Teoria matricelor aleatoare pornește de la ipoteza că comportamentul la scară largă al unui sistem complex ar trebui să fie guvernat de simetriile sale și de proprietățile statistice ale parametrilor săi și să fie relativ insensibil la detaliile precise ale fiecărui element care interacționează. Teoria urmărește în principal să determine statisticile valorilor și vectorilor proprii ale matricelor aleatoare în limita dimensiunilor mari. Primele lucrări, care își au originea în fizica nucleară, s-au axat pe ansambluri care au atât simetrie hermitiană, cât și interacțiuni de tip „toți-la-toți”, similare cu modelele de câmp mediu din fizica statistică. Relaxarea ipotezei „totul la toate” introduce dezordine topologică și conduce la ansambluri de matrici aleatoare rare cu multe intrări de matrice zero. Astfel de matrici modelează sisteme complexe în care un anumit grad de libertate interacționează cu un număr finit de alte grade de libertate și apar în mod natural în legătură cu sisteme cum ar fi rețelele neuronale sau ecosistemele.
În ciuda acestei importanțe largi, cu toate acestea, matricile aleatoare nehermitiene rare au făcut obiectul unui studiu semnificativ doar în ultimul deceniu, deoarece metodele standard de analiză din teoria matricelor aleatoare nu se aplică. Rezultatele riguroase pentru astfel de matrici sunt aproape inexistente, deoarece este foarte dificil de demonstrat convergența proprietăților valorilor și vectorilor proprii către o limită deterministă la dimensiuni mari ale matricelor. Cu toate acestea, cercetările recente au făcut progrese cu noi abordări. Într-un nou articol, Fernando Metz, bursier LML, împreună cu Izaak Neri de la King’s College London și Tim Rogers de la University of Bath, analizează progresele teoretice în studiul spectrelor matricelor aleatoare nehermitiene rare, punând accentul pe abordări exacte bazate pe o analogie fructuoasă între calculele matricelor aleatoare și mecanica statistică a sistemelor de spin dezordonate. După cum se arată, pentru modele simple, aceste metode oferă acces la rezultate analitice pentru proprietățile spectrale ale matricelor aleatoare nehermitiene rare. Pentru modele mai complicate, proprietățile spectrale pot fi, de asemenea, calculate în limita mărimii mari folosind algoritmi numerici.
Metz și colegii își încheie recenzia observând că teoria matricelor aleatoare rare nehermitiene nefermitiene este încă la început, în comparație cu teoria clasică a matricelor aleatoare, și că există multe întrebări nerezolvate. Printre acestea se numără chestiunea universalității. Interesul pentru teoria matricelor aleatoare depinde în mare măsură de comportamentul universal al multor observabile spectrale, ceea ce face posibilă studierea stabilității sistemelor dinamice complexe. În cazul matricelor aleatoare rare, această posibilitate pare să fie pierdută din cauza fluctuațiilor locale puternice din structura grafică. Cu toate acestea, se dovedește că multe ansambluri de matrici aleatoare nehermitiene rare prezintă unele proprietăți universale, cum ar fi decalajul spectral, valoarea proprie cu cea mai mare parte reală și momentele vectorilor proprii corespunzătoare acestei valori proprii. Aceste proprietăți spectrale determină stabilitatea și dinamica în regim staționar a sistemelor complexe. Prin urmare, se pare că există speranța de a găsi un comportament universal pentru matricile rare, dacă ne uităm la observabilele potrivite, ceea ce ar putea duce la o mai bună înțelegere a universalității în sistemele dinamice mari.
Un pre-print al lucrării este disponibil la https://arxiv.org/abs/1811.10416
.