Komplexní funkce, které jsou diferencovatelné v každém bodě otevřené podmnožiny Ω {\displaystyle \Omega }
komplexní roviny se říká, že jsou holomorfní na Ω {\displaystyle \Omega }.
. V kontextu komplexní analýzy se derivace f {\displaystyle f}
při z 0 {\displaystyle z_{0}}.
je definována jako f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) – f ( z 0 ) z – z 0 . {\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}
Povrchně je tato definice formálně analogická definici derivace reálné funkce. Komplexní derivace a diferencovatelné funkce se však ve srovnání se svými reálnými protějšky chovají podstatně odlišně. Konkrétně, aby tato limita existovala, musí se hodnota diferenčního kvocientu blížit stejnému komplexnímu číslu bez ohledu na to, jakým způsobem se blížíme k z 0 {\displaystyle z_{0}}.
v komplexní rovině. V důsledku toho má komplexní diferencovatelnost mnohem silnější důsledky než reálná diferencovatelnost. Například holomorfní funkce jsou nekonečně diferencovatelné, zatímco u reálných funkcí nemusí existence n-té derivace znamenat existenci (n + 1)-té derivace. Navíc všechny holomorfní funkce splňují silnější podmínku analytičnosti, což znamená, že funkce je v každém bodě svého oboru lokálně dána konvergentní mocninnou řadou. V podstatě to znamená, že funkce holomorfní na Ω {\displaystyle \Omega }.
lze libovolně dobře aproximovat polynomy v určitém okolí každého bodu v Ω {\displaystyle \Omega }.
. To ostře kontrastuje s diferencovatelnými reálnými funkcemi; existují nekonečně diferencovatelné reálné funkce, které nejsou nikde analytické; viz Neanalytická hladká funkce § Hladká funkce, která není nikde reálně analytická.
Většina elementárních funkcí, včetně exponenciální funkce, trigonometrických funkcí a všech polynomů, je vhodně rozšířena na komplexní argumenty jako funkce C → C {\displaystyle \mathbb {C}. \na \mathbb {C} }
, jsou holomorfní v celé komplexní rovině, což z nich činí celistvé funkce, zatímco racionální funkce p / q {\displaystyle p/q}
, kde p a q jsou polynomy, jsou holomorfní na doménách, které vylučují body, kde q je nulové. Takové funkce, které jsou holomorfní všude kromě množiny izolovaných bodů, se nazývají meromorfní funkce. Na druhé straně funkce z ↦ ℜ ( z ) {\displayystyle z\mapsto \Re (z)}.
, z ↦ | z | {\displaystyle z\mapsto |z|}
, a z ↦ z ¯ {\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}.
nejsou holomorfní nikde v komplexní rovině, jak lze ukázat na základě nesplnění Cauchyho-Riemannových podmínek (viz níže).
Důležitou vlastností holomorfních funkcí je vztah mezi parciálními derivacemi jejich reálné a imaginární složky, známý jako Cauchyho-Riemannovy podmínky. Jestliže f : C → C {\displaystyle f:\mathbb {C}. \to \mathbb {C} }
, definované vztahem f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}
, kde x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ∈ R {\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} }
, je holomorfní na oblasti Ω {\displaystyle \Omega }
, pak ( ∂ f / ∂ z¯ ) ( z 0 ) = 0 {\displaystyle (\partial f/\partial {\bar {z}})(z_{0})=0}.
musí platit pro všechny z 0 ∈ Ω {\displaystyle z_{0}\in \Omega }
. Zde platí diferenciální operátor ∂ / ∂ z ¯ {\displaystyle \partial /\partial {\bar {z}}}.
je definován jako ( 1 / 2 ) ( ∂ / ∂ x + i ∂ / ∂ y ) {\displaystyle (1/2)(\partial /\partial x+i\partial /\partial y)}
. Z hlediska reálné a imaginární části funkce, u a v, je to ekvivalentní dvojici rovnic u x = v y {\displaystyle u_{x}=v_{y}}.
a u y = – v x {\displaystyle u_{y}=-v_{x}}.
, kde indexy označují částečnou diferenciaci. Cauchyho-Riemannovy podmínky však bez dalších podmínek spojitosti necharakterizují holomorfní funkce (viz Looman-Menchoffova věta).
Holomorfní funkce vykazují některé pozoruhodné vlastnosti. Například Picardova věta tvrdí, že rozsah celé funkce může nabývat pouze tří možných tvarů: C {\displaystyle \mathbb {C} }
, C ∖ { z 0 } {\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{z_{0}\}}
, nebo { z 0 } {\displaystyle \{z_{0}\}}
pro nějaké z 0 ∈ C {\displaystyle z_{0}\v \mathbb {C} }
. Jinými slovy, jestliže dvě různá komplexní čísla z {\displaystyle z}
a w {\displaystyle w}.
nejsou v oboru celé funkce f {\displaystyle f}.
, pak f {\displaystyle f}
je konstantní funkce. Navíc holomorfní funkce na souvislé otevřené množině je určena svou restrikcí na libovolnou neprázdnou otevřenou podmnožinu.