Az elektromágneses mértékegységek CGS-megközelítéseSzerkesztés
A CGS és az SI rendszer elektromágneses mértékegységeinek átváltási tényezőit az elektromágnesesség fizikai törvényeit kifejező, az egyes mértékegységrendszerek által feltételezett képletek, különösen a képletekben szereplő állandók természete közötti különbségek teszik bonyolultabbá. Ez jól szemlélteti a két rendszer felépítése közötti alapvető különbséget:
- Az SI-ben az elektromos áram mértékegységét, az ampert (A), történelmileg úgy határozták meg, hogy két végtelenül hosszú, vékony, párhuzamos, egymástól 1 méterre lévő, 1 amper áramerősségű vezeték által kifejtett mágneses erő pontosan 2×10-7 N/m. Ez a definíció azt eredményezi, hogy az összes SI elektromágneses mértékegység számszerűen konzisztens (néhány egész 10-es hatványon belüli tényezővel) a CGS-EMU rendszer további szakaszokban ismertetett mértékegységeivel. Az amper az SI-rendszer alapegysége, ugyanolyan státuszú, mint a méter, a kilogramm és a másodperc. Így az ampernek a méterrel és a newtonnal való kapcsolatát az amper definíciójában figyelmen kívül hagyjuk, és az ampert nem tekintjük más alapegységek bármely kombinációjával dimenzióilag egyenértékűnek. Ennek eredményeként az SI-ben az elektromágneses törvények egy további arányossági állandót igényelnek (lásd Vákuumpermeabilitás), hogy az elektromágneses egységeket a kinematikai egységekkel kapcsolatba hozzák. (Ez az arányossági állandó közvetlenül levezethető az amper fenti definíciójából). Minden más elektromos és mágneses egységet ebből a négy alapegységből vezetünk le a legalapvetőbb általános definíciók segítségével: például a q elektromos töltés az I áram és a t idő szorzataként definiálható, q = I t {\displaystyle q=I\,t}
,
ami azt eredményezi, hogy az elektromos töltés egységét, a coulombot (C) 1 C = 1 A⋅s.
- A CGS rendszerváltozat elkerüli új alapmennyiségek és egységek bevezetését, és ehelyett minden elektromágneses mennyiséget úgy határoz meg, hogy az elektromágneses jelenségeket a mechanikával összekapcsoló fizikai törvényeket csak dimenziótlan állandókkal fejezi ki, és így e mennyiségek minden mértékegysége közvetlenül a centiméterből, a grammból és a másodpercből vezethető le.
A CGS-egységek alternatív levezetései az elektromágnesességbenSzerkesztés
A hossz, idő és tömeg elektromágneses összefüggései több, egyaránt tetszetős módszerrel is levezethetők. Ezek közül kettő a töltéseken megfigyelhető erőkre támaszkodik. Két alapvető törvény (látszólag egymástól függetlenül) az elektromos töltést vagy annak változásának sebességét (elektromos áram) hozza összefüggésbe egy mechanikai mennyiséggel, például az erővel. Ezek rendszerfüggetlen formában a következőképpen írhatók le:
- Az első a Coulomb-törvény, F = k C q q ′ d 2 {\displaystyle F=k_{\rm {C}}{\frac {q\,q^{\prime }}{d^{2}}}}
, amely az elektromos töltések q {\displaystyle q} közötti F elektrosztatikus erőt írja le.
és q ′ {\displaystyle q^{\prime }}
között, amelyek d távolsággal vannak elválasztva. Itt k C {\displaystyle k_{\rm {C}}}
egy konstans, amely attól függ, hogy a töltés mértékegységét pontosan hogyan vezetjük le az alapegységekből.
- A második az Ampère-féle erőtörvény, d F d L = 2 k A I I ′ d {\displaystyle {\frac {\frac {dF}{dL}}=2k_{\rm {A}}{\frac {I\,I^{\prime }}{d}}}}
, amely a két végtelen hosszúságú, egyenes, párhuzamos vezetékben folyó I és I′ áramok közötti, L egységnyi hosszra eső F mágneses erőt írja le, amelyeket a huzalok átmérőjénél jóval nagyobb d távolság választ el egymástól. Mivel I = q / t {\displaystyle I=q/t\,}
és I ′ = q ′ / t {\displaystyle I^{\prime}=q^{\prime }/t}
, a konstans k A {\displaystyle k_{\rm {A}}}
attól is függ, hogy a töltés mértékegységét hogyan vezetjük le az alapegységekből.
Maxwell elektromágnesesség-elmélete ezt a két törvényt egymáshoz kapcsolja. Azt állítja, hogy az arányossági állandók k C {\displaystyle k_{\\rm {C}}} aránya
és k A {\displaystyle k_{\rm {A}}}
engedelmeskedniük kell k C / k A = c 2 {\displaystyle k_{\rm {C}}/k_{\rm {A}}=c^{2}}}
, ahol c a fény sebessége vákuumban. Ha tehát a töltés mértékegységét a Coulomb-törvényből származtatjuk úgy, hogy k C = 1 {\displaystyle k_{\rm {C}}=1}
akkor Ampère erőtörvénye tartalmazni fog egy 2 / c 2 {\displaystyle 2/c^{2}} előtényezőt.
. Alternatívaként az Ampère-erő törvényéből az áram egységét, és így a töltés egységét is levezethetjük úgy, hogy k A = 1 {\displaystyle k_{\rm {A}}=1}
vagy k A = 1 / 2 {\displaystyle k_{\rm {A}}=1/2}
, a Coulomb-törvényben állandó előtényezőt kapunk.
Tény, hogy mindkét egymást kizáró megközelítést gyakorolták a CGS rendszer felhasználói, ami a CGS két független és egymást kizáró ágához vezetett, amelyeket az alábbi alfejezetekben ismertetünk. Az elektromágneses egységek hossz-, tömeg- és időegységekből történő levezetésének választási szabadsága azonban nem korlátozódik a töltés meghatározására. Míg az elektromos tér összefüggésbe hozható az általa egy mozgó elektromos töltésen végzett munkával, addig a mágneses erő mindig merőleges a mozgó töltés sebességére, és így a mágneses tér által bármely töltésen végzett munka mindig nulla. Ez a mágnesesség két törvénye közül választhatunk, amelyek mindegyike a mágneses mezőt a mechanikai mennyiségekkel és az elektromos töltéssel hozza összefüggésbe:
- Az első törvény a B mágneses tér által a v sebességgel mozgó q töltésre kifejtett Lorentz-erőt írja le:
F = α L q v × B . {\displaystyle \mathbf {F} =\alpha _{\rm {L}}q\;\mathbf {v} \times \mathbf {B} \;.}
- A második a B statikus mágneses tér létrehozását írja le egy véges dl hosszúságú I elektromos áram által egy r vektorral elmozdított pontban, ami Biot-Savart-törvényként ismert:
d B = α B I d l × r ^ r 2 , {\displaystyle d\mathbf {B} =\alpha _{\rm {B}}{\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}}\;,}
ahol r és r ^ {\displaystyle \mathbf{\hat {r}} }
az r vektor irányában a hossz, illetve az egységvektor.
Ez a két törvény felhasználható Ampère fenti erőtörvényének levezetésére, aminek eredményeként a következő összefüggés adódik: k A = α L ⋅ α B {\displaystyle k_{\rm {A}}=\alpha _{\rm {L}}\cdot \alpha _{\rm {B}}\;}
. Ha tehát a töltés mértékegysége az Ampère-féle erőtörvényen alapul, úgy, hogy k A = 1 {\displaystyle k_{\rm {A}}=1}
, természetes, hogy a mágneses tér egységét úgy vezetjük le, hogy α L = α B = 1 {\displaystyle \alpha _{\rm {L}}=\alpha _{\rm {B}}=1\;}
. Ha azonban ez nem így van, akkor választani kell, hogy a fenti két törvény közül melyik a megfelelőbb alap a mágneses tér egységének levezetéséhez.
Továbbá, ha a vákuumtól eltérő közegben akarjuk leírni a D elektromos elmozdulási teret és a H mágneses teret, akkor meg kell határoznunk az ε0 és μ0 állandókat is, amelyek a vákuum permittivitását, illetve permeabilitását jelentik. Ekkor (általánosságban) D = ϵ 0 E + λ P {\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} +\lambda \mathbf {P} }
és H = B / μ 0 – λ ′ M {\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}-\lambda ^{\prime }\mathbf {M} }
, ahol P és M a polarizációs sűrűség és a mágnesezettség vektorai. P és M egységeit általában úgy választják meg, hogy a λ és λ′ faktorok megegyezzenek a “racionalizációs állandókkal” 4 π k C ϵ 0 {\displaystyle 4\pi k_{\rm {C}}\epsilon _{0}}
és 4 π α B / ( μ 0 α L ) {\displaystyle 4\pi \alpha _{\rm {B}}/(\mu _{0}\alpha _{\rm {L}})}
, illetve. Ha a racionalizálási konstansok egyenlők, akkor c 2 = 1 / ( ϵ 0 μ 0 α L 2 ) {\displaystyle c^{2}=1/(\epsilon _{0}\mu _{0}\alpha _{\rm {L}}}^{2})}
. Ha ezek egyenlőek eggyel, akkor a rendszert “racionalizáltnak” mondjuk: a gömbgeometriájú rendszerek törvényei 4π faktorokat tartalmaznak (pl. pontszerű töltések), a hengergeometriájúak – 2π faktorokat (pl. vezetékek), a síkgeometriájúak pedig nem tartalmaznak π faktorokat (pl. párhuzamos lemezes kondenzátorok). Az eredeti CGS rendszer azonban λ = λ′ = 4π, vagy ennek megfelelően k C ϵ 0 = α B / ( μ 0 α L ) = 1 {\displaystyle k_{\\rm {C}}\epsilon _{0}=\alpha _{\rm {B}}/(\mu _{0}\alpha _{\rm {L}})=1}
. Ezért a CGS (alább ismertetett) Gauss, ESU és EMU alrendszerei nem racionalizáltak.
A CGS rendszer különböző kiterjesztései az elektromágnesességreSzerkesztés
Az alábbi táblázat a fenti állandók néhány gyakori CGS alrendszerben használt értékeit mutatja:
| Rendszer | k C {\displaystyle k_{\rm {C}}}
|
α B {\displaystyle \alpha _{\rm {B}}}
 |
ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}}
 |
μ 0 {\displaystyle \mu _{0}}
 |
k A = k C c 2 {\displaystyle k_{\rm {A}}={\frac {k_{\rm {C}}}{c^{2}}}}
 |
α L = k C α B c 2 {\displaystyle \alpha _{\rm {L}}={\frac {k_{\rm {C}}}{\alpha _{\rm {B}}c^{2}}}}
 |
λ = 4 π k C ϵ 0 {\displaystyle \lambda =4\pi k_{\rm {C}}\epsilon _{0}}}
 |
λ ′ = 4 π α B μ 0 α L {\displaystyle \lambda ‘={\frac {4\pi \alpha _{\rm {B}}}{\mu _{0}\alpha _{\rm {L}}}}}
 |
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Elektrosztatikus CGS (ESU, esu, vagy stat-) |
1 | c-2 | 1 | c-2 | c-2 | 1 | 4π | 4π | |
| Elektromágneses CGS (EMU, emu, vagy ab-) |
c2 | 1 | c-2 | 1 | 1 | 1 | 4π | 4π | |
| Gauss CGS | 1 | c-1 | 1 | 1 | c-2 | c-1 | 4π | 4π | |
| Lorentz-Heaviside CGS | 1 4 π {\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}}
 |
1 4 π c {\displaystyle {\frac {1}{4\pi c}}}}
 |
1 | 1 | 1 4 π c 2 {\displaystyle {\frac {1}{4\pi c^{2}}}}
 |
c-1 | 1 | 1 | |
| SI | 1 4 π ϵ 0 {\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}}
 |
μ 0 4 π {\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}}
 |
ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}}}
|
μ 0 {\displaystyle \mu _{0}}
|
μ 0 4 π {\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}}
|
1 | 1 | 1 | 1 |
Megjegyezzük továbbá a fenti állandók következő megfeleltetését a Jackson és Leung-ban szereplő állandóknak:
k C = k 1 = k E {\displaystyle k_{\rm {C}}=k_{{1}=k_{\rm {E}}}}
α B = α ⋅ k 2 = k B {\displaystyle \alpha _{\rm {B}}=\alpha \cdot k_{2}=k_{\rm {B}}}
k A = k 2 = k E / c 2 {\displaystyle k_{\rm {A}}=k_{2}=k_{\rm {E}}/c^{2}}}
α L = k 3 = k F {\displaystyle \alpha _{\rm {L}}=k_{3}=k_{\rm {F}}}
Ezek közül a változatok közül csak a Gauss és Heaviside-Lorentz rendszerekben α L {\displaystyle \alpha _{\rm {L}}}
egyenlő c – 1 {\displaystyle c^{-1}}
és nem 1. Ennek eredményeképpen az E → {\displaystyle {\vec {E}}} vektorok
és B → {\displaystyle {\vec {B}}}
a vákuumban terjedő elektromágneses hullámnak ugyanazok az egységei és azonos nagyságúak a CGS e két változatában.
Egyik rendszerben a “töltés”-nek stb. nevezett mennyiségek más-más mennyiségek lehetnek; ezeket itt egy-egy felirat különbözteti meg. Az egyes rendszerek megfelelő mennyiségei egy arányossági állandón keresztül kapcsolódnak egymáshoz.
Maxwell egyenletei e rendszerek mindegyikében a következőképpen írhatók fel:
Elektrosztatikus egységek (ESU)Edit
A CGS-rendszer elektrosztatikus egységváltozatában (CGS-ESU) a töltést a Coulomb-törvény egyfajta szorzóállandó nélküli formájának engedelmeskedő mennyiségként definiáljuk (és az áramot ekkor az időegységre jutó töltésként határozzuk meg):
F = q 1 ESU q 2 ESU r 2 . {\displaystyle F={q_{1}^{\text{ESU}}q_{2}^{\text{ESU}} \over r^{2}}.}
Az ESU töltésegység, franklin (Fr), más néven statcoulomb vagy esu töltés, tehát a következőképpen definiált:
két egymástól 1 centiméter távolságra lévő egyenlő ponttöltésről azt mondjuk, hogy egyenként 1 franklin, ha a köztük lévő elektrosztatikus erő 1 dyne.
A CGS-ESU-ban tehát egy franklin egyenlő a dyné négyzetgyökének egy centiméterrel szorozva:
1 F r = 1 s t a t c o u l o m b = 1 e s u c h a r g e = 1 d y n e 1 / 2 ⋅ c m = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 3 / 2 ⋅ s – 1 . {\displaystyle \mathrm {1\,Fr=1\,statcoulomb=1\,esu\;charge=1\,dyne^{1/2}{\cdot }cm=1\,g^{1/2}{\cdot }cm^{3/2}{\cdot }s^{-1}}} .}
Az áram egységét a következőképpen határozzuk meg:
1 F r / s = 1 s t a t a m p e r e = 1 e s u k u r r e n t = 1 d y n e 1 / 2 ⋅ c m ⋅ s – 1 = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 3 / 2 ⋅ s – 2 . {\displaystyle \mathrm {1\,Fr/s=1\,statampere=1\,esu\;current=1\,dyne^{1/2}{\cdot }cm{\cdot }s^{-1}=1\,g^{1/2}{\cdot }cm^{3/2}{\cdot }s^{-2}}} .}
Dimenzióilag a CGS-ESU rendszerben a q töltés tehát M1/2L3/2T-1-nek felel meg.
A CGS-ESU-ban minden elektromos és mágneses mennyiség a hossz, a tömeg és az idő dimenzióiban kifejezhető, és egyiknek sincs független dimenziója. Az elektromágnesesség ilyen mértékegységrendszerét, amelyben minden elektromos és mágneses mennyiség dimenziója kifejezhető a tömeg, a hossz és az idő mechanikai dimenzióival, hagyományosan “abszolút rendszernek” nevezik.:3
ESU jelölésSzerkesztés
Az ESU-CGS rendszerben minden olyan elektromágneses egységet, amelynek nincs tulajdonneve, a megfelelő SI névvel jelölünk, amelyhez “stat” előtagot vagy külön “esu” rövidítést csatolunk.
Elektromágneses egységek (EMU)Edit
A CGS rendszer egy másik változatában, az elektromágneses egységekben (EMU) az áramot az azt szállító két vékony, párhuzamos, végtelen hosszúságú vezeték között fennálló erővel határozzuk meg, a töltést pedig az áram és az idő szorzataként. (Ezt a megközelítést használták végül az SI-egység, az amper meghatározásához is). Az EMU CGS alrendszerben ez úgy történik, hogy az amper erőállandó k A = 1 {\displaystyle k_{\\rm {A}}=1}
, így Ampère erőtörvénye egyszerűen 2-t tartalmaz explicit prefaktorként.
Az áram EMU-egységét, a biot (Bi), más néven abampere vagy emu áramot tehát a következőképpen határozzuk meg:
A biot az az állandó áram, amely, ha két végtelen hosszúságú, egyenes, párhuzamos, elhanyagolható kör keresztmetszetű vezetőben, egymástól egy centiméterre, vákuumban elhelyezve tartanánk fenn, e vezetők között két dynes/centiméter hosszúságnak megfelelő erőt váltana ki.
Ezért elektromágneses CGS-egységekben kifejezve egy biot egyenlő a dyn négyzetgyökével:
1 B i = 1 a b a m p e r e = 1 e m u k u r r e n t = 1 d y n e 1 / 2 = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 1 / 2 ⋅ s – 1 {\displaystyle \mathrm {1\,Bi=1\,abampere=1\,emu\;current=1\,dyne^{1/2}=1\,g^{1/2}{\cdot }cm^{1/2}{\cdot }s^{-1}}} }
.
A töltés egysége a CGS EMU-ban a következő:
1 B i ⋅ s = 1 a b c o u l o m b = 1 e m u c h a r g e = 1 d y n e 1 / 2 ⋅ s = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 1 / 2 {\displaystyle \mathrm {1\,Bi{\cdot }s=1\,abcoulomb=1\,emu\,charge=1\,dyne^{1/2}{\cdot }s=1\,g^{1/2}{\cdot }cm^{1/2}}} }
.
Dimenziósan az EMU CGS rendszerben a q töltés tehát egyenértékű M1/2L1/2-vel. Ezért sem a töltés, sem az áram nem független fizikai mennyiség az EMU CGS rendszerben.
EMU jelölésSzerkesztés
Az EMU CGS rendszerben minden olyan elektromágneses egységet, amelynek nincs tulajdonneve, a megfelelő SI névvel jelölünk, amelyhez “ab” előtagot vagy külön “emu” rövidítést csatolunk.
Az ESU és EMU egységek közötti kapcsolatokSzerkesztés
A CGS ESU és EMU alrendszereit a k C / k A = c 2 {\displaystyle k_{\rm {C}}/k_{\rm {A}}=c^{2}}} alapösszefüggés kapcsolja össze.
(lásd fentebb), ahol c = 29979245800 ≈ 3×1010 a fény sebessége vákuumban centiméter per másodpercben. Ezért a megfelelő “elsődleges” elektromos és mágneses egységek (pl. áram, töltés, feszültség stb. – azokkal arányos mennyiségek, amelyek közvetlenül a Coulomb-törvénybe vagy az Ampère-erő törvényébe kerülnek be) vagy c-1 vagy c: 1 s t a t c o u l o m b 1 a b c o u l o m b = 1 s t a t a m p e r e 1 a b a m p e r e = c – 1 {\displaystyle \mathrm {\frac {\frac {1\,statcoulomb}{1\,abcoulomb}} =\mathrm {\frac {\frac {1\,statampere}{1\,abampere}} =c^{-1}}}
és
1 s t a t v o l t 1 a b v o l t = 1 s t a t t e s l a 1 g a u s s = c {\displaystyle \mathrm {\frac {\frac {1\,statvolt}{1\,abvolt}} =\mathrm {\frac {\frac {1\,stattesla}{1\,gauss}} =c}
.
Az ezekből származtatott egységeknek lehetnek például c nagyobb hatványaival egyenlő arányai:
1 s t a t o h m 1 a b o h m = 1 s t a t v o l t 1 a b v o l t × 1 a b a m p e r e 1 s t a t a m p e r e = c 2 {\displaystyle \mathrm {\frac {1\,statohm}{1\,abohm}} =\mathrm {\frac {1\,statvolt}{1\,abvolt}} \times \mathrm {\frac {\frac {1\,abampere}{1\,statampere}}=c^{2}}
.
Gyakorlati CGS-egységekSzerkesztés
A gyakorlati CGS-rendszer egy hibrid rendszer, amely a voltot és az ampért használja a feszültség, illetve az áram egységeként. Ezzel elkerülhetőek a kényelmetlenül nagy és kis mennyiségek, amelyek az elektromágneses egységeknél az esu és emu rendszerekben keletkeznek. Ezt a rendszert egy időben széles körben használták a villamosmérnökök, mivel a voltot és az ampert az 1881-es Nemzetközi Elektromos Kongresszus fogadta el nemzetközi szabványegységként. A volt és az amper mellett következésképpen a farad (kapacitás), az ohm (ellenállás), a coulomb (elektromos töltés) és a henry is használatos a gyakorlati rendszerben, és megegyezik az SI-egységekkel.
Egyéb változatokSzerkesztés
Az elektromágneses egységeknek különböző időpontokban mintegy fél tucat rendszere volt használatban, amelyek többsége a CGS-rendszeren alapult. Ezek közé tartoznak a Gauss-egységek és a Heaviside-Lorentz-egységek.