Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations

Calculul constantei gravitaționale, cu modelul de aparat care îl însoțește.

Ce arată

Atracția gravitațională între sfere de plumb. Datele din demonstrație pot fi, de asemenea, folosite pentru a calcula constanta gravitațională universală G.

Fotografie prin amabilitatea lui Clive Grainger

Cum funcționează

Aparatul Cavendish constă, în principiu, din două perechi de sfere, fiecare pereche formând niște gantere care au o axă de rotație comună (figura 1). O halteră este suspendată de o fibră de cuarț și este liberă să se rotească prin răsucirea fibrei; cantitatea de răsucire este măsurată prin poziția unui punct luminos reflectat de o oglindă atașată la fibră. A doua halteră poate fi rotită astfel încât fiecare dintre sferele sale să se afle în imediata apropiere a uneia dintre sferele celeilalte haltere; atracția gravitațională dintre două seturi de sfere răsucește fibra, iar măsura acestei răsuciri este cea care permite calcularea mărimii forței gravitaționale.

figura 1. Halterele gemene ale experimentului Cavendish

Aparatul Cavendish pe care îl folosim în prezent este construit de PASCO. 1 Fibra de cuarț și haltera mai mică sunt închise într-o carcasă metalică cu fereastră de sticlă pentru protecție. O vedere în plan a sferelor și dimensiunile sunt prezentate în figura 2. Un laser HeNe este utilizat pentru a asigura reflecția spotului. Atunci când aparatul este utilizat cantitativ, pentru a calcula G.

figura 2 se folosește de obicei metoda timpului de oscilație. Vedere în plan a schemei de dispunere a halterei duble

Haltera mare este rotită pe axa sa astfel încât sferele să se preseze pe scutul de sticlă de lângă sferele mai mici (vezi figura 2). Atracția gravitațională dintre sfere exercită un moment de torsiune asupra fibrei de cuarț care se răsucește cu un unghi mic. Se notează poziția punctului reflectat și se mută haltera mare în cea de-a doua poziție pe cealaltă parte a sticlei; atracția gravitațională răsucește fibra în direcția opusă. Se notează timpul de răspuns al spotului pentru a se deplasa în a doua poziție și poziția finală a spotului. Viteza cu care fibra poate răspunde la deplasare depinde de constanta sa de torsiune κ, care poate fi calculată prin măsurarea perioadei de oscilație a fibrei,

Cuplul aplicat datorat atracției gravitaționale τ=κθ unde θ este unghiul maxim de deviere a spotului luminos. La această deviație maximă, forța dintre o sferă mare și o sferă mică este

unde r este distanța dintre centrele sferelor. Ea este legată de cuplul de torsiune prin τ=F(L/2), unde L este lungimea halterei mici. Deci, constanta gravitațională poate fi calculată prin

Rețineți că, pe măsură ce oglinda se rotește cu un unghi θ, lumina reflectată se deplasează cu 2θ. Astfel, prin inversarea halteră se măsoară un unghi de 4θ.

Datele pentru acest aparat particular sunt prezentate în tabelul 1.

Tabelul 1. Date despre aparatul Cavendish

mai mic de 5 x 10-2 radiani, sau mai mic de 3 grade (din măsurători directe) când masele mari se deplasează dintr-o poziție în alta

constanta de torsiune κ	3,10 ± 0,10 x 10-8 N m (calculată din specificațiile PASCO și măsurători directe)
perioada de oscilație T	498,2 ± 6,0 s (din măsurători directe)
max. unghi de excursie
unghiul de echilibru θ	5,40 x 10-3 radiani ± 15% (din măsurători directe)
separarea sferelor mici r	de la specificația PASCO: 46,5 mm atunci când masa mare este împotriva carcasei și sfera mică este în poziție centrală în interiorul carcasei. Rețineți că precizia acestei valori depinde de cât de bine este centrată balanța în interiorul carcasei.
masa sferei mari M	1500 g (din spec)
masa sferei mici m	38,3 ± 0.2 g (din specificație)
distanța de la centrul masei mici la axa de torsiune	50 mm (din specificație)

Întocmire:

Acest experiment folosește un aparat foarte sensibil care necesită răbdare și finețe pentru a fi pregătit corect. Consultați versiunea tipărită a manualului de utilizare PASCO din dosarul albastru „Cavendish Experiment” din dulapul de arhivă.

• În primul rând găsiți o platformă stabilă și plasați-o în sala de lectură. Deși balanța are picioare care pot fi ajustate pentru a o face să fie nivelată, pentru cele mai bune rezultate, platforma trebuie să fie și ea rezonabil de nivelată.
• Balanța PASCO folosită în prezent este foarte sensibilă, astfel încât, pentru a vă proteja împotriva deteriorării panglicii de torsiune în timpul transportului, aparatul trebuie transportat cu grijă în sala de curs și așezat pe platformă.
• Îndepărtați placa frontală a balanței pentru a expune mica halteră și brațele de susținere reglabile care o imobilizează în timpul transportului. Coborâți brațele de susținere astfel încât să nu interfereze cu ganterele. Reglați picioarele astfel încât întregul aparat să fie nivelat și înlocuiți placa frontală.
• Utilizați firul galben pentru a împământa electric aparatul. Așezați masele mari în poziția „neutră”, astfel încât să fie perpendiculare pe masele mici din interior.
• În acest moment, probabil că haltera se mișcă destul de mult în interiorul carcasei; pe măsură ce echilibrul se așează, reglați laserul la distanța și unghiul adecvate pentru public.
• Vibrațiile halterelor se vor atenua de obicei după aproximativ 20 de minute. Pentru o instalare mai rapidă, mișcările pot fi amortizate prin ridicarea și coborârea lentă a brațelor de susținere. Dacă, după așezare, haltera continuă să își schimbe brusc direcția, înseamnă că echilibrul de torsiune al panglicii s-a îndepărtat prea mult de unde ar trebui să fie, iar panglica trebuie „pusă la zero.”
• Pentru a pune la zero balanța, începeți prin a slăbi cu grijă șurubul cu degete care iese din partea superioară a arborelui principal. Tot lângă partea de sus, butonul rotund mare atașat la cureaua elastică este folosit pentru a schimba direcția panglicii (observați că există un buton de reglare fină și unul grosier). Așteptați până când haltera a făcut o excursie completă în direcția ajustării necesare pentru a minimiza oscilația adăugată. Strângeți din nou cu grijă șurubul cu degete (nu prea strâns) și amortizați haltera care vibrează, după cum este necesar. Repetați până la zero.

Aparatul a fost inventat inițial de către Rev. John Michell în 1795 pentru a măsura densitatea Pământului și a fost modificat de Henry Cavendish în 1798 pentru a măsura G. În 1785, Coulomb a folosit un aparat similar pentru a măsura forța electrostatică între bile de miez încărcate. În afară de semnificația istorică a experimentului, este foarte frumos să vezi că poți măsura o forță atât de incredibil de slabă folosind un dispozitiv atât de simplu.

Într-o sală de conferințe, aparatul Cavendish este prea mic pentru ca publicul să îi vadă funcționarea. Un model la scară mare al halteră și al componentelor din fibră este o idee bună pentru a ajuta la explicarea a ceea ce se întâmplă. Am construit un astfel de model din lemn și alamă, cu brațe ale halterelor de 50 cm lungime, iar haltera mică atârnă de un fir de cupru. Sferele mai mari, din lemn, au magneți închiși, iar sferele mai mici, din polistiren, au în centrul lor rulmenți cu bile de oțel.

1. M.H.Shamos, Great Experiments in Physics, (Henry Holt & Co. New York 1959) p.75, conține lucrarea originală a lui Cavendish
2. R.E. Crandall, Am J Phys 54, 367, 1983.
3. J.Cl. Dousse și C. Rheme, Am J Phys 55, 706, 1987.
4. Y.T. Chen și A. Cook, Gravitational Experiments in the Laboratory, (Cambridge University Press, 1993).
5. C. A. Coulomb, Premiere Memoire sur l’electricite et le Magnetisme, Histoire de l’Academie Royale des Sciences, 569-577 (1785).

1 disponibil la CENCO 33210C, și PASCO SE-9633

.