Deși atât Descartes cât și Fermat au sugerat folosirea a trei coordonate pentru a studia curbele și suprafețele din spațiu, geometria analitică tridimensională s-a dezvoltat lent până în jurul anului 1730, când matematicienii elvețieni Leonhard Euler și Jakob Hermann și matematicianul francez Alexis Clairaut au produs ecuații generale pentru cilindri, conuri și suprafețe de revoluție. De exemplu, Euler și Hermann au arătat că ecuația f(z) = x2 + y2 dă suprafața care este produsă prin rotirea curbei f(z) = x2 în jurul axei z (a se vedea figura, care prezintă paraboloidul eliptic z = x2 + y2).
Encyclopædia Britannica, Inc.
Newton a făcut afirmația remarcabilă că toate cubicele plane rezultă din cele din a treia sa formă standard prin proiecție între planuri. Acest lucru a fost demonstrat independent în 1731 de Clairaut și de matematicianul francez François Nicole. Clairaut a obținut toate cubicele din cele patru forme standard ale lui Newton ca secțiuni ale cubicei conezy2 = ax3 + bx2z + cxz2 + dz3 formată din dreptele din spațiu care unesc originea (0, 0, 0) cu punctele de pe cea de-a treia cubică standard din planul z = 1.
În 1748 Euler a folosit ecuațiile pentru rotații și translații în spațiu pentru a transforma suprafața pătratică generalăax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0 astfel încât axele sale principale să coincidă cu axele de coordonate. Euler și matematicienii francezi Joseph-Louis Lagrange și Gaspard Monge au făcut ca geometria analitică să fie independentă de geometria sintetică (neanalitică).
Analiza vectorială
În spațiul euclidian de orice dimensiune, vectorii – segmente de dreaptă dirijate – pot fi specificați prin coordonate. O n-tuplă (a1, …, an) reprezintă vectorul în spațiul n-dimensional care se proiectează pe numerele reale a1, …, an pe axele de coordonate.
În 1843 matematicianul-astronom irlandez William Rowan Hamilton a reprezentat algebric vectorii cvadridimensionali și a inventat quaternionii, prima algebră necomutativă care a fost studiată pe scară largă. Înmulțirea quaternionilor cu un zero de coordonate l-a determinat pe Hamilton să descopere operațiile fundamentale asupra vectorilor. Cu toate acestea, fizicienii matematicieni au considerat că notația utilizată în analiza vectorială este mai flexibilă – în special, este ușor de extins la spații infinit-dimensionale. Cuaternionii au rămas de interes din punct de vedere algebric și au fost încorporați în anii 1960 în anumite modele noi ale fizicii particulelor.
Proiecții
Cum puterea de calcul ușor disponibilă a crescut exponențial în ultimele decenii ale secolului XX, animația pe calculator și proiectarea asistată de calculator au devenit omniprezente. Aceste aplicații se bazează pe geometria analitică tridimensională. Coordonatele sunt utilizate pentru a determina marginile sau curbele parametrice care formează limitele suprafețelor obiectelor virtuale. Analiza vectorială este utilizată pentru a modela iluminarea și a determina nuanțele realiste ale suprafețelor.
Încă din 1850, Julius Plücker a unit geometria analitică și proiectivă prin introducerea coordonatelor omogene care reprezintă punctele din planul euclidian (vezi geometria euclidiană) și de la infinit într-un mod uniform ca triple. Transformările proiective, care sunt modificări liniare inversabile ale coordonatelor omogene, sunt date de înmulțirea matricelor. Aceasta permite programelor de grafică pe calculator să modifice eficient forma sau vederea obiectelor ilustrate și să le proiecteze din spațiul virtual tridimensional pe ecranul de vizualizare bidimensional.
Robert Alan BixHarry Joseph D’Souza