Proprietăți ale ansamblurilor sub o operație
Matematicienii sunt adesea interesați să afle dacă anumite ansambluri au sau nu anumite proprietăți sub o anumită operație. Un motiv pentru care matematicienii au fost interesați de acest lucru a fost pentru a putea determina când ecuațiile vor avea soluții. Dacă un ansamblu sub o anumită operație are anumite proprietăți generale, atunci putem rezolva ecuații liniare în acel ansamblu, de exemplu.
Există câteva proprietăți importante pe care un ansamblu le poate satisface sau nu sub o anumită operație. O proprietate este o anumită regulă care este valabilă dacă este adevărată pentru toate elementele unui ansamblu sub operația dată și o proprietate nu este valabilă dacă există cel puțin o pereche de elemente care nu respectă proprietatea sub operația dată.
Să vorbim despre proprietăți în acest mod abstract nu prea are încă sens, așa că haideți să analizăm câteva exemple de proprietăți pentru a înțelege mai bine ce sunt acestea. În această prelegere, vom învăța despre proprietatea de închidere.
Proprietatea de închidere
Un ansamblu are proprietatea de închidere sub o anumită operație dacă rezultatul operației este întotdeauna un element al ansamblului. Dacă un ansamblu are proprietatea de închidere sub o anumită operație, atunci spunem că ansamblul este „închis sub operația respectivă”.
Este mult mai ușor să înțelegi o proprietate uitându-te la exemple decât pur și simplu vorbind despre ea într-un mod abstract, așa că să trecem la examinarea exemplelor, astfel încât să puteți vedea exact despre ce vorbim atunci când spunem că un ansamblu are proprietatea de închidere:
Prima dată să ne uităm la câteva seturi infinite cu operații care ne sunt deja familiare:
a) Setul numerelor întregi este închis sub operația de adunare deoarece suma oricăror două numere întregi este întotdeauna un alt număr întreg și, prin urmare, se află în setul numerelor întregi.
b) Ansamblul numerelor întregi nu este închis sub operația de împărțire pentru că atunci când împărțiți un număr întreg la un alt număr întreg, nu întotdeauna obțineți ca răspuns un alt număr întreg. De exemplu, 4 și 9 sunt ambele numere întregi, dar 4 ÷ 9 = 4/9. 4/9 nu este un număr întreg, deci nu se află în ansamblul numerelor întregi!
pentru a vedea mai multe exemple de ansambluri infinite care satisfac și nu satisfac proprietatea de închidere.
c) Ansamblul numerelor raționale este închis sub operația de înmulțire, deoarece produsul oricăror două numere raționale va fi întotdeauna un alt număr rațional și, prin urmare, se va afla în ansamblul numerelor raționale. Acest lucru se datorează faptului că înmulțirea a două fracții va da întotdeauna ca rezultat o altă fracție, deoarece produsul a două fracții a/b și c/d, va da ca rezultat ac/bd. Singura posibilitate ca ac/bd să nu fie o fracție este ca bd să fie egal cu 0. Dar dacă a/b și c/d sunt amândouă fracții, înseamnă că nici b, nici d nu sunt 0, deci bd nu poate fi 0.
d) Ansamblul numerelor naturale nu este închis sub operația de scădere, deoarece atunci când se scade un număr natural din altul, nu se obține întotdeauna un alt număr natural. De exemplu, 5 și 16 sunt ambele numere naturale, dar 5 – 16 = – 11. – 11 nu este un număr natural, deci nu se află în ansamblul numerelor naturale!
Acum să analizăm câteva exemple de ansambluri finite cu operații care s-ar putea să nu ne fie familiare:
e) Ansamblul {1,2,3,4} nu este închis sub operația de adunare deoarece 2 + 3 = 5, iar 5 nu este un element al ansamblului {1,2,3,4}.
Am putea vedea acest lucru și dacă ne uităm la tabelul de operații pentru ansamblul {1,2,3,4} sub operația de adunare:
|
+ |
|||||
Asamblul{1,2,3,4} nu este închis sub operația + deoarece există cel puțin un rezultat (toate rezultatele sunt umbrite în portocaliu) care nu este un element al ansamblului {1,2,3,4}. Graficul conține rezultatele 5, 6, 7 și 8, dintre care niciunul nu este un element al ansamblului {1,2,3,4}!
f) Ansamblul {a,b,c,d,e} are următorul tabel de operații pentru operația *:
|
* |
a |
b |
c |
d |
e |
||
|
a |
b |
b |
c |
e |
a |
d |
|
|
b |
|||||||
|
b |
d |
a |
c |
b |
e |
||
|
c |
c |
d |
b |
e |
a |
||
|
d |
a |
e |
e |
d |
c |
b |
|
|
e |
e |
e |
e |
b |
a |
d |
c |
Asamblul{a,b,c,c,d,e} este închis sub operația * deoarece toate rezultatele (care sunt umbrite în portocaliu) sunt elemente din ansamblul {a,b,c,c,d,e}.
pentru a vedea un alt exemplu.
g) Ansamblul {a,b,c,c,d,e} are următorul tabel de operații pentru operația $:
|
a |
b |
c |
d |
e |
||
|
a |
b |
f |
f |
e |
a |
h |
|
b |
||||||
|
b |
d |
a |
c |
h |
e |
|
|
c |
c |
d |
b |
g |
a |
|
|
d |
g |
e |
e |
d |
c |
b |
|
e |
e |
b |
h |
d |
c |
Asamblul{a,b,c,c,d,e} nu este închis sub operația $ deoarece există cel puțin un rezultat (toate rezultatele sunt umbrite în portocaliu) care nu este un element al ansamblului {a,b,c,c,d,e}. De exemplu, conform graficului, a$b=f. Dar f nu este un element al ansamblului {a,b,c,d,e}!
.