La teoria delle matrici casuali parte dal presupposto che il comportamento su larga scala di un sistema complesso dovrebbe essere governato dalle sue simmetrie e dalle proprietà statistiche dei suoi parametri, ed essere relativamente insensibile ai dettagli precisi di ogni elemento interagente. La teoria mira principalmente a determinare la statistica degli autovalori e degli autovettori di matrici casuali nel limite delle grandi dimensioni. I primi lavori, originati dalla fisica nucleare, si sono concentrati su insiemi che hanno sia la simmetria Hermitiana che le interazioni tutto-per-tutto, simili ai modelli di campo medio nella fisica statistica. Rilassando l’ipotesi del tutto per tutto si introduce il disordine topologico e si arriva a insiemi di matrici casuali sparse con molte voci di matrice zero. Tali matrici modellano sistemi complessi in cui un dato grado di libertà interagisce con un numero finito di altri, e sorgono naturalmente in connessione con sistemi come le reti neurali o gli ecosistemi.
Nonostante questa ampia importanza, tuttavia, le matrici casuali sparse non Hermitiane hanno ricevuto uno studio significativo solo nell’ultimo decennio, poiché i metodi di analisi standard della teoria delle matrici casuali non sono applicabili. Risultati rigorosi per tali matrici sono quasi inesistenti, poiché è molto difficile dimostrare la convergenza delle proprietà degli autovalori e degli autovettori verso un limite deterministico a matrici di grandi dimensioni. Tuttavia, la ricerca recente ha fatto progressi con nuovi approcci. In un nuovo articolo, Fernando Metz, insieme a Izaak Neri del King’s College di Londra e Tim Rogers dell’Università di Bath, passano in rassegna i progressi teorici nello studio degli spettri di matrici casuali sparse non Hermitiane, con particolare attenzione agli approcci esatti basati su una fruttuosa analogia tra il calcolo delle matrici casuali e la meccanica statistica dei sistemi di spin disordinati. Come mostrano, per modelli semplici, questi metodi danno accesso a risultati analitici per le proprietà spettrali di matrici casuali non Hermitiane sparse. Per modelli più complicati, le proprietà spettrali possono anche essere calcolate nel limite delle grandi dimensioni usando algoritmi numerici.
Metz e colleghi chiudono la loro rassegna notando che la teoria delle matrici casuali non Hermitiane sparse è ancora agli inizi, rispetto alla teoria classica delle matrici casuali, e ci sono molte questioni in sospeso. Tra queste c’è la questione dell’universalità. L’interesse per la teoria delle matrici casuali dipende in gran parte dal comportamento universale di molte osservabili spettrali, che rende possibile lo studio della stabilità dei sistemi dinamici complessi. Nel caso di matrici casuali rade, questa possibilità sembra essere persa a causa di forti fluttuazioni locali nella struttura del grafico. Tuttavia, si scopre che molti insiemi di matrici casuali sparse non Hermitiane mostrano alcune proprietà universali, come il gap spettrale, l’autovalore con la parte reale più grande e i momenti dell’autovettore corrispondenti a questo autovalore. Queste proprietà spettrali determinano la stabilità e la dinamica dello stato stazionario dei sistemi complessi. Quindi, sembra che ci sia la speranza di trovare un comportamento universale per le matrici sparse, se si guardano le giuste osservabili, il che potrebbe portare a una migliore comprensione dell’universalità nei grandi sistemi dinamici.
Un pre-print dell’articolo è disponibile a https://arxiv.org/abs/1811.10416