Přístup CGS k elektromagnetickým jednotkámEdit
Převodní koeficienty týkající se elektromagnetických jednotek v soustavách CGS a SI jsou složitější kvůli rozdílům ve vzorcích vyjadřujících fyzikální zákony elektromagnetismu, jak je předpokládají jednotlivé soustavy jednotek, konkrétně v povaze konstant, které se v těchto vzorcích vyskytují. To ilustruje zásadní rozdíl ve způsobech konstrukce obou soustav:
- V soustavě SI byla jednotka elektrického proudu, ampér (A), historicky definována tak, že magnetická síla, kterou působí dva nekonečně dlouhé, tenké, rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 1 metr a protékající proudem o velikosti 1 ampéru, je přesně 2×10-7 N/m. V soustavě SI se jednotka elektrického proudu nazývá ampér. Tato definice vede k tomu, že všechny elektromagnetické jednotky SI jsou numericky konzistentní (s výhradou faktorů některých celočíselných mocnin 10) s jednotkami soustavy CGS-EMU popsanými v dalších částech. Ampér je základní jednotkou soustavy SI, která má stejné postavení jako metr, kilogram a sekunda. Vztah v definici ampéru s metrem a newtonem se tedy nebere v úvahu a ampér není považován za rozměrově ekvivalentní s jakoukoli kombinací jiných základních jednotek. V důsledku toho vyžadují elektromagnetické zákony v soustavě SI další konstantu úměrnosti (viz Vakuová propustnost), aby bylo možné vztahovat elektromagnetické jednotky ke kinematickým jednotkám. (Tuto konstantu úměrnosti lze odvodit přímo z výše uvedené definice ampéru.) Všechny ostatní elektrické a magnetické jednotky jsou odvozeny z těchto čtyř základních jednotek pomocí nejzákladnějších běžných definic: například elektrický náboj q je definován jako proud I vynásobený časem t, q = I t {\displaystyle q=I\,t}.
,
což vede k tomu, že jednotka elektrického náboje, coulomb (C), je definována jako 1 C = 1 A⋅s.
- Varianta soustavy CGS se vyhýbá zavádění nových základních veličin a jednotek a místo toho definuje všechny elektromagnetické veličiny tak, že vyjadřuje fyzikální zákony, které spojují elektromagnetické jevy s mechanikou, pouze bezrozměrnými konstantami, a proto jsou všechny jednotky těchto veličin přímo odvozeny od centimetru, gramu a sekundy.
Alternativní odvození jednotek CGS v elektromagnetismuEdit
Elektromagnetické vztahy k délce, času a hmotnosti lze odvodit několika stejně atraktivními metodami. Dvě z nich se opírají o síly pozorované na nábojích. Dva základní zákony vztahují (zdánlivě nezávisle na sobě) elektrický náboj nebo rychlost jeho změny (elektrický proud) k mechanické veličině, jako je síla. Lze je zapsat v podobě nezávislé na systému takto:
- První je Coulombův zákon, F = k C q q ′ d 2 {\displaystyle F=k_{\rm {C}}{\frac {q\,q^{\prime }}{d^{2}}}}
, která popisuje elektrostatickou sílu F mezi elektrickými náboji q {\displaystyle q}
a q ′ {\displaystyle q^{\prime }}.
, vzdálených od sebe vzdáleností d. Zde k C {\displaystyle k_{\rm {C}}}}
je konstanta, která závisí na tom, jak přesně je jednotka náboje odvozena od základních jednotek.
- Druhým je Ampérův silový zákon, d F d L = 2 k A I I ′ d {\displaystyle {\frac {dF}{dL}}=2k_{\rm {A}}{\frac {I\,I^{\prime }}{d}}}}.
, který popisuje magnetickou sílu F na jednotku délky L mezi proudy I a I′ tekoucími ve dvou přímých rovnoběžných vodičích nekonečné délky, oddělených vzdáleností d, která je mnohem větší než průměry vodičů. Protože I = q / t {\displaystyle I=q/t\,}
a I ′ = q ′ / t {\displaystyle I^{\prime }=q^{\prime }/t}.
, konstanta k A {\displaystyle k_{\rm {A}}}
závisí také na tom, jak je jednotka náboje odvozena od základních jednotek.
Maxwellova teorie elektromagnetismu tyto dva zákony vzájemně propojuje. Uvádí, že poměr konstant úměrnosti k C {\displaystyle k_{\rm {C}}}.
a k A {\displaystyle k_{\rm {A}}}.
musí platit k C / k A = c 2 {\displaystyle k_{\rm {C}}/k_{\rm {A}}=c^{2}}
, kde c je rychlost světla ve vakuu. Pokud tedy odvodíme jednotku náboje z Coulombova zákona tak, že stanovíme k C = 1 {\displaystyle k_{\rm {C}}=1}.
, pak Ampérův silový zákon bude obsahovat prefaktor 2 / c 2 {\displaystyle 2/c^{2}}.
. Alternativou je odvození jednotky proudu, a tedy i jednotky náboje, z Ampérova silového zákona stanovením k A = 1 {\displaystyle k_{\rm {A}}=1}}.
nebo k A = 1 / 2 {\displaystyle k_{\rm {A}}=1/2}
, povede ke konstantnímu prefaktoru v Coulombově zákoně.
Jistě, oba tyto vzájemně se vylučující přístupy byly praktikovány uživateli systému CGS, což vedlo ke dvěma nezávislým a vzájemně se vylučujícím větvím CGS, popsaným v následujících podkapitolách. Svoboda volby při odvozování elektromagnetických jednotek z jednotek délky, hmotnosti a času však není omezena na definici náboje. Zatímco elektrické pole lze vztahovat k práci, kterou vykoná na pohybujícím se elektrickém náboji, magnetická síla je vždy kolmá na rychlost pohybujícího se náboje, a proto práce vykonaná magnetickým polem na jakémkoli náboji je vždy nulová. To vede k volbě mezi dvěma zákony magnetismu, z nichž každý vztahuje magnetické pole k mechanickým veličinám a elektrickému náboji:
- První zákon popisuje Lorentzovu sílu, kterou působí magnetické pole B na náboj q pohybující se rychlostí v:
F = α L q v × B . {\displaystyle \mathbf {F} =\alpha _{\rm {L}}q\;\mathbf {v} \times \mathbf {B} \;.}
- Druhý popisuje vytvoření statického magnetického pole B elektrickým proudem I konečné délky dl v bodě posunutém o vektor r, známý jako Biotův-Savartův zákon:
d B = α B I d l × r ^ r 2 , {\displaystyle d\mathbf {B} =\alpha _{\rm {B}}{\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}};,}
kde r a r ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}}} }
jsou délka a jednotkový vektor ve směru vektoru r.
Tyto dva zákony lze použít k odvození výše uvedeného Ampérova silového zákona, jehož výsledkem je vztah: k A = α L ⋅ α B {\displaystyle k_{\rm {A}}=\alpha _{\rm {L}}\cdot \alpha _{\rm {B}};}
. Pokud tedy jednotka náboje vychází z Ampérova silového zákona tak, že k A = 1 {\displaystyle k_{\rm {A}}=1}.
, je přirozené odvodit jednotku magnetického pole stanovením α L = α B = 1 {\displaystyle \alpha _{\rm {L}}=\alpha _{\rm {B}}=1\;}
. Pokud tomu tak však není, je třeba se rozhodnout, který z obou výše uvedených zákonů je vhodnějším základem pro odvození jednotky magnetického pole.
Pokud chceme navíc popsat elektrické posuvné pole D a magnetické pole H v jiném prostředí než ve vakuu, musíme definovat také konstanty ε0 a μ0, což jsou permitivita, resp. permeabilita vakua. Pak máme (obecně) D = ϵ 0 E + λ P {\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} +\lambda \mathbf {P} }
a H = B / μ 0 – λ ′ M {\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}-\lambda ^{\prime }\mathbf {M} }
, kde P a M jsou vektory polarizační hustoty a magnetizace. Jednotky P a M se obvykle volí tak, aby faktory λ a λ′ byly rovny „racionalizačním konstantám“ 4 π k C ϵ 0 {\displaystyle 4\pi k_{\rm {C}}\epsilon _{0}}.
a 4 π α B / ( μ 0 α L ) {\displaystyle 4\pi \alfa _{\rm {B}}/(\mu _{0}\alfa _{\rm {L}})}.
, resp. Jsou-li racionalizační konstanty stejné, pak c 2 = 1 / ( ϵ 0 μ 0 α L 2 ) {\displaystyle c^{2}=1/(\epsilon _{0}\mu _{0}\alfa _{\rm {L}}^{2})} }.
. Pokud jsou rovny jedné, pak se říká, že soustava je „racionalizovaná“: zákony pro soustavy kulové geometrie obsahují činitele 4π (například bodové náboje), soustavy válcové geometrie činitele 2π (například vodiče) a soustavy rovinné geometrie neobsahují žádné činitele π (například kondenzátory s paralelními deskami). Původní systém CGS však používal λ = λ′ = 4π nebo ekvivalentně k C ϵ 0 = α B / ( μ 0 α L ) = 1 {\displaystyle k_{\rm {C}}\epsilon _{0}=\alfa _{\rm {B}}/(\mu _{0}\alfa _{\rm {L}})=1}.
. Proto Gaussův, ESU a EMU subsystém CGS (popsaný níže) nejsou racionalizovány.
Různá rozšíření systému CGS na elektromagnetismusUpravit
Následující tabulka uvádí hodnoty výše uvedených konstant používaných v některých běžných podsystémech CGS:
| Systém | k C {\displaystyle k_{\rm {C}}}.
|
α B {\displaystyle \alfa _{\rm {B}}}
 |
ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}}
 |
μ 0 {\displaystyle \mu _{0}}
 |
k A = k C c 2 {\displaystyle k_{\rm {A}}={\frac {k_{\rm {C}}}{c^{2}}}}
 |
α L = k C α B c 2 {\displaystyle \alpha _{\rm {L}}={\frac {k_{\rm {C}}}{\alpha _{\rm {B}}c^{2}}}}
 |
λ = 4 π k C ϵ 0 {\displaystyle \lambda =4\pi k_{\rm {C}}\epsilon _{0}}
 |
λ ′ = 4 π α B μ 0 α L {\displaystyle \lambda ‚={\frac {4\pi \alfa _{\rm {B}}{\mu _{0}\alfa _{\rm {L}}}}}
 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Elektrostatické CGS (ESU, esu, nebo stat-) |
1 | c-2 | 1 | c-2 | c-2 | 1 | 4π | 4π |
| Elektromagnetický CGS (EMU, emu, nebo ab-) |
c2 | 1 | c-2 | 1 | 1 | 1 | 4π | 4π |
| Gaussův CGS | 1 | c-1 | 1 | 1 | c-2 | c-1 | 4π | 4π |
| Lorentz-Heaviside CGS | 1 4 π {\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}}.
 |
1 4 π c {\displaystyle {\frac {1}{4\pi c}}}
 |
1 | 1 | 1 4 π c 2 {\displaystyle {\frac {1}{4\pi c^{2}}}}
 |
c-1 | 1 | 1 |
| SI | 1 4 π ϵ 0 {\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}}
 |
μ 0 4 π {\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}}}
 |
ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}}
|
μ 0 {\displaystyle \mu _{0}}
|
μ 0 4 π {\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}}}
|
1 | 1 | 1 |
Také si všimněte následující shody výše uvedených konstant s konstantami v Jacksonovi a Leungovi:
k C = k 1 = k E {\displaystyle k_{\rm {C}}=k_{1}=k_{\rm {E}}}.
α B = α ⋅ k 2 = k B {\displaystyle \alpha _{\rm {B}}=\alpha \cdot k_{2}=k_{\rm {B}}}
k A = k 2 = k E / c 2 {\displaystyle k_{\rm {A}}=k_{2}=k_{\rm {E}}/c^{2}}}
α L = k 3 = k F {\displaystyle \alpha _{\rm {L}}=k_{3}=k_{\rm {F}}}
Z těchto variant pouze v Gaussově a Heaviside-Lorentzově systému α L {\displaystyle \alfa _{\rm {L}}}
se rovná c – 1 {\displaystyle c^{-1}}
a ne 1. Výsledkem je, že vektory E → {\displaystyle {\vec {E}}}
a B → {\displaystyle {\vec {B}}}
elektromagnetické vlny šířící se ve vakuu mají v těchto dvou variantách CGS stejné jednotky a jsou stejně velké.
V každé z těchto soustav mohou být veličiny nazývané „náboj“ atd. jinou veličinou; zde jsou odlišeny horním indexem. Příslušné veličiny každé soustavy spolu souvisejí prostřednictvím konstanty úměrnosti.
Maxwellovy rovnice lze v každé z těchto soustav zapsat jako:
Elektrostatické jednotky (ESU)Upravit
V elektrostatických jednotkách ve variantě soustavy CGS (CGS-ESU) je náboj definován jako veličina, která se řídí formou Coulombova zákona bez násobící konstanty (a proud je pak definován jako náboj za jednotku času):
F = q 1 ESU q 2 ESU r 2 . {\displaystyle F={q_{1}^{\text{ESU}}q_{2}^{\text{ESU}} \nad r^{2}}.}
Jednotka náboje ESU, franklin (Fr), známá také jako statcoulomb nebo náboj esu, je tedy definována takto:
O dvou stejných bodových nábojích vzdálených od sebe 1 cm se říká, že každý z nich má 1 franklin, jestliže elektrostatická síla mezi nimi je 1 dyna.
V CGS-ESU se tedy franklin rovná centimetru krát odmocnina z dynu:
1 F r = 1 s t a t k o u l o m b = 1 e s u c h a r g e = 1 d y n e 1 / 2 ⋅ c m = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 3 / 2 ⋅ s – 1 . {\displaystyle \mathrm {1\,Fr=1\,statcoulomb=1\,esu\;charge=1\,dyne^{1/2}{\cdot }cm=1\,g^{1/2}{\cdot }cm^{3/2}{\cdot }s^{-1}}. .}
Jednotka proudu je definována takto:
1 F r / s = 1 s t a t a m p e r e = 1 e s u k u r e n t = 1 d y n e 1 / 2 ⋅ c m ⋅ s – 1 = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 3 / 2 ⋅ s – 2 . {\displaystyle \mathrm {1\,Fr/s=1\,statampere=1\,esu\;current=1\,dyne^{1/2}{\cdot }cm{\cdot }s^{-1}=1\,g^{1/2}{\cdot }cm^{3/2}{\cdot }s^{-2}}. .}
Dimenzionálně v soustavě CGS-ESU je tedy náboj q ekvivalentní M1/2L3/2T-1.
V soustavě CGS-ESU jsou všechny elektrické a magnetické veličiny dimenzionálně vyjádřitelné v délce, hmotnosti a čase a žádná z nich nemá nezávislý rozměr. Taková soustava jednotek elektromagnetismu, v níž jsou rozměry všech elektrických a magnetických veličin vyjádřitelné v termínech mechanických rozměrů hmotnosti, délky a času, se tradičně nazývá „absolutní soustava“.3
Zápis ESUEdit
Všechny elektromagnetické jednotky v soustavě ESU CGS, které nemají vlastní jména, se označují odpovídajícím názvem SI s připojenou předponou „stat“ nebo samostatnou zkratkou „esu“.
Elektromagnetické jednotky (EMU)Edit
V jiné variantě soustavy CGS, elektromagnetických jednotkách (EMU), je proud definován prostřednictvím síly existující mezi dvěma tenkými, paralelními, nekonečně dlouhými vodiči, které jej přenášejí, a náboj je pak definován jako násobek proudu a času. (Tento přístup byl nakonec použit i pro definici jednotky SI ampér). V subsystému EMU CGS se to provádí tak, že se nastaví Ampérova silová konstanta k A = 1 {\displaystyle k_{\rm {A}}=1}
, takže Ampérův silový zákon jednoduše obsahuje 2 jako explicitní prefaktor.
Jednotka proudu EMU, biot (Bi), známá také jako abampérový nebo emurový proud, je tedy definována takto:
Biot je takový konstantní proud, který by při udržování ve dvou přímých rovnoběžných vodičích nekonečné délky, zanedbatelného kruhového průřezu a umístěných jeden centimetr od sebe ve vakuu, vyvolal mezi těmito vodiči sílu rovnou dvěma dynům na centimetr délky.
V elektromagnetických jednotkách CGS se tedy biot rovná druhé odmocnině dynu:
1 B i = 1 a b a m p e r e = 1 e m u k u r e n t = 1 d y n e 1 / 2 = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 1 / 2 ⋅ s – 1 {\displaystyle \mathrm {1\,Bi=1\,abampere=1\,emu\;current=1\,dyne^{1/2}=1\,g^{1/2}{\cdot }cm^{1/2}{\cdot }s^{-1}}. }
.
Jednotka náboje v CGS EMU je:
1 B i ⋅ s = 1 a b c o u l o m b = 1 e m u c h a r g e = 1 d y n e 1 / 2 ⋅ s = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 1 / 2 {\displaystyle \mathrm {1\,Bi{\cdot }s=1\,abcoulomb=1\,emu\,charge=1\,dyne^{1/2}{\cdot }s=1\,g^{1/2}{\cdot }cm^{1/2}}. }
.
Dimenzionálně v systému EMU CGS je tedy náboj q ekvivalentní M1/2L1/2. Náboj ani proud tedy nejsou v soustavě EMU CGS samostatnou fyzikální veličinou.
Zápis EMUEdit
Všechny elektromagnetické jednotky v soustavě EMU CGS, které nemají vlastní názvy, se označují odpovídajícím názvem SI s připojenou předponou „ab“ nebo samostatnou zkratkou „emu“.
Vztahy mezi jednotkami ESU a EMUEdit
Podsystémy ESU a EMU CGS jsou spojeny základním vztahem k C / k A = c 2 {\displaystyle k_{\rm {C}}/k_{\rm {A}}=c^{2}}.
(viz výše), kde c = 29979245800 ≈ 3×1010 je rychlost světla ve vakuu v centimetrech za sekundu. Proto je poměr příslušných „primárních“ elektrických a magnetických jednotek (např. proudu, náboje, napětí atd. – veličin úměrných těm, které vstupují přímo do Coulombova zákona nebo Ampérova zákona síly) je roven buď c-1, nebo c: 1 s t a t c o u l o m b 1 a b c o u l o m b = 1 s t a t a m p e r e 1 a b a m p e r e = c – 1 {\displaystyle \mathrm {\frac {1\,statcoulomb}{1\,abcoulomb}} =\mathrm {\frac {1\,statampere}{1\,abampere}} =c^{-1}}.
a
1 s t a t v o l t 1 a b v o l t = 1 s t a t e s l a 1 g a u s s = c {\displaystyle \mathrm {\frac {1\,statvolt}{1\,abvolt}} =\mathrm {\frac {1\,stattesla}{1\,gauss}} =c}
.
Jednotky z nich odvozené mohou mít například poměry rovné vyšším mocninám c:
1 s t a t o h m 1 a b o h m = 1 s t a t v o l t 1 a b v o l t × 1 a b a m p e r e 1 s t a t a m p e r e = c 2 {\displaystyle \mathrm {\frac {1\,statohm}{1\,abohm}} =\mathrm {\frac {1\,statvolt}{1\,abvolt}}. \times \mathrm {\frac {1\,abampere}{1\,statampere}} =c^{2}}
.
Praktické jednotky CGSEdit
Praktický systém CGS je hybridní systém, který používá volt a ampér jako jednotky napětí, resp. proudu. Tím se vyhneme nevhodně velkým a malým veličinám, které vznikají u elektromagnetických jednotek v systémech esu a emu. Tento systém byl svého času elektrotechniky hojně používán, protože volt a ampér byly Mezinárodním elektrotechnickým kongresem v roce 1881 přijaty jako mezinárodní standardní jednotky. Kromě voltu a ampéru se v praktické soustavě následně používají také farad (kapacita), ohm (odpor), coulomb (elektrický náboj) a henry, které jsou shodné s jednotkami SI.
Další variantyEdit
V různých dobách se používalo asi půl tuctu soustav elektromagnetických jednotek, většinou založených na soustavě CGS. Patří mezi ně Gaussovy jednotky a Heavisideovy-Lorentzovy jednotky.