Setul Cantor

CardinalitateEdit

Se poate demonstra că în acest proces rămân în urmă tot atâtea puncte câte au fost la început și că, prin urmare, setul Cantor este nenumărabil. Pentru a vedea acest lucru, arătăm că există o funcție f din setul Cantor C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

către intervalul închis care este surjectivă (adică f face o hartă de la C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

pe ) astfel încât cardinalitatea lui C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

nu este mai mică decât cea a lui . Deoarece C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

este un subansamblu al lui , cardinalitatea sa nu este nici ea mai mare, deci cele două cardinalități trebuie să fie de fapt egale, prin teorema Cantor-Bernstein-Schröder.

Pentru a construi această funcție, considerați punctele din interval în termeni de notație în baza 3 (sau ternară). Reamintim că fracțiile ternare proprii, mai precis: elementele din ( Z ∖ { 0 } ) ⋅ 3 – N 0 {\displaystyle {\bigl (}\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\}{\bigr )}\cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}

, admit mai multe reprezentări în această notație, ca de exemplu 1/3, care poate fi scris ca 0,13 = 0,103, dar și ca 0,0222…3 = 0,023, și 2/3, care poate fi scris ca 0,23 = 0.203, dar și ca 0,1222…3 = 0,123. Când eliminăm treimea din mijloc, aceasta conține numere cu cifre ternare de forma 0,1xxxxx…3, unde xxxxx…3 este strict între 00000…3 și 22222…3. Așadar, numerele rămase după prima etapă constau în

• Numere de forma 0,0xxxxx…3 (inclusiv 0,022222…3 = 1/3)
• Numere de forma 0,2xxxxx…3 (inclusiv 0,222222…3 = 1/3)
• Numere de forma 0,2xxxxx…3 (inclusiv 0,222222…3 = 1)

Acest lucru poate fi rezumat spunând că acele numere cu o reprezentare ternară astfel încât prima cifră după punctul de radix să nu fie 1 sunt cele care rămân după primul pas.

În al doilea pas se elimină numerele de forma 0,01xxxx…3 și 0,21xxxx…3 și (cu o grijă corespunzătoare pentru punctele terminale) se poate concluziona că numerele rămase sunt cele cu o reprezentare ternară în care niciuna dintre primele două cifre nu este 1.

Continuând în acest fel, pentru ca un număr să nu fie exclus la pasul n, el trebuie să aibă o reprezentare ternară a cărei a n-a cifră să nu fie 1. Pentru ca un număr să fie în ansamblul Cantor, el nu trebuie să fie exclus la nici un pas, trebuie să admită o reprezentare numerică formată în întregime din 0 și 2.

Merită subliniat faptul că numere ca 1, 1/3 = 0,13 și 7/9 = 0,213 sunt în ansamblul Cantor, deoarece au numerale ternare formate în întregime din 0 și 2: 1 = 0,222…3 = 0,23, 1/3 = 0,0222…3 = 0,023 și 7/9 = 0,20222…3 = 0,2023.Toate aceste din urmă numere sunt „puncte terminale”, iar aceste exemple sunt puncte limită drepte ale lui C {\displaystyle {\mathcal {C}}}.

. Același lucru este valabil și pentru punctele limită stânga ale lui C {\displaystyle {\mathcal {C}}}.

, de exemplu, 2/3 = 0,1222…3 = 0,123 = 0,203 și 8/9 = 0,21222…3 = 0,2123 = 0,2203. Toate aceste puncte finale sunt fracții ternare proprii (elemente ale lui Z ⋅ 3 – N 0 {\displaystyle \mathbb {Z} \cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}

) de forma p/q, unde numitorul q este o putere a lui 3 atunci când fracția este în forma sa ireductibilă. Reprezentarea ternară a acestor fracții se termină (adică este finită) sau – reamintim din cele de mai sus că fracțiile ternare propriu-zise au fiecare 2 reprezentări – este infinită și „se termină” fie cu un număr infinit de 0-uri care se repetă, fie cu un număr infinit de 2-uri care se repetă. O astfel de fracție este un punct limită stâng al lui C {\displaystyle {\mathcal {C}}}.

dacă reprezentarea sa ternară nu conține niciun 1 și „se termină” în infinit de multe 0-uri recurente. În mod similar, o fracție ternară proprie este un punct limită drept al lui C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

dacă, din nou, expansiunea sa ternară nu conține niciun 1 și „se termină” cu un număr infinit de 2-uri recurente.

Acest ansamblu de puncte finale este dens în C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

(dar nu este dens în ) și alcătuiește un ansamblu infinit numărabil. Numerele din C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

care nu sunt puncte finale au, de asemenea, numai 0 și 2 în reprezentarea lor ternară, dar nu se pot termina cu o repetiție infinită a cifrei 0, nici a cifrei 2, pentru că atunci ar fi un punct final.

Funcția din C {\displaystyle {\mathcal {C}}}}.

la se definește prin luarea cifrelor ternare care constau în întregime din 0 și 2, înlocuirea tuturor celor 2 cu 1 și interpretarea secvenței ca o reprezentare binară a unui număr real. Într-o formulă, f ( ∑ k ∈ N a k 3 – k ) = ∑ k ∈ N a k 2 2 – k {\displaystyle f{\bigg (}\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{k}3^{-k}{\bigg )}=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {a_{k}{2}}}2^{-k}}

unde ∀ k ∈ N : a k ∈ { 0 , 2 } . {\displaystyle \forall k\în \mathbb {N} :a_{k}\în \{0,2\}.}.

Pentru orice număr y din , reprezentarea sa binară poate fi tradusă într-o reprezentare ternară a unui număr x din C {\displaystyle {\mathcal {C}}}.

prin înlocuirea tuturor 1-urilor cu 2-uri. Cu aceasta, f(x) = y, astfel încât y se află în intervalul lui f. De exemplu, dacă y = 3⁄5 = 0,100110011001…2 = 0,1001, scriem x = 0,2002 = 0,200220022002…3 = 7⁄10. În consecință, f este surjectivă. Cu toate acestea, f nu este injectivă – valorile pentru care f(x) coincide sunt cele de la capetele opuse ale uneia dintre treimi de mijloc eliminate. De exemplu, să luăm 1⁄3 = 0,023 (care este un punct limită drept al lui C {\displaystyle {\mathcal {C}}}}.

și un punct limită stâng al treimii mijlocii ) și 2⁄3 = 0,203 (care este un punct limită stâng al lui C {\displaystyle {\mathcal {C}}}.

și un punct limită drept al treimii de mijloc).

deci

f ( 1 / 3 ) = f ( 0,0 2 ¯ 3 ) = 0,0 1 ¯ 2 = 0,1 2 = 0,1 0 ¯ 2 = f ( 0,2 0 ¯ 3 ) = f ( 2 / 3 ) . ∥ 1 / 2 {\displaystyle {\begin{array}{lcl}f{\bigl (}{}^{1}\!\!\!/\!_{3}{\bigr )}=f(0.0{\overline {2}}_{3})=0.0{\overline {1}}}_{2}=\!\!\!&\!\!\!0.1_{2}\!\!&\!\!=0.1{\overline {0}}_{2}=f(0.2{\overline {0}}_{3})=f{\bigl (}{}^{2}\!\!/\!_{3}{\bigr )}.\\&\parallel \\&{}^{1}\!\!/\!_{2}\end{array}}}

Există deci tot atâtea puncte în setul Cantor câte puncte există în intervalul (care are cardinalitatea nenumărabilă c = 2 ℵ 0 {\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{{\aleph _{0}}}

). Cu toate acestea, setul de puncte finale ale intervalelor eliminate este numărabil, deci trebuie să existe un număr nenumărabil de numere în setul Cantor care nu sunt puncte finale ale intervalelor. După cum s-a menționat mai sus, un exemplu al unui astfel de număr este 1⁄4, care poate fi scris ca 0,020202…3 = 0,02 în notație ternară. De fapt, dat fiind orice a ∈ {\displaystyle a\in }

, există x , y ∈ C {\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}}

astfel încât a = y – x {\displaystyle a=y-x}

. Acest lucru a fost demonstrat pentru prima dată de Steinhaus în 1917, care a demonstrat, printr-un argument geometric, afirmația echivalentă că { ( x , y ) ∈ R 2 | y = x + a } ∩ ( C × C ) ≠ ∅ ∅ {\displaystyle \{(x,y)\în \mathbb {R} ^{2}\,|\,y=x+a\}\;\cap \;({\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}})\neq \emptyset }

pentru fiecare a ∈ {\displaystyle a\in }

. Deoarece această construcție asigură o injecție din {\displaystyle }

la C × C {\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}.

, avem | C × C | ≥ | | | = c {\displaystyle |{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}|\geq ||={\mathfrak {c}}}

ca un corolar imediat. Presupunând că | A × A | = | A | {\displaystyle |A\times A|=|A|}

pentru orice ansamblu infinit A {\displaystyle A}

(o afirmație care s-a dovedit a fi echivalentă cu axioma alegerii de către Tarski), aceasta oferă o altă demonstrație că | C | = c {\displaystyle |{\mathcal {C}}|={\mathfrak {c}}}

.

Setul Cantor conține atâtea puncte câte puncte are intervalul din care este luat, dar el însuși nu conține nici un interval de lungime diferită de zero. Numerele iraționale au aceeași proprietate, dar setul Cantor are proprietatea suplimentară de a fi închis, deci nu este nici măcar dens în nici un interval, spre deosebire de numerele iraționale care sunt dense în fiecare interval.

S-a conchis că toate numerele iraționale algebrice sunt normale. Deoarece membrii setului Cantor nu sunt normali, acest lucru ar implica faptul că toți membrii setului Cantor sunt fie raționali, fie transcendentali.

AutosimilaritateEdit

Setul Cantor este prototipul unui fractal. El este autosimilar, deoarece este egal cu două copii ale lui însuși, dacă fiecare copie este micșorată de un factor 3 și translatată. Mai precis, setul Cantor este egal cu uniunea a două funcții, transformările de autosimilaritate stânga și dreapta ale lui însuși, T L ( x ) = x / 3 {\displaystyle T_{L}(x)=x/3}.

și T R ( x ) = ( 2 + x ) / 3 {\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}

, care lasă setul Cantor invariant până la homeomorfism: T L ( C ) ≅ T R ( C ) ≅ C = T L ( C ) ∪ T R ( C ) . {\displaystyle T_{L}({\mathcal {C}})\cong T_{R}({\mathcal {C}})\cong {\mathcal {C}}=T_{L}({\mathcal {C}})\cup T_{R}({\mathcal {C}})\cup T_{R}({\mathcal {C}}).}

Iterarea repetată a lui T L {\displaystyle T_{L}}

și T R {\displaystyle T_{R}}

poate fi vizualizat ca un arbore binar infinit. Adică, la fiecare nod al arborelui, se poate lua în considerare subarborele din stânga sau din dreapta. Considerând setul { T L , T R } {\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}}

împreună cu compunerea funcțiilor formează un monoid, monoidul diadic.

Automorfismele arborelui binar sunt rotațiile hiperbolice ale acestuia și sunt date de grupul modular. Astfel, ansamblul Cantor este un spațiu omogen în sensul că pentru orice două puncte x {\displaystyle x}

și y {\displaystyle y}

din ansamblul Cantor C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

, există un homeomorfism h : C → C {\displaystyle h:{\mathcal {C}}\ la {\mathcal {C}}}.

cu h ( x ) = y {\displaystyle h(x)=y}

. O construcție explicită a lui h {\displaystyle h}

poate fi descrisă mai ușor dacă privim setul Cantor ca pe un spațiu produs de un număr numărabil de copii ale spațiului discret { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}}.

. Atunci harta h : { 0 , 1 } N → { 0 , 1 } N {\displaystyle h:\{0,1\}^{\mathbb {N} }\to \{{0,1\}^{\mathbb {N} }}

definită prin h n ( u ) := u n + x n + y n mod 2 {\displaystyle h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}\mod 2}

este un homeomorfism involutiv care schimbă x {\displaystyle x}

și y {\displaystyle y}

.

Legea conservăriiEdit

S-a constatat că o anumită formă de lege de conservare este întotdeauna responsabilă pentru scalare și autosimilaritate. În cazul ansamblului Cantor se poate observa că d f {\displaystyle d_{f}}.

al treilea moment (unde d f = ln ( 2 ) / ln ( 3 ) {\displaystyle d_{f}=\ln(2)/\ln(3)}

este dimensiunea fractală) a tuturor intervalelor supraviețuitoare în orice etapă a procesului de construcție este egală cu constanta care este egală cu unu în cazul setului Cantor . Știm că există N = 2 n {\displaystyle N=2^{n}}

intervale de dimensiune 1 / 3 n {\displaystyle 1/3^{n}}

prezente în sistem la n {\displaystyle n}

a n-a etapă a construcției sale. Atunci, dacă etichetăm intervalele supraviețuitoare ca fiind x 1 , x 2 , … , x 2 n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2^{n}}}.

atunci d f {\displaystyle d_{f}}

al treilea moment este x 1 d f + x 2 d f + ⋯ + x 2 n d f = 1 {\displaystyle x_{1}^{d_{f}}+x_{2}^{d_{f}}+\cdots +x_{2^{n}}^{d_{f}}=1}}

întrucât x 1 = x 2 = ⋯ = x 2 n = 1 / 3 n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{n}}=1/3^{n}}

.

Dimensiunea Hausdorff a setului Cantor este egală cu ln(2)/ln(3) ≈ 0,631.

Proprietăți topologice și analiticeEdit

Deși „setul” Cantor se referă de obicei la setul Cantor original, al treimilor de mijloc, descris mai sus, topologii vorbesc adesea despre „un” set Cantor, care înseamnă orice spațiu topologic care este homeomorf (echivalent topologic) cu acesta.

După cum arată argumentul însumării de mai sus, setul Cantor este nenumărabil, dar are măsura Lebesgue 0. Deoarece setul Cantor este complementul unei uniuni de seturi deschise, el însuși este un subansamblu închis al realelor și, prin urmare, un spațiu metric complet. Deoarece este, de asemenea, complet delimitat, teorema Heine-Borel spune că trebuie să fie compact.

Pentru orice punct din setul Cantor și orice vecinătate arbitrar de mică a punctului, există un alt număr cu un numitor ternar format numai din 0 și 2, precum și numere ale căror numerale ternare conțin 1. Prin urmare, fiecare punct din ansamblul Cantor este un punct de acumulare (numit și punct de cluster sau punct limită) al ansamblului Cantor, dar niciunul nu este un punct interior. Un ansamblu închis în care fiecare punct este un punct de acumulare se mai numește un ansamblu perfect în topologie, în timp ce un subansamblu închis al intervalului fără puncte interioare nu este nicăieri dens în interval.

Care punct al ansamblului Cantor este, de asemenea, un punct de acumulare al complementului ansamblului Cantor.

Pentru orice două puncte din ansamblul Cantor, va exista o cifră ternară în care ele diferă – unul va avea 0 și celălalt 2. Împărțind setul Cantor în „jumătăți” în funcție de valoarea acestei cifre, se obține o partiție a setului Cantor în două seturi închise care separă cele două puncte inițiale. În topologia relativă pe ansamblul Cantor, punctele au fost separate de un ansamblu închis. În consecință, ansamblul Cantor este total deconectat. Ca spațiu Hausdorff compact și total deconectat, setul Cantor este un exemplu de spațiu Stone.

Ca spațiu topologic, setul Cantor este homeomorf în mod natural la produsul a nenumărate copii ale spațiului { 0 , 1 } {\displaystyle \\{0,1\}}.

, unde fiecare copie poartă topologia discretă. Acesta este spațiul tuturor secvențelor în două cifre 2 N = { ( x n ) ∣ x n ∈ { 0 , 1 } pentru n ∈ N } {\displaystyle 2^{\mathbb {N} }=\{{(x_{n})\mid x_{n}\ în \{0,1\}{{\text{ pentru }}n\ în \mathbb {N} \}}

,

care poate fi, de asemenea, identificat cu ansamblul numerelor întregi 2-adice. Baza pentru seturile deschise ale topologiei produsului sunt seturile cilindrice; homeomorfismul le mapează pe acestea în topologia subspațiului pe care setul Cantor o moștenește de la topologia naturală pe linia numerelor reale. Această caracterizare a spațiului Cantor ca un produs de spații compacte oferă o a doua dovadă că spațiul Cantor este compact, prin teorema lui Tychonoff.

Din caracterizarea de mai sus, setul Cantor este homeomorf cu numerele întregi p-adice și, dacă se elimină un punct din el, cu numerele p-adice.

Asamblul Cantor este un subansamblu al realelor, care este un spațiu metric în raport cu metrica de distanță obișnuită; prin urmare, însuși ansamblul Cantor este un spațiu metric, prin utilizarea aceleiași metrici. Alternativ, se poate utiliza metrica p-adică pe 2 N {\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}

: date două secvențe ( x n ), ( y n ) ∈ 2 N {\displaystyle (x_{n}),(y_{n})\ în 2^{\mathbb {N} }}

, distanța dintre ele este d ( ( ( x n ) , ( y n ) ) ) = 2 – k {\displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}}}

, unde k {\displaystyle k}

este cel mai mic indice astfel încât x k ≠ y k {\displaystyle x_{k}\neq y_{k}}.

; dacă nu există un astfel de indice, atunci cele două secvențe sunt identice și se definește distanța ca fiind zero. Aceste două metrice generează aceeași topologie pe ansamblul Cantor.

Am văzut mai sus că setul Cantor este un spațiu metric perfect compact perfect deconectat total. Într-adevăr, într-un anumit sens, este singurul: orice spațiu metric perfect compact perfect compact total deconectat nevid este homeomorf cu ansamblul Cantor. A se vedea Spațiul Cantor pentru mai multe informații despre spațiile homeomorfe la setul Cantor.

Setul Cantor este uneori considerat „universal” în categoria spațiilor metrice compacte, deoarece orice spațiu metric compact este o imagine continuă a setului Cantor; cu toate acestea, această construcție nu este unică și, prin urmare, setul Cantor nu este universal în sensul categoric precis. Proprietatea „universală” are aplicații importante în analiza funcțională, unde este uneori cunoscută sub numele de teorema reprezentării pentru spațiile metrice compacte.

Pentru orice număr întreg q ≥ 2, topologia asupra grupului G=Zqω (suma directă numărabilă) este discretă. Deși dublul lui Pontrjagin Γ este tot Zqω, topologia lui Γ este compactă. Se poate observa că Γ este total deconectată și perfectă – astfel, este homeomorfă la ansamblul Cantor. Cel mai simplu este să scriem homeomorfismul în mod explicit în cazul q=2. (Vezi Rudin 1962 p 40.)

Media geometrică a setului Cantor este de aproximativ 0,274974.

Măsură și probabilitateEdit

Setorul Cantor poate fi văzut ca grupul compact de secvențe binare și, ca atare, este înzestrat cu o măsură Haar naturală. Atunci când este normalizat astfel încât măsura setului să fie 1, acesta este un model al unei secvențe infinite de aruncări de monede. În plus, se poate arăta că măsura Lebesgue obișnuită pe interval este o imagine a măsurii Haar pe ansamblul Cantor, în timp ce injecția naturală în ansamblul ternar este un exemplu canonic de măsură singulară. Se poate arăta, de asemenea, că măsura Haar este o imagine a oricărei probabilități, ceea ce face din setul Cantor un spațiu universal de probabilitate în anumite privințe.

În teoria măsurii Lebesgue, setul Cantor este un exemplu de ansamblu care este nenumărabil și are măsură zero.

Numerele CantorEdit

Dacă definim un număr Cantor ca fiind un membru al ansamblului Cantor, atunci

• (1) Orice număr real în este suma a două numere Cantor.
• (2) Între oricare două numere Cantor există un număr care nu este un număr Cantor.

Teoria descriptivă a seturilorEdit

Asamblul Cantor este un ansamblu megalat (sau un ansamblu de primă categorie) ca subset al (deși nu ca subset al lui însuși, deoarece este un spațiu Baire). Setul Cantor demonstrează astfel că noțiunile de „mărime” în termeni de cardinalitate, măsură și categorie (Baire) nu trebuie neapărat să coincidă. La fel ca setul Q ∩ {\displaystyle \mathbb {Q} \cap }

, setul Cantor C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

este „mic” în sensul că este un ansamblu nul (un ansamblu de măsură zero) și este un subset sărăcăcios al . Totuși, spre deosebire de Q ∩ {\displaystyle \mathbb {Q} \cap }

, care este numărabil și are o cardinalitate „mică”, ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}

, cardinalitatea lui C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

este aceeași cu cea a , continuumului c {\displaystyle {\mathfrak {c}}}.

, și este „mare” în sensul de cardinalitate. De fapt, este, de asemenea, posibil să se construiască un subansamblu al care să fie sărac, dar de măsură pozitivă și un subansamblu care să nu fie sărac, dar de măsură zero: Luând uniunea numărabilă a seturilor Cantor „grase” C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}

de măsură λ = ( n – 1 ) / n {\displaystyle \lambda =(n-1)/n}

(vezi setul Smith-Volterra-Cantor de mai jos pentru construcție), obținem un set A := ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {A}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}.

care are o măsură pozitivă (egală cu 1), dar este slabă în , deoarece fiecare C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}

nu este nicăieri densă. Atunci se consideră setul A c = ∖ ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}

. Din moment ce A ∪ A c = {\displaystyle {\mathcal {A}}\cup {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=}

, A c {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }}

nu poate fi sărac, dar din moment ce μ ( A ) = 1 {\displaystyle \mu ({\mathcal {A}})=1}

, A c {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }}

trebuie să aibă măsura zero.