CGS-Ansatz für elektromagnetische EinheitenBearbeiten
Die Umrechnungsfaktoren für elektromagnetische Einheiten im CGS- und im SI-System werden durch die Unterschiede in den Formeln, die die physikalischen Gesetze des Elektromagnetismus ausdrücken, wie sie von jedem Einheitensystem angenommen werden, komplizierter, insbesondere durch die Art der Konstanten, die in diesen Formeln erscheinen. Dies verdeutlicht den grundlegenden Unterschied in der Art und Weise, wie die beiden Systeme aufgebaut sind:
- Im SI wurde die Einheit des elektrischen Stroms, das Ampere (A), historisch so definiert, dass die magnetische Kraft, die von zwei unendlich langen, dünnen, parallelen Drähten ausgeübt wird, die 1 Meter voneinander entfernt sind und einen Strom von 1 Ampere führen, genau 2×10-7 N/m beträgt. Diese Definition führt dazu, dass alle elektromagnetischen SI-Einheiten numerisch mit denen des in weiteren Abschnitten beschriebenen CGS-EMU-Systems übereinstimmen (vorbehaltlich der Faktoren einiger ganzzahliger Potenzen von 10). Das Ampere ist eine Basiseinheit des SI-Systems, mit dem gleichen Status wie Meter, Kilogramm und Sekunde. Daher wird die Beziehung in der Definition des Ampere zum Meter und zum Newton außer Acht gelassen, und das Ampere wird nicht als dimensionsmäßig äquivalent zu einer Kombination anderer Basiseinheiten behandelt. Infolgedessen erfordern die elektromagnetischen Gesetze im SI eine zusätzliche Proportionalitätskonstante (siehe Vakuumpermeabilität), um elektromagnetische Einheiten mit kinematischen Einheiten in Beziehung zu setzen. (Diese Proportionalitätskonstante ist direkt aus der obigen Definition des Ampere ableitbar.) Alle anderen elektrischen und magnetischen Einheiten werden von diesen vier Basiseinheiten abgeleitet, wobei die grundlegendsten gemeinsamen Definitionen verwendet werden: So ist beispielsweise die elektrische Ladung q definiert als Stromstärke I multipliziert mit der Zeit t, q = I t {\displaystyle q=I\,t}
,
was dazu führt, dass die Einheit der elektrischen Ladung, das Coulomb (C), als 1 C = 1 A⋅s definiert wird.
- Die CGS-Systemvariante vermeidet die Einführung neuer Basisgrößen und -einheiten und definiert stattdessen alle elektromagnetischen Größen, indem sie die physikalischen Gesetze, die elektromagnetische Phänomene mit der Mechanik in Beziehung setzen, nur mit dimensionslosen Konstanten ausdrückt, und daher werden alle Einheiten für diese Größen direkt vom Zentimeter, Gramm und der Sekunde abgeleitet.
Alternative Ableitungen der CGS-Einheiten im ElektromagnetismusEdit
Elektromagnetische Beziehungen zu Länge, Zeit und Masse können durch mehrere gleichermaßen ansprechende Methoden abgeleitet werden. Zwei davon beruhen auf den an Ladungen beobachteten Kräften. Zwei fundamentale Gesetze setzen (scheinbar unabhängig voneinander) die elektrische Ladung oder ihre Änderungsrate (elektrischer Strom) mit einer mechanischen Größe wie der Kraft in Beziehung. Sie können in systemunabhängiger Form wie folgt geschrieben werden:
- Das erste ist das Coulombsche Gesetz, F = k C q q ′ d 2 {\displaystyle F=k_{\rm {C}}{\frac {q\,q^{\prime }}{d^{2}}}}
, die die elektrostatische Kraft F zwischen elektrischen Ladungen q {\displaystyle q}
und q ′ {\displaystyle q^{\prime }}
, die durch den Abstand d getrennt sind. Dabei ist k C {\displaystyle k_{\rm {C}}}
eine Konstante, die davon abhängt, wie genau die Einheit der Ladung aus den Basiseinheiten abgeleitet wird.
- Das zweite ist das Ampère’sche Kraftgesetz, d F d L = 2 k A I I ′ d {\displaystyle {\frac {dF}{dL}}=2k_{\rm {A}}{\frac {I\,I^{\prime }}{d}}
, die die magnetische Kraft F pro Längeneinheit L zwischen den Strömen I und I′ beschreibt, die in zwei geraden, parallelen Drähten unendlicher Länge fließen, die durch einen Abstand d getrennt sind, der viel größer ist als die Drahtdurchmesser. Da I = q / t {\displaystyle I=q/t\,}
und I ′ = q ′ / t {\displaystyle I^{\prime }=q^{\prime }/t}
, die Konstante k A {\displaystyle k_{\rm {A}}}
hängt auch davon ab, wie die Einheit der Ladung aus den Basiseinheiten abgeleitet wird.
Maxwells Theorie des Elektromagnetismus setzt diese beiden Gesetze in Beziehung zueinander. Sie besagt, dass das Verhältnis der Proportionalitätskonstanten k C {\displaystyle k_{\rm {C}}}
und k A {\displaystyle k_{\rm {A}}}
müssen k C / k A = c 2 {\displaystyle k_{\rm {C}}/k_{\rm {A}}=c^{2}} gehorchen
, wobei c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Wenn man also die Einheit der Ladung aus dem Coulombschen Gesetz ableitet, indem man k C = 1 {\displaystyle k_{\rm {C}}=1}
dann enthält das Ampère’sche Kraftgesetz einen Vorfaktor 2 / c 2 {\displaystyle 2/c^{2}}
. Alternativ kann man die Einheit des Stroms und damit die Einheit der Ladung aus dem Ampère’schen Kraftgesetz ableiten, indem man k A = 1 {\displaystyle k_{\rm {A}}=1}
oder k A = 1 / 2 {\displaystyle k_{\rm {A}}=1/2}
, führt zu einem konstanten Vorfaktor im Coulombschen Gesetz.
In der Tat wurden diese beiden sich gegenseitig ausschließenden Ansätze von den Nutzern des CGS-Systems praktiziert, was zu den beiden unabhängigen und sich gegenseitig ausschließenden Zweigen des CGS führte, die in den folgenden Unterabschnitten beschrieben werden. Die Wahlfreiheit bei der Ableitung elektromagnetischer Einheiten aus den Einheiten von Länge, Masse und Zeit ist jedoch nicht auf die Definition der Ladung beschränkt. Während das elektrische Feld mit der Arbeit in Beziehung gesetzt werden kann, die es auf eine bewegte elektrische Ladung ausübt, steht die magnetische Kraft immer senkrecht zur Geschwindigkeit der bewegten Ladung, so dass die Arbeit, die das Magnetfeld auf eine beliebige Ladung ausübt, immer Null ist. Dies führt zu einer Wahl zwischen zwei Gesetzen des Magnetismus, die jeweils das Magnetfeld mit mechanischen Größen und der elektrischen Ladung in Beziehung setzen:
- Das erste Gesetz beschreibt die Lorentzkraft, die von einem Magnetfeld B auf eine Ladung q, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, erzeugt wird:
F = α L q v × B . {\displaystyle \mathbf {F} =\alpha _{\rm {L}}q\;\mathbf {v} \times \mathbf {B} \;.}
- Das zweite beschreibt die Erzeugung eines statischen Magnetfeldes B durch einen elektrischen Strom I endlicher Länge dl an einem durch einen Vektor r verschobenen Punkt, bekannt als Biot-Savart-Gesetz:
d B = α B I d l × r ^ r 2 , {\displaystyle d\mathbf {B} =\alpha _{\rm {B}}{\frac {Id\mathbf {l} \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}};,}
wobei r und r ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }
sind die Länge bzw. der Einheitsvektor in Richtung des Vektors r.
Aus diesen beiden Gesetzen lässt sich das obige Kraftgesetz von Ampère ableiten und es ergibt sich die Beziehung: k A = α L ⋅ α B {\displaystyle k_{\rm {A}}=\alpha _{\rm {L}}\cdot \alpha _{\rm {B}}\;}
. Wenn also die Einheit der Ladung auf dem Ampère’schen Kraftgesetz beruht, so dass k A = 1 {\displaystyle k_{\rm {A}}=1}
, so ist es natürlich, die Einheit des magnetischen Feldes abzuleiten, indem man α L = α B = 1 {\displaystyle \alpha _{\rm {L}}=\alpha _{\rm {B}}=1\;}
Ist dies jedoch nicht der Fall, so muss man sich entscheiden, welches der beiden obigen Gesetze eine geeignetere Grundlage für die Ableitung der Einheit des Magnetfeldes ist.
Wenn wir außerdem das elektrische Verschiebungsfeld D und das magnetische Feld H in einem anderen Medium als dem Vakuum beschreiben wollen, müssen wir auch die Konstanten ε0 und μ0 definieren, die die Permittivität bzw. Permeabilität des Vakuums darstellen. Dann haben wir (allgemein) D = ϵ 0 E + λ P {\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} +\lambda \mathbf {P} }
und H = B / μ 0 – λ ′ M {\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}-\lambda ^{\prime }\mathbf {M} }
, wobei P und M Vektoren der Polarisationsdichte und der Magnetisierung sind. Die Einheiten von P und M werden gewöhnlich so gewählt, dass die Faktoren λ und λ′ gleich den „Rationalisierungskonstanten“ 4 π k C ϵ 0 {\displaystyle 4\pi k_{\rm {C}}\epsilon _{0}}
und 4 π α B / ( μ 0 α L ) {\displaystyle 4\pi \alpha _{\rm {B}}/(\mu _{0}\alpha _{\rm {L}})}
, entsprechend. Wenn die Rationalisierungskonstanten gleich sind, dann ist c 2 = 1 / ( ϵ 0 μ 0 α L 2 ) {\displaystyle c^{2}=1/(\epsilon _{0}\mu _{0}\alpha _{\rm {L}}^{2})}
. Wenn sie gleich eins sind, wird das System als „rationalisiert“ bezeichnet: Die Gesetze für Systeme mit sphärischer Geometrie enthalten Faktoren von 4π (z. B. Punktladungen), für Systeme mit zylindrischer Geometrie Faktoren von 2π (z. B. Drähte) und für Systeme mit planarer Geometrie keine Faktoren von π (z. B. Parallelplattenkondensatoren). Das ursprüngliche CGS-System verwendete jedoch λ = λ′ = 4π, oder, äquivalent, k C ϵ 0 = α B / ( μ 0 α L ) = 1 {\displaystyle k_{\rm {C}}\epsilon _{0}=\alpha _{\rm {B}}/(\mu _{0}\alpha _{\rm {L}})=1}
. Daher sind die Gaußschen, ESU- und EWU-Teilsysteme von CGS (wie unten beschrieben) nicht rationalisiert.
Verschiedene Erweiterungen des CGS-Systems auf den ElektromagnetismusBearbeiten
Die folgende Tabelle zeigt die Werte der oben genannten Konstanten, die in einigen gängigen CGS-Teilsystemen verwendet werden:
| System | k C {\displaystyle k_{\rm {C}}}
|
α B {\displaystyle \alpha _{\rm {B}}}
 |
ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}}
 |
μ 0 {\displaystyle \mu _{0}}
 |
k A = k C c 2 {\displaystyle k_{\rm {A}}={\frac {k_{\rm {C}}}{c^{2}}}}
 |
α L = k C α B c 2 {\displaystyle \alpha _{\rm {L}}={\frac {k_{\rm {C}}}{\alpha _{\rm {B}}c^{2}}}}
 |
λ = 4 π k C ϵ 0 {\displaystyle \lambda =4\pi k_{\rm {C}}\epsilon _{0}}
 |
λ ′ = 4 π α B μ 0 α L {\displaystyle \lambda ‚={\frac {4\pi \alpha _{\rm {B}}}{\mu _{0}\alpha _{\rm {L}}}}}
 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Elektrostatische CGS (ESU, esu, oder stat-) |
1 | c-2 | 1 | c-2 | c-2 | 1 | 4π | 4π |
| Elektromagnetische CGS (EMU, emu, oder ab-.) |
c2 | 1 | c-2 | 1 | 1 | 1 | 4π | 4π |
| Gauß-CGS | 1 | c-1 | 1 | 1 | c-2 | c-1 | 4π | 4π |
| Lorentz-Heaviside CGS | 1 4 π {\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}
 |
1 4 π c {\displaystyle {\frac {1}{4\pi c}}
 |
1 | 1 | 1 4 π c 2 {\displaystyle {\frac {1}{4\pi c^{2}}}}
 |
c-1 | 1 | 1 |
| SI | 1 4 π ϵ 0 {\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}}
 |
μ 0 4 π {\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}
 |
ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}}
|
μ 0 {\displaystyle \mu _{0}}
|
μ 0 4 π {\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}
|
1 | 1 | 1 |
Auch ist die folgende Übereinstimmung der obigen Konstanten mit denen in Jackson und Leung zu beachten:
k C = k 1 = k E {\displaystyle k_{\rm {C}}=k_{1}=k_{\rm {E}}}
α B = α ⋅ k 2 = k B {\displaystyle \alpha _{\rm {B}}=\alpha \cdot k_{2}=k_{\rm {B}}
k A = k 2 = k E / c 2 {\displaystyle k_{\rm {A}}=k_{2}=k_{\rm {E}}/c^{2}}
α L = k 3 = k F {\displaystyle \alpha _{\rm {L}}=k_{3}=k_{\rm {F}}
Von diesen Varianten ist nur im Gauß- und Heaviside-Lorentz-System α L {\displaystyle \alpha _{\rm {L}}
ist gleich c – 1 {\displaystyle c^{-1}}
und nicht 1. Daraus folgt, dass die Vektoren E → {\displaystyle {\vec {E}}
und B → {\displaystyle {\vec {B}}}
einer sich im Vakuum ausbreitenden elektromagnetischen Welle haben in diesen beiden Varianten von CGS die gleichen Einheiten und sind gleich groß.
In jedem dieser Systeme können die als „Ladung“ usw. bezeichneten Größen eine andere Größe sein; sie werden hier durch ein hochgestelltes Zeichen unterschieden. Die entsprechenden Größen jedes Systems sind durch eine Proportionalitätskonstante miteinander verbunden.
Maxwells Gleichungen können in jedem dieser Systeme geschrieben werden als:
Elektrostatische Einheiten (ESU)Bearbeiten
In der elektrostatischen Einheitenvariante des CGS-Systems (CGS-ESU) wird die Ladung als diejenige Größe definiert, die einer Form des Coulombschen Gesetzes ohne Multiplikationskonstante gehorcht (und Strom wird dann als Ladung pro Zeiteinheit definiert):
F = q 1 ESU q 2 ESU r 2 . {\displaystyle F={q_{1}^{\text{ESU}}q_{2}^{\text{ESU}} {\über r^{2}}.}
Die ESU-Ladungseinheit, Franklin (Fr), auch bekannt als Statcoulomb oder ESU-Ladung, ist daher wie folgt definiert:
Zwei gleiche Punktladungen, die einen Zentimeter voneinander entfernt sind, werden als 1 Franklin bezeichnet, wenn die elektrostatische Kraft zwischen ihnen 1 Dyne beträgt.
Daher ist in CGS-ESU ein Franklin gleich einem Zentimeter mal der Quadratwurzel von dyne:
1 F r = 1 s t a t c o u l o m b = 1 e s u c h a r g e = 1 d y n e 1 / 2 ⋅ c m = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 3 / 2 ⋅ s – 1 . {\displaystyle \mathrm {1\,Fr=1\,statcoulomb=1\,esu\;charge=1\,dyne^{1/2}{\cdot }cm=1\,g^{1/2}{\cdot }cm^{3/2}{\cdot }s^{-1}} .}
Die Einheit des Stroms ist definiert als:
1 F r / s = 1 s t a t a m p e r e = 1 e s u c u r r e n t = 1 d y n e 1 / 2 ⋅ c m ⋅ s – 1 = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 3 / 2 ⋅ s – 2 . {\displaystyle \mathrm {1\,Fr/s=1\,statampere=1\,esu\;current=1\,dyne^{1/2}{\cdot }cm{\cdot }s^{-1}=1\,g^{1/2}{\cdot }cm^{3/2}{\cdot }s^{-2}} .}
Im CGS-ESU-System ist die Ladung q also äquivalent zu M1/2L3/2T-1.
Im CGS-ESU-System sind alle elektrischen und magnetischen Größen dimensionsmäßig ausdrückbare Ausdrücke von Länge, Masse und Zeit, und keine hat eine unabhängige Dimension. Ein solches Einheitensystem des Elektromagnetismus, in dem die Dimensionen aller elektrischen und magnetischen Größen in Begriffen der mechanischen Dimensionen von Masse, Länge und Zeit ausgedrückt werden können, wird traditionell als „absolutes System“ bezeichnet:3
ESU-NotationBearbeiten
Alle elektromagnetischen Einheiten im ESU-CGS-System, die keine Eigennamen haben, werden durch einen entsprechenden SI-Namen mit angehängtem Präfix „stat“ oder durch eine separate Abkürzung „esu“ bezeichnet.
Elektromagnetische Einheiten (EMU)Bearbeiten
In einer anderen Variante des CGS-Systems, den elektromagnetischen Einheiten (EMU), wird der Strom über die Kraft definiert, die zwischen zwei dünnen, parallelen, unendlich langen Drähten besteht, die ihn übertragen, und die Ladung wird dann als Strom multipliziert mit der Zeit definiert. (Dieser Ansatz wurde schließlich auch zur Definition der SI-Einheit Ampere verwendet). Im Teilsystem EMU CGS wird dies durch die Festlegung der Ampere-Kraftkonstante k A = 1 {\displaystyle k_{\rm {A}}=1}
, so dass das Ampère’sche Kraftgesetz einfach 2 als expliziten Vorfaktor enthält.
Die EWU-Einheit des Stroms, Biot (Bi), auch Abampere oder Emu-Strom genannt, ist daher wie folgt definiert:
Das Biot ist der konstante Strom, der, wenn er in zwei geraden, parallelen Leitern von unendlicher Länge und vernachlässigbarem kreisförmigen Querschnitt aufrechterhalten wird, die im Vakuum einen Zentimeter voneinander entfernt sind, zwischen diesen Leitern eine Kraft erzeugen würde, die zwei Dyn pro Zentimeter der Länge entspricht.
In elektromagnetischen CGS-Einheiten ist daher ein Biot gleich einer Quadratwurzel aus Dyne:
1 B i = 1 a b a m p e r e = 1 e m u c u r r e n t = 1 d y n e 1 / 2 = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 1 / 2 ⋅ s – 1 {\displaystyle \mathrm {1\,Bi=1\,abampere=1\,emu\;current=1\,dyne^{1/2}=1\,g^{1/2}{\cdot }cm^{1/2}{\cdot }s^{-1}} }
.
Die Einheit der Ladung in CGS EMU ist:
1 B i ⋅ s = 1 a b c o u l o m b = 1 e m u c h a r g e = 1 d y n e 1 / 2 ⋅ s = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 1 / 2 {\displaystyle \mathrm {1\,Bi{\cdot }s=1\,abcoulomb=1\,emu\,charge=1\,dyne^{1/2}{\cdot }s=1\,g^{1/2}{\cdot }cm^{1/2}} }
.
Dimensional gesehen ist die Ladung q im System EMU CGS also äquivalent zu M1/2L1/2. Daher ist weder die Ladung noch der Strom eine unabhängige physikalische Größe im EMU CGS-System.
EMU-NotationBearbeiten
Alle elektromagnetischen Einheiten im EMU CGS-System, die keine Eigennamen haben, werden durch einen entsprechenden SI-Namen mit angehängtem Präfix „ab“ oder mit einer separaten Abkürzung „emu“ bezeichnet.
Beziehungen zwischen ESU- und EMU-EinheitenBearbeiten
Die Teilsysteme ESU und EMU von CGS sind durch die fundamentale Beziehung k C / k A = c 2 {\displaystyle k_{\rm {C}}/k_{\rm {A}}=c^{2}} verbunden.
(siehe oben), wobei c = 29979245800 ≈ 3×1010 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum in Zentimetern pro Sekunde ist. Daher ist das Verhältnis der entsprechenden „primären“ elektrischen und magnetischen Einheiten (z. B. Strom, Ladung, Spannung usw.) – Größen, die proportional zu denen sind, die direkt in das Coulombsche Gesetz oder das Ampère’sche Kraftgesetz eingehen) ist entweder gleich c-1 oder c: 1 s t a t c o u l o m b 1 a b c o u l o m b = 1 s t a t a m p e r e 1 a b a m p e r e = c – 1 {\displaystyle \mathrm {\frac {1\,statcoulomb}{1\,abcoulomb}} =\mathrm {\frac {1\,statampere}{1\,abampere}} =c^{-1}}
und
1 s t a t v o l t 1 a b v o l t = 1 s t a t t e s l a 1 g a u s s = c {\displaystyle \mathrm {\frac {1\,statvolt}{1\,abvolt}} =\mathrm {\frac {1\,stattesla}{1\,gauss}} =c}
.
Daraus abgeleitete Einheiten können Verhältnisse haben, die höheren Potenzen von c entsprechen, zum Beispiel:
1 s t a t o h m 1 a b o h m = 1 s t a t v o l t 1 a b v o l t × 1 a b a m p e r e 1 s t a t a m p e r e = c 2 {\displaystyle \mathrm {\frac {1\,statohm}{1\,abohm}} =\mathrm {\frac {1\,statvolt}{1\,abvolt}} \mal \mathrm {\frac {1\,abampere}{1\,statampere}} =c^{2}}
.
Praktische CGS-EinheitenBearbeiten
Das praktische CGS-System ist ein Hybridsystem, das das Volt und das Ampere als Einheit für Spannung bzw. Strom verwendet. Dadurch werden die unbequemen großen und kleinen Größen vermieden, die bei elektromagnetischen Einheiten im esu- und emu-System auftreten. Dieses System war einst unter Elektroingenieuren weit verbreitet, da Volt und Ampere auf dem Internationalen Elektrokongress 1881 als internationale Standardeinheiten eingeführt wurden. Neben Volt und Ampere werden daher auch Farad (Kapazität), Ohm (Widerstand), Coulomb (elektrische Ladung) und Henry im praktischen System verwendet und entsprechen den SI-Einheiten.
Andere VariantenBearbeiten
Es gab zu verschiedenen Zeitpunkten etwa ein halbes Dutzend Systeme elektromagnetischer Einheiten, die meist auf dem CGS-System basieren. Dazu gehören die Gaußschen Einheiten und die Heaviside-Lorentz-Einheiten.