Centimeter-gram-sekund system af enheder

CGS tilgang til elektromagnetiske enhederRediger

Omregningsfaktorerne for elektromagnetiske enheder i CGS- og SI-systemerne er mere komplekse på grund af forskellene i de formler, der udtrykker de fysiske love for elektromagnetisme, som de antages af hvert enhedssystem, og især i arten af de konstanter, der optræder i disse formler. Dette illustrerer den grundlæggende forskel i den måde, hvorpå de to systemer er opbygget:

• I SI blev enheden for elektrisk strøm, ampere (A), historisk set defineret således, at den magnetiske kraft, der udøves af to uendeligt lange, tynde, parallelle ledninger med en afstand på 1 meter og en strømstyrke på 1 ampere, er præcis 2×10-7 N/m. Denne definition resulterer i, at alle SI’s elektromagnetiske enheder er numerisk konsistente (med forbehold af faktorer på nogle hele potenser af 10) med dem i CGS-EMU-systemet, der beskrives i de følgende afsnit. Ampere er en basisenhed i SI-systemet og har samme status som meter, kilogram og sekund. Der ses således bort fra forholdet i definitionen af ampere til meteren og newton, og ampere behandles ikke som dimensionelt ækvivalent med nogen kombination af andre basisenheder. Som følge heraf kræver elektromagnetiske love i SI en ekstra proportionalitetskonstant (se Vakuumpermeabilitet) for at relatere elektromagnetiske enheder til kinematiske enheder. (Denne proportionalitetskonstant kan udledes direkte af ovenstående definition af ampere). Alle andre elektriske og magnetiske enheder er afledt af disse fire basisenheder ved hjælp af de mest grundlæggende fælles definitioner: f.eks. er elektrisk ladning q defineret som strøm I multipliceret med tiden t, q = I t {\displaystyle q=I\,t}
  

  ,

hvilket resulterer i enheden for elektrisk ladning, coulomb (C), der er defineret som 1 C = 1 A⋅s.

• CGS-systemvarianten undgår at indføre nye grundmængder og enheder og definerer i stedet alle elektromagnetiske størrelser ved at udtrykke de fysiske love, der relaterer elektromagnetiske fænomener til mekanikken, med kun dimensionsløse konstanter, og derfor er alle enheder for disse størrelser direkte afledt af centimeter, gram og sekund.

Alternative afledninger af CGS-enheder i elektromagnetismeRediger

Elektromagnetiske relationer til længde, tid og masse kan afledes ved flere lige så tiltalende metoder. To af dem baserer sig på de kræfter, der observeres på ladninger. To grundlæggende love relaterer (tilsyneladende uafhængigt af hinanden) den elektriske ladning eller dens ændringshastighed (elektrisk strøm) til en mekanisk størrelse som f.eks. en kraft. De kan skrives i systemuafhængig form som følger:

• Den første er Coulombs lov, F = k C q q q ′ d 2 {\displaystyle F=k_{\rm {C}}{\frac {q\,q^{\\prime }}{d^{2}}}}
  

  , som beskriver den elektrostatiske kraft F mellem elektriske ladninger q {\displaystyle q}

  

  og q ′ {\displaystyle q^{{\prime }}

  

  , adskilt af afstanden d. Her er k C {\displaystyle k_{{\rm {C}}}

  

  er en konstant, som afhænger af, hvordan ladningsenheden præcist er afledt af basisenhederne.

• Den anden er Ampères kraftlov, d F d L = 2 k A I I I ′ d {\displaystyle {\frac {\frac {dF}{dL}}}=2k_{\rm {A}}}{\frac {I\,I^{{\prime }}{d}}}}
  

  , som beskriver den magnetiske kraft F pr. længdeenhed L mellem strømmene I og I′, der strømmer i to lige parallelle tråde af uendelig længde, adskilt af en afstand d, der er meget større end tråddiametrene. Da I = q / t {\displaystyle I=q/t\,}

  

  og I ′ = q ′ / t {\displaystyle I^{\prime }=q^{{\prime }/t}

  

  , er konstanten k A {\displaystyle k_{{\rm {A}}}}

  

  afhænger også af, hvordan enheden for ladning er afledt af basisenhederne.

Maxwells teori om elektromagnetisme relaterer disse to love til hinanden. Den fastslår, at forholdet mellem proportionalitetskonstanterne k C {\displaystyle k_{\rm {C}}}

og k A {\displaystyle k_{{\rm {A}}}}

skal adlyde k C / k A = c 2 {\displaystyle k_{\rm {C}}}/k_{{\rm {A}}}=c^{2}}}

, hvor c er lysets hastighed i vakuum. Hvis man derfor udleder enheden for ladning fra Coulombs lov ved at sætte k C = 1 {\displaystyle k_{{\rm {C}}}=1}

så vil Ampères kraftlov indeholde en præfaktor 2 / c 2 {\displaystyle 2/c^{2}}}

. Alternativt kan man udlede strømenheden, og dermed ladningsenheden, af Ampères kraftlov ved at sætte k A = 1 {\displaystyle k_{\rm {A}}}=1}

eller k A = 1 / 2 {\displaystyle k_{\rm {A}}}=1/2}

, vil føre til en konstant præfaktor i Coulomb’s lov.

Både disse to gensidigt udelukkende tilgange er faktisk blevet praktiseret af brugerne af CGS-systemet, hvilket har ført til de to uafhængige og gensidigt udelukkende grene af CGS, der er beskrevet i nedenstående underafsnit. Valgfriheden med hensyn til at aflede elektromagnetiske enheder fra enhederne længde, masse og tid er imidlertid ikke begrænset til definitionen af ladning. Mens det elektriske felt kan relateres til det arbejde, det udfører på en elektrisk ladning i bevægelse, er den magnetiske kraft altid vinkelret på den bevægelige ladnings hastighed, og dermed er det arbejde, som det magnetiske felt udfører på enhver ladning, altid nul. Dette fører til et valg mellem to love for magnetisme, der hver især relaterer magnetfeltet til mekaniske størrelser og elektrisk ladning:

• Den første lov beskriver den Lorentzkraft, som et magnetfelt B frembringer på en ladning q, der bevæger sig med hastigheden v:

F = α L q q v × B . {\displaystyle \mathbf {F} =\alpha _{\rm {L}}}q\;\mathbf {v} \times \mathbf {B} \;.}

• Den anden beskriver dannelsen af et statisk magnetfelt B ved en elektrisk strøm I af finite længde dl i et punkt, der er forskudt med en vektor r, kendt som Biot-Savart-loven:

d B = α B I d l × r ^ r 2 , {\displaystyle d\mathbf {B} =\alpha _{\rm {B}}}{\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}}}};,}

hvor r og r ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }

er henholdsvis længden og enhedsvektoren i retning af vektor r.

Disse to love kan bruges til at udlede Ampères kraftlov ovenfor, hvilket resulterer i forholdet: k A = α L ⋅ α B {\displaystyle k_{\rm {A}}}=\alpha _{\rm {L}}}\cdot \alpha _{\rm {B}}}\;}

. Hvis ladningsenheden derfor er baseret på Ampères kraftlov, således at k A = 1 {\displaystyle k_{\rm {A}}}=1}

, er det naturligt at udlede enheden for det magnetiske felt ved at sætte α L = α B = 1 {\displaystyle \alpha _{\rm {L}}}=\alpha _{\rm {B}}=1\;}

. Hvis det imidlertid ikke er tilfældet, må man vælge, hvilken af de to ovenstående love der er et mere praktisk grundlag for at udlede enheden for magnetfeltet.

Herudover skal vi, hvis vi ønsker at beskrive det elektriske forskydningsfelt D og magnetfeltet H i et andet medium end vakuum, også definere konstanterne ε0 og μ0, som er henholdsvis vakuumets permittivitet og permeabilitet. Så har vi (generelt) D = ϵ 0 E + λ P {\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} +\lambda \mathbf {P} }

og H = B / μ 0 – λ ′ M {\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}-\lambda ^{\prime }\mathbf {M} }

, hvor P og M er polarisationsdensitet og magnetiseringsvektorer. Enhederne for P og M er normalt valgt således, at faktorerne λ og λ′ er lig med “rationaliseringskonstanterne” 4 π k C ϵ 0 {\displaystyle 4\pi k_{\rm {C}}\epsilon _{0}}}

og 4 π α B / ( μ 0 α L ) {\displaystyle 4\pi \alpha _{\rm {B}}}/(\mu _{0}\alpha _{\rm {L}}})}

, henholdsvis. Hvis rationaliseringskonstanterne er lige store, er c 2 = 1 / ( ϵ 0 μ 0 α L 2 ) {\displaystyle c^{2}=1/(\epsilon _{0}\mu _{0}\alpha _{\rm {L}}}^{2})}

. Hvis de er lig med 1, siges systemet at være “rationaliseret”: Lovene for systemer med sfærisk geometri indeholder faktorer på 4π (f.eks. punktladninger), dem med cylindrisk geometri – faktorer på 2π (f.eks. ledninger), og dem med plan geometri indeholder ingen faktorer på π (f.eks. parallelpladekondensatorer). Det oprindelige CGS-system anvendte imidlertid λ = λ′ = 4π, eller tilsvarende k C ϵ 0 = α B / ( μ 0 α L ) = 1 {\displaystyle k_{\rm {C}}\epsilon _{0}}=\alpha _{\rm {B}}/(\mu _{0}\alpha _{\rm {L}})=1}

. Derfor er Gauss-, ESU- og EMU-undersystemerne i CGS (som beskrives nedenfor) ikke rationaliseret.

Forskellige udvidelser af CGS-systemet til elektromagnetismeRediger

Nedenstående tabel viser værdierne af de ovennævnte konstanter, der anvendes i nogle almindelige CGS-undersystemer:

1 4 π c {\displaystyle {\frac {\frac {1}{4\pi c}}}}

μ 0 4 π {\displaystyle {\frac {\mu _{0}}}{4\pi }}}

ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}}}

System	k C {\displaystyle k_{{\rm {C}}}}	α B {\displaystyle \alpha _{\rm {B}}}	ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}}}	μ 0 {\displaystyle \mu _{0}}}	k A = k C c 2 {\displaystyle k_{\rm {A}}}={\\frac {k_{{\rm {C}}}}{c^{2}}}}	α L = k C α B c 2 {\displaystyle \alpha _{\rm {L}}}={{\frac {k_{{\rm {C}}}}{\alpha _{\rm {B}}c^{2}}}}	λ = 4 π k C ϵ 0 {\displaystyle \lambda =4\pi k_{\rm {C}}}\epsilon _{0}}}	λ ′ = 4 π α α B μ 0 α L {\displaystyle \lambda ‘={\frac {4\pi \alpha _{\rm {B}}}}{\mu _{0}\alpha _{\rm {L}}}}}
Elektrostatisk CGS (ESU, esu, eller stat-)	1	c-2	1	c-2	c-2	1	4π	4π
Elektromagnetisk CGS (EMU, emu, eller ab-)	c2	1	c-2	1	1	1	4π	4π	4π
Gaussisk CGS	1	c-1	1	1	1	c-2	c-1	4π	4π
Lorentz-Heaviside CGS	1 4 π {\displaystyle {\frac {\frac {1}{4\pi }}}	1	1	1 4 π c 2 {\displaystyle {\frac {\frac {1}{4\pi c^{2}}}}	c-1	1	1	1
SI	1 4 π ϵ 0 {\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}}	μ 0 {\displaystyle \mu _{0}}}	μ 0 4 π {\displaystyle {\frac {\mu _{0}}}{4\pi }}}	1	1	1	1

Også, bemærk følgende korrespondance mellem ovenstående konstanter og dem i Jackson og Leung:

k C = k 1 = k E {\displaystyle k_{\rm {C}}}=k_{{1}=k_{\rm {E}}}}

α B = α ⋅ k 2 = k B {\displaystyle \alpha _{\rm {B}}}=\alpha \cdot k_{2}=k_{\rm {B}}}

k A = k 2 = k E / c 2 {\displaystyle k_{\rm {A}}=k_{2}=k_{{\rm {E}}}/c^{2}}}

α L = k 3 = k F {\displaystyle \alpha _{\rm {L}}}=k_{3}=k_{\rm {F}}}

Af disse varianter er det kun i Gauss- og Heaviside-Lorentz-systemer α L {\displaystyle \alpha _{\rm {L}}}

er lig med c – 1 {\displaystyle c^{-1}}}

i stedet for 1. Som følge heraf vil vektorerne E → {\displaystyle {\vec {E}}}

og B → {\displaystyle {\vec {B}}}

af en elektromagnetisk bølge, der udbreder sig i vakuum, har de samme enheder og er lige store i disse to varianter af CGS.

I hvert af disse systemer kan de størrelser, der kaldes “ladning” osv. være en anden størrelse; de skelnes her med en overskrift. De tilsvarende størrelser i hvert system er relateret gennem en proportionalitetskonstant.

Maxwells ligninger kan i hvert af disse systemer skrives som:

Elektrostatiske enheder (ESU)Rediger

I den elektrostatiske enhedsvariant af CGS-systemet, (CGS-ESU), defineres ladning som den størrelse, der adlyder en form for Coulombs lov uden en multiplikationskonstant (og strøm defineres så som ladning pr. tidsenhed):

F = q 1 ESU q 2 ESU r 2 . {\displaystyle F={q_{1}^{\text{ESU}}q_{2}^{\text{ESU}} \over r^{2}}}.}

ESU-ladningsenheden, franklin (Fr), også kendt som statcoulomb eller esu-ladning, er derfor defineret som følger:

To lige store punktladninger med 1 centimeters mellemrum siges at være 1 franklin hver, hvis den elektrostatiske kraft mellem dem er 1 dyne.

Derfor er en franklin i CGS-ESU lig med en centimeter gange kvadratroden af dyne:

1 F r = 1 s t a t c o u l o m b = 1 e s u c h a r g e = 1 d y n e 1 / 2 ⋅ c m = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 3 / 2 ⋅ s – 1 . {\displaystyle \mathrm {1\,Fr=1\,statcoulomb=1\,esu\;ladning=1\,dyne^{1/2}{\cdot }cm=1\,g^{1/2}{\cdot }cm^{3/2}{\cdot }cm^{3/2}{\cdot }s^{-1}}} .}

Enheden for strøm er defineret som:

1 F r / s = 1 s t a t a m p e r e = 1 e s u c u r r e n t = 1 d y n e 1 / 2 ⋅ c m ⋅ s – 1 = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 3 / 2 ⋅ s – 2 . {\displaystyle \mathrm {1\,Fr/s=1\,statampere=1\,esu\;current=1\,dyne^{1/2}{\cdot }cm{\cdot }s^{-1}=1\,g^{1/2}{\cdot }cm^{3/2}{\cdot }s^{-2}} .}

Dimensionalt i CGS-ESU-systemet svarer ladning q derfor til M1/2L3/2T-1.

I CGS-ESU er alle elektriske og magnetiske størrelser dimensionelt udtrykkelige udtryk for længde, masse og tid, og ingen af dem har en uafhængig dimension. Et sådant system af enheder for elektromagnetisme, hvor dimensionerne af alle elektriske og magnetiske størrelser kan udtrykkes ved hjælp af de mekaniske dimensioner masse, længde og tid, kaldes traditionelt et “absolut system”. 3

ESU-notationRediger

Alle elektromagnetiske enheder i ESU-CGS-systemet, som ikke har egennavne, betegnes med et tilsvarende SI-navn med et tilknyttet præfiks “stat” eller med en separat forkortelse “esu”.

Elektromagnetiske enheder (EMU)Rediger

I en anden variant af CGS-systemet, elektromagnetiske enheder (EMU’er), defineres strømmen via den kraft, der eksisterer mellem to tynde, parallelle, uendeligt lange ledninger, der transporterer den, og ladning defineres derefter som strømmen ganget med tiden. (Denne fremgangsmåde blev senere også anvendt til at definere SI-enheden ampere). I EMU CGS-undersystemet sker dette ved at sætte Ampere-kraftkonstanten k A = 1 {\displaystyle k_{\rm {A}}=1}

, således at Ampères kraftlov blot indeholder 2 som en eksplicit præfaktor.

Emu-enheden for strøm, biot (Bi), også kendt som abampere eller emu-strøm, defineres derfor som følger:

Biot er den konstante strøm, der, hvis den opretholdes i to lige parallelle ledere af uendelig længde, med ubetydeligt cirkulært tværsnit og placeret med en centimeters mellemrum i vakuum, mellem disse ledere ville frembringe en kraft svarende til to dynes pr. centimeter længde.

Derfor er en biot i elektromagnetiske CGS-enheder lig med en kvadratrod af dyne:

1 B i = 1 a b a m p e r e = 1 e m u c u r e n t = 1 d y n e 1 / 2 = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 1 / 2 ⋅ s – 1 {\displaystyle \mathrm {1\\,Bi=1\,abampere=1\,emu\\;current=1\,dyne^{1/2}=1\,g^{1/2}{\cdot }cm^{1/2}{\cdot }s^{-1}} }

.

Ladningsenheden i CGS EMU er:

1 B i ⋅ s = 1 a b c o u l o m b = 1 e m u c h a r g e = 1 d y n e 1 / 2 ⋅ s = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 1 / 2 {\displaystyle \mathrm {1\,Bi{\cdot }s=1\,abcoulomb=1\,emu\,ladning=1\,dyne^{1/2}{\cdot }s=1\,g^{1/2}{\cdot }cm^{1/2}}} }

.

Dimensionalt i EMU CGS-systemet er ladning q derfor ækvivalent med M1/2L1/2. Derfor er hverken ladning eller strøm en selvstændig fysisk størrelse i EMU CGS.

EMU-notationRediger

Alle elektromagnetiske enheder i EMU CGS-systemet, som ikke har egennavne, betegnes med et tilsvarende SI-navn med et tilknyttet præfiks “ab” eller med en separat forkortelse “emu”.

Relationer mellem ESU- og EMU-enhederRediger

Subsystemerne ESU og EMU i CGS er forbundet ved det fundamentale forhold k C / k A = c 2 {\displaystyle k_{\rm {C}}}/k_{\rm {A}}}=c^{2}}}

(se ovenfor), hvor c = 29979245800 ≈ 3×1010 er lysets hastighed i vakuum i centimeter pr. sekund. Derfor er forholdet mellem de tilsvarende “primære” elektriske og magnetiske enheder (f.eks. strøm, ladning, spænding osv. – størrelser, der er proportionale med dem, der indgår direkte i Coulombs lov eller Ampères kraftlov) er lig med enten c-1 eller c: 1 s t a t c o u l o m b 1 a b c o u l o m b = 1 s t a t a m p e r e 1 a b a m p e r e = c – 1 {\displaystyle \mathrm {\frac {\frac {1\,statcoulomb}{1\,abcoulomb}}} =\mathrm {\frac {\frac {1\,statampere}{1\,abampere}}} =c^{-1}}}

og

1 s t a t v o l t 1 a b v o l t = 1 s t a t t t e s l a 1 g a u s s = c {\displaystyle \mathrm {\frac {\frac {1\,statvolt}{1\,abvolt}} =\mathrm {\frac {\frac {1\,stattesla}{1\,gauss}} =c}

.

Enheder afledt af disse kan f.eks. have forhold svarende til højere potenser af c:

1 s t a t o h m 1 a b o h m = 1 s t a t v o l t 1 a b v o l t × 1 a b a m p e r e 1 s t a t a m p e r e = c 2 {\displaystyle \mathrm {\frac {\frac {1\,statohm}{1\,abohm}}} =\mathrm {\frac {\frac {1\,statvolt}{1\,abvolt}} \times \mathrm {\frac {\frac {1\,abampere}{1\,statampere}} =c^{2}}}

.

Praktiske CGS-enhederRediger

Det praktiske CGS-system er et hybridsystem, der anvender volt og ampere som enhed for henholdsvis spænding og strøm. Ved at gøre dette undgår man de uhensigtsmæssigt store og små mængder, der opstår for elektromagnetiske enheder i esu- og emu-systemerne. Dette system var på et tidspunkt meget anvendt af elektroingeniører, fordi volt og ampere var blevet vedtaget som internationale standardenheder af den internationale elektriske kongres i 1881. Ud over volt og ampere anvendes derfor også farad (kapacitet), ohm (modstand), coulomb (elektrisk ladning) og henry i det praktiske system og er de samme som SI-enhederne.

Andre varianterRediger

Der har på forskellige tidspunkter været omkring et halvt dusin systemer af elektromagnetiske enheder i brug, de fleste baseret på CGS-systemet. Disse omfatter de gaussiske enheder og Heaviside-Lorentz-enhederne.