează undeleta estimată la o funcție delta Dirac (adică un spike). Rezultatul poate fi văzut ca o serie de funcții delta scalate și decalate (deși acest lucru nu este riguros din punct de vedere matematic):

e ( t ) = ∑ i = 1 N r i δ ( t – τ i ) , {\displaystyle e(t)=\sum _{i=1}^{N}r_{i}\delta (t-\tau _{i}),}

unde N este numărul de evenimente de reflecție, r i {\displaystyle r_{i}}

sunt coeficienții de reflexie, t – τ i {\displaystyle t-\tau _{i}}

sunt timpii de reflexie ai fiecărui eveniment, iar δ {\displaystyle \delta }

este funcția delta Dirac.

În practică, deoarece avem de-a face cu seturi de date zgomotoase, cu lățime de bandă finită, cu lungime finită și cu eșantionare discretă, procedura de mai sus produce doar o aproximare a filtrului necesar pentru deconvoltarea datelor. Cu toate acestea, prin formularea problemei ca soluție a unei matrice Toeplitz și prin utilizarea recursivității Levinson, putem estima relativ rapid un filtru cu cea mai mică eroare medie pătratică posibilă. De asemenea, putem efectua deconvoluția direct în domeniul de frecvență și putem obține rezultate similare. Tehnica este strâns legată de predicția liniară.

Optică și alte tipuri de imagisticăEdit

Exemplu de imagine microscopică deconvoluită.

În domeniul opticii și al imagisticii, termenul „deconvoluție” este utilizat în mod specific pentru a se referi la procesul de inversare a distorsiunii optice care are loc într-un microscop optic, microscop electronic, telescop sau alt instrument de imagistică, creând astfel imagini mai clare. De obicei, acest proces este realizat în domeniul digital printr-un algoritm software, ca parte a unei suite de tehnici de procesare a imaginilor microscopice. Deconvoluția este, de asemenea, practică pentru a face mai clare imaginile care suferă de mișcare rapidă sau de zvâcniri în timpul capturării. Primele imagini ale Telescopului Spațial Hubble au fost distorsionate de o oglindă defectă și au fost ascuțite prin deconvoluție.

Metoda obișnuită este de a presupune că drumul optic prin instrument este perfect din punct de vedere optic, convolat cu o funcție de răspândire a punctului (PSF), adică o funcție matematică care descrie distorsiunea în termeni de drum pe care o sursă punctiformă teoretică de lumină (sau alte unde) îl parcurge prin instrument. De obicei, o astfel de sursă punctiformă contribuie cu o mică zonă de neclaritate la imaginea finală. În cazul în care această funcție poate fi determinată, este necesar să se calculeze funcția sa inversă sau complementară și să se convoleze imaginea achiziționată cu aceasta. Rezultatul este imaginea originală, nedistorsionată.

În practică, găsirea adevăratei PSF este imposibilă și, de obicei, se folosește o aproximare a acesteia, calculată teoretic sau bazată pe o estimare experimentală prin utilizarea unor sonde cunoscute. Optica reală poate avea, de asemenea, PSF-uri diferite la diferite locații focale și spațiale, iar PSF-ul poate fi neliniar. Precizia aproximării PSF va dicta rezultatul final. Se pot utiliza diferiți algoritmi pentru a obține rezultate mai bune, cu prețul unei mai mari necesități de calcul. Deoarece convoluția originală elimină date, unii algoritmi utilizează date suplimentare obținute în punctele focale apropiate pentru a compensa o parte din informațiile pierdute. Regularizarea în algoritmii iterativi (ca în algoritmii de maximizare a așteptărilor) poate fi aplicată pentru a evita soluțiile nerealiste.

Când PSF este necunoscută, poate fi posibilă deducerea acesteia prin încercarea sistematică a diferitelor PSF posibile și evaluarea dacă imaginea s-a îmbunătățit. Această procedură se numește deconvoluție oarbă. Deconvoluția oarbă este o tehnică de restaurare a imaginii bine stabilită în astronomie, unde natura punctiformă a obiectelor fotografiate expune PSF-ul, făcându-l astfel mai fezabil. De asemenea, este utilizată în microscopia de fluorescență pentru restaurarea imaginii și în imagistica spectrală de fluorescență pentru separarea spectrală a mai multor fluorofori necunoscuți. Cel mai comun algoritm iterativ în acest scop este algoritmul de deconvoluție Richardson-Lucy; deconvoluția Wiener (și aproximările) sunt cei mai comuni algoritmi neiterativi.

Imaginea THz de înaltă rezoluție se obține prin deconvoluția imaginii THz și a PSF-ului THz modelat matematic. (a) Imaginea THz a unui circuit integrat (IC) înainte de îmbunătățire; (b) PSF THz modelată matematic; (c) Imaginea THz de înaltă rezoluție care se obține ca urmare a deconvoluției imaginii THz prezentată în (a) și a PSF care este prezentată în (b); (d) Imaginea cu raze X de înaltă rezoluție confirmă acuratețea valorilor măsurate.

Pentru unele sisteme de imagistică specifice, cum ar fi sistemele terahertz cu puls laser, PSF poate fi modelată matematic. Ca urmare, așa cum se arată în figură, deconvoluția PSF modelată și a imaginii terahertziene poate da o reprezentare cu rezoluție mai mare a imaginii terahertziene.

RadioastronomieEdit

Când se realizează sinteza imaginii în radiointerferometrie, un tip specific de radioastronomie, un pas constă în deconvoluția imaginii produse cu „fasciculul murdar”, care este un nume diferit pentru funcția de împrăștiere a punctului. O metodă utilizată în mod obișnuit este algoritmul CLEAN.

Spectre de absorbțieEdit

Deconvoluția a fost aplicată pe scară largă la spectrele de absorbție. Se poate utiliza algoritmul Van Cittert (articol în limba germană).

Aspecte legate de transformata FourierEdit

Deconvoluția se mapează la diviziunea în co-domeniul Fourier. Acest lucru permite ca deconvoluția să fie ușor de aplicat cu date experimentale care sunt supuse unei transformate Fourier. Un exemplu este spectroscopia RMN în care datele sunt înregistrate în domeniul timpului, dar analizate în domeniul frecvenței. Divizarea datelor din domeniul timp cu o funcție exponențială are ca efect reducerea lățimii liniilor Lorenziane în domeniul frecvență.

.