Spațiu Banach

Operatori liniari, izomorfismeEdit

Dacă X și Y sunt spații normate pe același câmp de bază K, ansamblul tuturor hărților K-lineare continue T : X → Y se notează cu B(X, Y). În spațiile infinit-dimensionale, nu toate hărțile liniare sunt continue. O hartă liniară dintr-un spațiu normat X către un alt spațiu normat este continuă dacă și numai dacă este mărginită pe bila unitară închisă a lui X. Astfel, spațiul vectorial B(X, Y) poate fi dat de operatorul norm

‖ T ‖ = sup { ‖ T x ‖ Y ∣ x ∈ X , ‖ x ‖ X ‖ ≤ 1 } . {\displaystyle \|T\|=\sup \left\{\|Tx\|_{Y}\mid x\în X,\ \|x\|_{X}\leq 1\right\}.}.

Pentru Y un spațiu Banach, spațiul B(X, Y) este un spațiu Banach în raport cu această normă.

Dacă X este un spațiu Banach, spațiul B(X) = B(X, X) formează o algebră Banach unitală; operația de înmulțire este dată de compunerea hărților liniare.

Dacă X și Y sunt spații normate, ele sunt spații normate izomorfe dacă există o bijecție liniară T : X → Y astfel încât T și inversul său T -1 să fie continue. Dacă unul dintre cele două spații X sau Y este complet (sau reflexiv, separabil etc.), atunci la fel este și celălalt spațiu. Două spații normate X și Y sunt izomorfe din punct de vedere izometric dacă, în plus, T este o izometrie, adică, ||T(x)|| = ||x||| pentru orice x din X. Distanța Banach-Mazur d(X, Y) între două spații izomorfe dar nu izometrice X și Y dă o măsură a cât de mult diferă cele două spații X și Y.

Noțiuni de bazăEdit

Produsul cartezian X × Y a două spații normate nu este echipat canonic cu o normă. Cu toate acestea, mai multe norme echivalente sunt utilizate în mod obișnuit, cum ar fi

‖ ( x , y ) ‖ 1 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖ , ‖ ( x , y ) ‖ ∞ = max ( ‖ x ‖ , ‖ y ‖ ) {\displaystyle \|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)}

și dau naștere la spații normate izomorfe. În acest sens, produsul X × Y (sau suma directă X ⊕ Y) este complet dacă și numai dacă cei doi factori sunt compleți.

Dacă M este un subspațiu liniar închis al unui spațiu normat X, există o normă naturală pe spațiul cotitor X / M,

‖ x + M ‖ = inf m ∈ M ‖ x + m ‖ . {\displaystyle \|x+M\|=\inf \limită _{m\în M}\|x+m\|.}.

Cotientul X / M este un spațiu Banach când X este complet. Harta de cuotient din X în X / M, trimițând x din X în clasa sa x + M, este liniară, onto și are norma 1, cu excepția cazului în care M = X, caz în care cuotientul este spațiul nul.

Subspațiul liniar închis M din X se spune că este un subspațiu completat al lui X dacă M este domeniul unei proiecții liniare delimitate P din X în M. În acest caz, spațiul X este izomorf cu suma directă a lui M și Ker(P), nucleul proiecției P.

Supunem că X și Y sunt spații Banach și că T ∈ B(X, Y). Există o factorizare canonică a lui T ca

T = T 1 ∘ π , T : X ⟶ π X / Ker ( T ) ⟶ T 1 Y {\displaystyle T=T_{1}\circ \pi ,\ \ \ \ T:X\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }}}\ X/\operatorname {Ker} (T)\ {\overset {T_{1}}{\longrightarrow }}}\ Y}

unde prima hartă π este harta de cuotient, iar cea de-a doua hartă T1 trimite fiecare clasă x + Ker(T) din cuotient la imaginea T(x) din Y. Aceasta este bine definită deoarece toate elementele din aceeași clasă au aceeași imagine. Harta T1 este o bijecție liniară de la X / Ker(T) la intervalul T(X), a cărei inversă nu trebuie să fie delimitată.

Spații clasiceEdit

Exemplele de bază ale spațiilor Banach includ: spațiile Lp și cazurile lor speciale, spațiile de secvențe ℓp care constau din secvențe scalare indexate cu N; printre acestea, spațiul ℓ1 al secvențelor absolut sumabile și spațiul ℓ2 al secvențelor pătrate sumabile; spațiul c0 al secvențelor care tind la zero și spațiul ℓ∞ al secvențelor mărginite; spațiul C(K) al funcțiilor scalare continue pe un spațiu Hausdorff compact K, dotat cu norma maximă,

‖ f ‖ C ( K ) = max { | f ( x ) | : x ∈ K } , f ∈ C ( K ) . {\displaystyle \ |f\|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|:x\în K\},\quadrul f\în C(K).}

Conform teoremei Banach-Mazur, orice spațiu Banach este izometric izomorf cu un subspațiu al unui anumit C(K). Pentru orice spațiu Banach separabil X, există un subspațiu închis M al lui ℓ1 astfel încât X ≅ ℓ1/M.

Care spațiu Hilbert servește ca exemplu de spațiu Banach. Un spațiu Hilbert H pe K = R, C este complet pentru o normă de forma

‖ x ‖ H = ⟨ x , x ⟩ , {\displaystyle \|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\rangle }},}

unde

⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : H × H → K {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbf {K} }

este produsul interior, liniar în primul său argument, care satisface următoarele:

∀ x , y ∈ H : ⟨ y , x ⟩ = ⟨ x , y ⟩ ¯ , ∀ x ∈ H : ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 , ⟨ x , x ⟩ = 0 ⇔ x = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\forall x,y\in H:\quad \langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\\\\forall x\in H:\quad \langle x,x\rangle &\geq 0,\\\\langle x,x\rangle =0\LeftLeftrightarrow x&=0.\end{aligned}}}}.

De exemplu, spațiul L2 este un spațiu Hilbert.

Spațiile Hardy, spațiile Sobolev sunt exemple de spații Banach care sunt înrudite cu spațiile Lp și care au o structură suplimentară. Ele sunt importante în diferite ramuri ale analizei, analiza armonică și ecuațiile diferențiale parțiale, printre altele.

Algebre BanachEdit

O algebră Banach este un spațiu Banach A peste K = R sau C, împreună cu o structură de algebră peste K, astfel încât harta produs A × A ∋ (a, b) ↦ ab ∈ A este continuă. Se poate găsi o normă echivalentă pe A astfel încât ||ab||| ≤ ||a||| ||b||| pentru toate a, b ∈ A.

ExempleEdit

• Spațiul Banach C(K), cu produsul punctiform, este o algebră Banach.
• Algebra de discuri A(D) este formată din funcții holomorfe în discul unitate deschis D ⊂ C și continue pe închiderea sa: D. Echipată cu norma maximă pe D, algebra de disc A(D) este o subalgebră închisă a lui C(D).
• Algebra Wiener A(T) este algebra funcțiilor de pe cercul unitar T cu serii Fourier absolut convergente. Prin intermediul hărții care asociază o funcție pe T la secvența coeficienților săi Fourier, această algebră este izomorfă cu algebra Banach ℓ1(Z), unde produsul este convoluția secvențelor.
• Pentru orice spațiu Banach X, spațiul B(X) al operatorilor liniari delimitați pe X, cu compoziția hărților ca produs, este o algebră Banach.
• O algebră C* este o algebră Banach complexă A cu o involuție antiliniară a ↦ a∗ astfel încât ||a∗a|| = ||a|||2. Spațiul B(H) al operatorilor liniari delimitați pe un spațiu Hilbert H este un exemplu fundamental de C*-algebră. Teorema Gelfand-Naimark afirmă că orice C*-algebră este izomorfă izometric la o C*-subalgebră a unui anumit B(H). Spațiul C(K) al funcțiilor continue complexe pe un spațiu compact Hausdorff K este un exemplu de C*-algebră comutativă, în care involuția asociază fiecărei funcții f conjugatul său complex f .

Spațiu dualEdit

Dacă X este un spațiu normat și K câmpul subiacent (fie numerele reale, fie numerele complexe), spațiul dual continuu este spațiul hărților liniare continue din X în K, sau al funcțiilor liniare continue. În acest articol, notația pentru spațiul dual continuu este X ′ = B(X, K). Deoarece K este un spațiu Banach (folosind valoarea absolută ca normă), dualul X ′ este un spațiu Banach, pentru orice spațiu normat X.

Principalul instrument pentru demonstrarea existenței funcțiilor liniare continue este teorema Hahn-Banach.

Teorema Hahn-Banach. Fie X un spațiu vectorial pe câmpul K = R, C. Fie de asemenea

• Y ⊆ X un subspațiu liniar,
• p : X → R să fie o funcție sublineară și
• f : Y → K să fie o funcție liniară astfel încât Re( f (y)) ≤ p(y) pentru tot y din Y.

Atunci, există o funcție liniară F : X → K astfel încât F | Y = f , și ∀ x ∈ X , Re ( F ( x ) ) ) ≤ p ( x ) . {\displaystyle F|_{Y}=f,\quad {\text{și}}\quad \forall x\în X,\ \ \ \operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).}

În special, orice funcțională liniară continuă pe un subspațiu al unui spațiu normat poate fi extinsă continuu la întregul spațiu, fără a crește norma funcționalei. Un caz special important este următorul: pentru fiecare vector x dintr-un spațiu normat X, există o funcție liniară continuă f pe X astfel încât

f ( x ) = ‖ x ‖ X , ‖ f ‖ X ′ ≤ 1. {\displaystyle f(x)=\|x\|_{X},\quad \|f\|_{X’}\leq 1.}

Când x nu este egal cu vectorul 0, funcția f trebuie să aibă norma unu și se numește o funcție de normare pentru x.

Teorema de separare Hahn-Banach afirmă că două seturi convexe disjuncte și nevide dintr-un spațiu real Banach, dintre care unul este deschis, pot fi separate printr-un hiperplan afin închis. Setul convex deschis se află strict de o parte a hiperplanului, cel de-al doilea set convex se află de cealaltă parte, dar poate atinge hiperplanul.

Un subansamblu S într-un spațiu Banach X este total dacă intervalul liniar al lui S este dens în X. Subansamblul S este total în X dacă și numai dacă singura funcție liniară continuă care dispare pe S este funcția 0: această echivalență rezultă din teorema Hahn-Banach.

Dacă X este suma directă a două subspații liniare închise M și N, atunci duala X ′ a lui X este izomorfă cu suma directă a dualelor lui M și N. Dacă M este un subspațiu liniar închis în X, se poate asocia ortogonala lui M în dual,

M ⊥ = { x ′ ∈ X ′ : x ′ ( m ) = 0 , ∀ m ∈ M } . {\displaystyle M^{\perp }=\left\{x’\în X’:x'(m)=0,\ \ \pentru toți m\în M\right\}.}.

Ortogonala M ⊥ este un subspațiu liniar închis al dualului. Dualul lui M este izometric izomorf cu X ′ / M ⊥. Dualul lui X / M este izometric izomorf cu M ⊥.

Dualul unui spațiu Banach separabil nu trebuie să fie neapărat separabil, ci:

Teoremă. Fie X un spațiu normat. Dacă X ′ este separabil, atunci X este separabil.

Când X ′ este separabil, criteriul de mai sus pentru totalitate poate fi folosit pentru a dovedi existența unui subansamblu total numărabil în X.

Topologii slabeEdit

Topologia slabă pe un spațiu Banach X este cea mai grosieră topologie pe X pentru care toate elementele x ′ din spațiul dual continuu X ′ sunt continue. Prin urmare, topologia normei este mai fină decât topologia slabă. Din teorema de separare Hahn-Banach rezultă că topologia slabă este Hausdorff și că un subset convex închis de normă al unui spațiu Banach este, de asemenea, slab închis. O hartă liniară continuă din punct de vedere al normei între două spații Banach X și Y este, de asemenea, slab continuă, adică continuă de la topologia slabă a lui X la cea a lui Y.

Dacă X este infinit-dimensional, există hărți liniare care nu sunt continue. Spațiul X∗ al tuturor hărților liniare de la X la câmpul subiacent K (acest spațiu X∗ se numește spațiu dual algebric, pentru a-l distinge de X ′) induce, de asemenea, o topologie pe X care este mai fină decât topologia slabă și mult mai puțin utilizată în analiza funcțională.

Pe un spațiu dual X ′, există o topologie mai slabă decât topologia slabă a lui X ′, numită topologie slabă*. Aceasta este cea mai grosieră topologie pe X ′ pentru care toate hărțile de evaluare x′ ∈ X ′ → x′(x), x ∈ X, sunt continue. Importanța sa provine din teorema Banach-Alaoglu.

Teorema Banach-Alaoglu. Fie X un spațiu vectorial normat. Atunci bila unitară închisă B ′ = {x′ ∈ X ′ : ||x′||| ≤ 1} a spațiului dual este compact în topologia weak*.

Teorema Banach-Alaoglu depinde de teorema lui Tychonoff despre produsele infinite ale spațiilor compacte. Atunci când X este separabil, bila unitate B ′ a spațiului dual este un compact metrizabil în topologia slabă*.

Exemple de spații dualeEdit

Dualul lui c0 este izometric izomorf cu ℓ1: pentru orice funcțională liniară mărginită f pe c0, există un singur element y = {yn} ∈ ℓ1 astfel încât

f ( x ) = ∑ n ∈ N x n y n , x = { x n } ∈ c 0 , și ‖ f ‖ ( c 0 ) ′ = ‖ y ‖ ℓ 1 . {\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbf {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{{x_{n}\\}în c_{0},\ \ \ {\text{și}}\ \ \|f\|_{(c_{0})’}=\|y\|_{\ell _{1}}.}

Dualul lui ℓ1 este izometric izomorf cu ℓ∞. Dualul lui Lp() este izometric izomorf cu Lq() atunci când 1 ≤ p < ∞ și 1/p + 1/q = 1.

Pentru orice vector y într-un spațiu Hilbert H, se obține corespondența

x ∈ H → f y ( x ) = ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle x\în H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle }

definește o funcțională liniară continuă fy pe H. Teorema de reprezentare Riesz afirmă că orice funcțională liniară continuă pe H este de forma fy pentru un vector y definit în mod unic în H. Maparea y ∈ H → fy este o bijecție izometrică izometrică antiliniară din H pe dublul său H ′. Atunci când scalarii sunt reali, această hartă este un izomorfism izometric.

Când K este un spațiu topologic compact Hausdorff, dualul M(K) al lui C(K) este spațiul măsurilor Radon în sensul lui Bourbaki. Subansamblul P(K) din M(K) format din măsuri nenegative de masă 1 (măsuri de probabilitate) este un subansamblu convex w*-închis al sferei unitare a lui M(K). Punctele extreme ale lui P(K) sunt măsurile Dirac pe K. Setul de măsuri Dirac pe K, echipat cu topologia w*, este homeomorf cu K.

Teorema Banach-Stone. Dacă K și L sunt spații Hausdorff compacte și dacă C(K) și C(L) sunt izomorfe din punct de vedere izometric, atunci spațiile topologice K și L sunt homeomorfe.

Rezultatul a fost extins de Amir și Cambern la cazul în care distanța multiplicativă Banach-Mazur între C(K) și C(L) este < 2. Teorema nu mai este adevărată atunci când distanța este = 2.

În algebra Banach comutativă C(K), idealurile maxime sunt tocmai nucleele de măsuri Dirac pe K,

I x = ker δ x = { f ∈ C ( K ) : f ( x ) = 0 } , x ∈ K . {\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\în C(K):f(x)=0\},\quadru x\în K.}

Mai general, prin teorema Gelfand-Mazur, idealurile maxime ale unei algebre Banach comutative comutative unitare pot fi identificate cu caracterele sale – nu doar ca seturi, ci și ca spații topologice: primul cu topologia hull-kernel și al doilea cu topologia w*-topologie. În această identificare, spațiul idealului maxim poate fi văzut ca un subansamblu w*-compact al sferei unitare în duala A ′.

Teoremă. Dacă K este un spațiu Hausdorff compact, atunci spațiul ideal maxim Ξ al algebrei Banach C(K) este homeomorf cu K.

Nu orice algebră Banach comutativă unitală este de forma C(K) pentru un spațiu Hausdorff compact K. Totuși, această afirmație este valabilă dacă se plasează C(K) în categoria mai mică a algebrelor C* comutative. Teorema de reprezentare a lui Gelfand pentru C*-algebre comutative afirmă că orice C*-algebră unitală comutativă A este izomorfă izometric la un spațiu C(K). Spațiul compact Hausdorff K este aici din nou spațiul ideal maxim, numit și spectrul lui A în contextul C*-algebrei.

BidualEdit

Dacă X este un spațiu normat, duala (continuă) X ′′′ a dualei X ′′ se numește biduală, sau a doua duală a lui X. Pentru orice spațiu normat X, există o hartă naturală,

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X”\F_{X}(x)(f)=f(x)&\pentru toate x\în X,\pentru toate f\în X’\end{cases}}}

Aceasta definește FX(x) ca fiind o funcție liniară continuă pe X ′, adică un element din X ′′. Harta FX : x → FX(x) este o hartă liniară din X în X ′′. Ca o consecință a existenței unei funcționale de normare f pentru fiecare x din X, această hartă FX este izometrică, deci injectivă.

De exemplu, duala lui X = c0 se identifică cu ℓ1, iar duala lui ℓ1 se identifică cu ℓ∞, spațiul secvențelor scalare mărginite. Sub aceste identificări, FX este harta de incluziune de la c0 la ℓ∞. Ea este într-adevăr izometrică, dar nu onto.

Dacă FX este surjectivă, atunci spațiul normat X se numește reflexiv (vezi mai jos). Fiind dualul unui spațiu normat, bidualul X ′′ este complet, prin urmare, orice spațiu normat reflexiv este un spațiu Banach.

Utilizând încorporarea izometrică FX, se obișnuiește să se considere un spațiu normat X ca un subansamblu al bidualului său. Atunci când X este un spațiu Banach, acesta este văzut ca un subspațiu liniar închis al lui X ′′. Dacă X nu este reflexiv, bila unitară a lui X este un subset propriu-zis al bilei unitare a lui X ′′. Teorema Goldstine afirmă că bila unitară a unui spațiu normat este slab*-densă în bila unitară a bidimensionalului. Cu alte cuvinte, pentru fiecare x ′′ în bidual, există o rețea {xj} în X astfel încât

sup j ‖ x j ‖ ≤ ‖ x ″ ‖ , x ″ ( f ) = lim j f ( x j ) , f ∈ X ′ . {\displaystyle \sup _{j}\|x_{j}\||leq \|x”\|,\ \ \ x”(f)=\lim _{j}f(x_{j}),\quad f\în X’.}

Relația poate fi înlocuită cu o secvență slab*convergentă atunci când dualul X ′ este separabil. Pe de altă parte, elementele bidualului din ℓ1 care nu sunt în ℓ1 nu pot fi secvențe slab*-limită de secvențe în ℓ1, deoarece ℓ1 este slab secvențial completă.

Teoremele lui BanachEdit

Iată principalele rezultate generale despre spațiile Banach care datează de pe vremea cărții lui Banach (Banach (1932)) și care sunt legate de teorema categoriei Baire. Conform acestei teoreme, un spațiu metric complet (cum ar fi un spațiu Banach, un spațiu Fréchet sau un spațiu F) nu poate fi egal cu o uniune de subansambluri închise cu număr numărabil de subansambluri închise cu interioare goale. Prin urmare, un spațiu Banach nu poate fi uniunea unui număr numărabil de subspații închise, cu excepția cazului în care este deja egal cu unul dintre ele; un spațiu Banach cu o bază Hamel numărabilă este finit-dimensional.

Teorema Banach-Steinhaus. Fie X un spațiu Banach și Y un spațiu vectorial normat. Să presupunem că F este o colecție de operatori liniari continui de la X la Y. Principiul de mărginire uniformă afirmă că dacă pentru tot x din X avem supT∈F ||T(x)||Y < ∞, atunci supT∈F ||T||||Y < ∞.

Teorema Banach-Steinhaus nu se limitează la spațiile Banach. Ea poate fi extinsă, de exemplu, la cazul în care X este un spațiu Fréchet, cu condiția ca concluzia să fie modificată după cum urmează: sub aceeași ipoteză, există o vecinătate U a lui 0 în X astfel încât toți T din F să fie uniform delimitați pe U,

sup T ∈ F sup x ∈ U ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ . {\displaystyle \sup _{T\în F}\sup _{x\în U}\;\|T(x)\|_{Y}<\infty .}

Teorema Mapării Deschise. Fie X și Y spații Banach și T : X → Y un operator liniar continuu surjectiv, atunci T este o hartă deschisă. Corolarul. Orice operator liniar mărginit unu la unu dintr-un spațiu Banach pe un spațiu Banach este un izomorfism. Prima teoremă de izomorfism pentru spațiile Banach. Să presupunem că X și Y sunt spații Banach și că T ∈ B(X, Y). Să presupunem, de asemenea, că domeniul lui T este închis în Y. Atunci X/ Ker(T) este izomorf cu T(X).

Acest rezultat este o consecință directă a teoremei precedente de izomorfism Banach și a factorizării canonice a hărților liniare mărginite.

Corolarul. Dacă un spațiu Banach X este suma directă internă a subspațiilor închise M1, …, Mn, atunci X este izomorfă cu M1 ⊕ … ⊕ Mn.

Aceasta este o altă consecință a teoremei de izomorfism a lui Banach, aplicată bijecției continue de la M1 ⊕ … ⊕ Mn pe X trimițând (m1, …, mn) la suma m1 + … + mn.

Teorema graficului închis. Fie T : X → Y o corespondență liniară între spații Banach. Graficul lui T este închis în X × Y dacă și numai dacă T este continuu.

ReflexivitateEditură

Spațiul normat X se numește reflexiv atunci când harta naturală

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X”\\F_{X}(x)(f)=f(x)&\pentru toate x\ în X,\pentru toate f\ în X’\end{cases}}}}}.

este surjectivă. Spațiile normate reflexive sunt spații Banach.

Teoremă. Dacă X este un spațiu Banach reflexiv, orice subspațiu închis al lui X și orice spațiu cotitor al lui X sunt reflexive.

Aceasta este o consecință a teoremei Hahn-Banach. Mai mult, prin teorema hărților deschise, dacă există un operator liniar mărginit din spațiul Banach X în spațiul Banach Y, atunci Y este reflexiv.

Teoremă. Dacă X este un spațiu Banach, atunci X este reflexiv dacă și numai dacă X ′ este reflexiv. Corolarul. Fie X un spațiu Banach reflexiv. Atunci X este separabil dacă și numai dacă X ′ este separabil.

De fapt, dacă dualul Y ′ al unui spațiu Banach Y este separabil, atunci Y este separabil. Dacă X este reflexiv și separabil, atunci dualul lui X ′ este separabil, deci X ′ este separabil.

Teoremă. Să presupunem că X1, …, Xn sunt spații normate și că X = X1 ⊕ … ⊕ Xn. Atunci X este reflexiv dacă și numai dacă fiecare Xj este reflexiv.

Spațiile Hilbert sunt reflexive. Spațiile Lp sunt reflexive când 1 < p < ∞. Mai general, spațiile uniform convexe sunt reflexive, prin teorema Milman-Pettis. Spațiile c0, ℓ1, L1(), C() nu sunt reflexive. În aceste exemple de spații nereflexive X, bidualul X ′′ este „mult mai mare” decât X. Și anume, sub încorporarea izometrică naturală a lui X în X ′′ dată de teorema Hahn-Banach, cuplul X ′′ / X este infinit-dimensional și chiar neseparabil. Cu toate acestea, Robert C. James a construit un exemplu de spațiu nereflexiv, denumit de obicei „spațiul James” și notat cu J, astfel încât coeficientul J ′′ / J este unidimensional. Mai mult, acest spațiu J este izometric izomorf cu bidimensionalul său.

Teoremă. Un spațiu Banach X este reflexiv dacă și numai dacă bila sa unitară este compactă în topologia slabă.

Când X este reflexiv, rezultă că toate subansamblurile convexe închise și mărginite ale lui X sunt slab compacte. Într-un spațiu Hilbert H, compactitatea slabă a sferei unitare este foarte des utilizată în felul următor: orice secvență mărginită în H are subsecvențe slab convergente.

Compactitatea slabă a sferei unitare oferă un instrument pentru găsirea soluțiilor în spații reflexive la anumite probleme de optimizare. De exemplu, orice funcție continuă convexă pe bila unitară B a unui spațiu reflexiv își atinge minimul într-un anumit punct din B.

Ca un caz special al rezultatului precedent, atunci când X este un spațiu reflexiv peste R, orice funcție liniară continuă f în X ′ își atinge maximul ||| f ||| pe bila unitară a lui X. Următoarea teoremă a lui Robert C. James oferă o afirmație inversă.

Teorema lui James. Pentru un spațiu Banach, următoarele două proprietăți sunt echivalente:

• X este reflexiv.
• pentru orice f în X ′ există x în X cu ||x||| ≤ 1, astfel încât f (x) = || f ||.

Teorema poate fi extinsă pentru a da o caracterizare a ansamblurilor convexe slab compacte.

În orice spațiu Banach nereflexiv X, există funcționale liniare continue care nu au normă. Cu toate acestea, teorema Bishop-Phelps afirmă că funcționalele care păstrează norma sunt dense în norma în dualul X ′ al lui X.

Convergențe slabe ale secvențelorEdit

O secvență {xn} într-un spațiu Banach X este slab convergentă la un vector x ∈ X dacă f (xn) converge la f (x) pentru orice funcțională liniară continuă f în dualul X ′. Secvența {xn} este o secvență slab Cauchy dacă f (xn) converge la o limită scalară L( f ), pentru orice f în X ′. O secvență { fn } în dualul X ′ este slab* convergentă la o funcțională f ∈ X ′ dacă fn (x) converge la f (x) pentru orice x din X. Secvențele slab Cauchy, secvențele slab convergente și slab* convergente sunt delimitate de normă, ca o consecință a teoremei Banach-Steinhaus.

Când secvența {xn} din X este o secvență slab Cauchy, limita L de mai sus definește o funcțională liniară delimitată pe duala X ′, adică, un element L al bidirecționalului lui X, iar L este limita lui {xn} în topologia slabă* a bidirecționalului. Spațiul Banach X este slab secvențial complet dacă fiecare secvență slab Cauchy este slab convergentă în X. Din discuția anterioară rezultă că spațiile reflexive sunt slab secvențial complete.

Teoremă. Pentru orice măsură μ, spațiul L1(μ) este slab secvențial complet.

O secvență ortonormată într-un spațiu Hilbert este un exemplu simplu de secvență slab convergentă, cu limita egală cu vectorul 0. Baza vectorială unitară a lui ℓp, 1 < p < ∞, sau a lui c0, este un alt exemplu de secvență slab nulă, adică o secvență care converge slab la 0. Pentru orice secvență slab nulă într-un spațiu Banach, există o secvență de combinații convexe de vectori din secvența dată care este convergentă prin normă la 0.

Baza vectorială unitară a lui ℓ1 nu este slab Cauchy. Secvențele slab Cauchy în ℓ1 sunt slab convergente, deoarece spațiile L1 sunt slab complete secvențial. De fapt, secvențele slab convergente în ℓ1 sunt convergente cu norma. Aceasta înseamnă că ℓ1 satisface proprietatea lui Schur.

Rezultate care implică baza ℓ1Edit

Secvențele slab Cauchy și baza ℓ1 sunt cazurile opuse ale dihotomiei stabilite în următorul rezultat profund al lui H. P. Rosenthal.

Teoremă. Fie {xn} o secvență mărginită într-un spațiu Banach. Fie că {xn} are o subsecvență slab Cauchy, fie că admite o subsecvență echivalentă cu baza vectorială unitară standard a ℓ1.

Un complement la acest rezultat se datorează lui Odell și Rosenthal (1975).

Teoremă. Fie X un spațiu Banach separabil. Următoarele sunt echivalente:

• Spațiul X nu conține un subspațiu închis izomorf cu ℓ1.
• Care element al bidualului X ′′ este limita slabă* a unei secvențe {xn} în X.

Prin teorema Goldstine, fiecare element al sferei unitare B ′′ a lui X ′′ este slab*-limită a unei rețele în sfera unitară a lui X. Atunci când X nu conține ℓ1, fiecare element al lui B ′′ este slab*-limită a unei secvențe în sfera unitară a lui X.

Când spațiul Banach X este separabil, bila unitară a dualei X ′, dotată cu topologia weak*-topologie, este un spațiu compact metrizabil K, iar fiecare element x ′′ în bidualul X ′′ definește o funcție delimitată pe K:

x ′ ∈ K ↦ x ″ ( x ′ ) , | x ″ ( x ′ ) | ≤ ‖ x ″ ‖ . {\displaystyle x’\in K\mapsto x”(x’),\quad \leq \left|x”(x’)\right|\leq \left\|x”\right\||.}.

Această funcție este continuă pentru topologia compactă a lui K dacă și numai dacă x ′′ este de fapt în X, considerat ca subset al lui X ′′. Să presupunem în plus, pentru restul paragrafului, că X nu conține ℓ1. Prin rezultatul precedent al lui Odell și Rosenthal, funcția x ′′ este limita punctuală pe K a unei secvențe {xn} ⊂ X de funcții continue pe K, este deci o funcție din prima clasă Baire pe K. Bila unitară a bidualului este un subansamblu compact punctual al primei clase Baire pe K.

Secvențe, compactitate slabă și slab* compactăEdit

Când X este separabilă, bila unitară a dublului este slab*-compactă prin Banach-Alaoglu și metrizabilă pentru topologia slabă*, prin urmare fiecare secvență delimitată din dublul are subsecvențe slab* convergente. Acest lucru este valabil pentru spațiile reflexive separabile, dar în acest caz este adevărat mai mult, după cum se precizează mai jos.

Topologia slabă a unui spațiu Banach X este metrizabilă dacă și numai dacă X este finit-dimensional. Dacă dualul X ′ este separabil, topologia slabă a sferei unitare a lui X este metrizabilă. Acest lucru se aplică în special spațiilor Banach reflexive separabile. Deși topologia slabă a sferei unitare nu este metrizabilă în general, se poate caracteriza compactitatea slabă folosind secvențe.

Teorema Eberlein-Šmuliană. Un ansamblu A într-un spațiu Banach este relativ slab compact dacă și numai dacă fiecare secvență {an} din A are o subsecvență slab convergentă.

Un spațiu Banach X este reflexiv dacă și numai dacă fiecare secvență mărginită în X are o subsecvență slab convergentă.

Un subset A slab compact în ℓ1 este normocompat. Într-adevăr, fiecare secvență din A are subsecvențe slab convergente prin Eberlein-Šmulian, care sunt normoconvergente prin proprietatea Schur a ℓ1.

.