Sistema de unidades centímetro-gramo-segundo

Aproximación del CGS a las unidades electromagnéticasEditar

Los factores de conversión que relacionan las unidades electromagnéticas en los sistemas CGS y SI se complican por las diferencias en las fórmulas que expresan las leyes físicas del electromagnetismo asumidas por cada sistema de unidades, concretamente en la naturaleza de las constantes que aparecen en estas fórmulas. Esto ilustra la diferencia fundamental en las formas de construcción de los dos sistemas:

En el SI, la unidad de corriente eléctrica, el amperio (A), se definió históricamente de forma que la fuerza magnética ejercida por dos hilos paralelos infinitamente largos y delgados separados por 1 metro y que transportan una corriente de 1 amperio es exactamente 2×10-7 N/m. Esta definición da lugar a que todas las unidades electromagnéticas del SI sean numéricamente consistentes (sujetas a factores de algunas potencias enteras de 10) con las del sistema CGS-EMU descrito en secciones posteriores. El amperio es una unidad base del sistema SI, con el mismo estatus que el metro, el kilogramo y el segundo. Por tanto, la relación en la definición del amperio con el metro y el newton no se tiene en cuenta, y el amperio no se trata como equivalente dimensional a ninguna combinación de otras unidades base. Como resultado, las leyes electromagnéticas en el SI requieren una constante de proporcionalidad adicional (véase Permeabilidad al vacío) para relacionar las unidades electromagnéticas con las unidades cinemáticas. (Esta constante de proporcionalidad se deriva directamente de la definición anterior del amperio). Todas las demás unidades eléctricas y magnéticas se derivan de estas cuatro unidades de base utilizando las definiciones comunes más básicas: por ejemplo, la carga eléctrica q se define como la corriente I multiplicada por el tiempo t, q = I t {\displaystyle q=I\,t}
$q=I,t$

,

dando lugar a que la unidad de carga eléctrica, el culombio (C), se defina como 1 C = 1 A⋅s.

La variante del sistema CGS evita introducir nuevas magnitudes y unidades base, y en su lugar define todas las magnitudes electromagnéticas expresando las leyes físicas que relacionan los fenómenos electromagnéticos con la mecánica sólo con constantes adimensionales, y por lo tanto todas las unidades para estas magnitudes se derivan directamente del centímetro, el gramo y el segundo.

Derivaciones alternativas de las unidades CGS en electromagnetismoEditar

Las relaciones electromagnéticas con la longitud, el tiempo y la masa pueden derivarse por varios métodos igualmente atractivos. Dos de ellos se basan en las fuerzas observadas en las cargas. Dos leyes fundamentales relacionan (aparentemente de forma independiente) la carga eléctrica o su tasa de cambio (corriente eléctrica) con una cantidad mecánica como la fuerza. Pueden escribirse en forma independiente del sistema de la siguiente manera:

La primera es la ley de Coulomb, F = k C q q ′ d 2 {{displaystyle F=k_{rm {C}}{frac {q,q^{\\prime }}d^{2}}}}
${{displaystyle F=k_{rm {C}}{frac {q\,q^{\\prime }}{d^{2}}}}$

, que describe la fuerza electrostática F entre las cargas eléctricas q {{displaystyle q}

$q$

y q ′ {\displaystyle q^{\prime }}

$q^{{prime }$

, separados por la distancia d. Aquí k C {{displaystyle k_{rm {C}}

$k_{\rm {C}$

es una constante que depende de cómo se deriva exactamente la unidad de carga de las unidades base.
La segunda es la ley de fuerza de Ampère, d F d L = 2 k A I I ′ d {\displaystyle {\frac {dF}{dL}}=2k_{\rm {A}{\frac {I,I^{\prime }}d
${{frac {dF}{dL}}=2k_{\rm {A}{{frac {I,I^{\prime }}{d}$

, que describe la fuerza magnética F por unidad de longitud L entre las corrientes I e I′ que fluyen en dos hilos rectos paralelos de longitud infinita, separados por una distancia d que es mucho mayor que los diámetros de los hilos. Como I = q / t {\displaystyle I=q/t\,}

$I=q/t\,$

e I ′ = q ′ / t {\displaystyle I^{\prime }=q^\prime }/t}

$I^{{prime }=q^{{prime }/t$

, la constante k A {{displaystyle k_{rm {A}}

$k_{rm {A}}$

también depende de cómo se derive la unidad de carga de las unidades base.

La teoría del electromagnetismo de Maxwell relaciona estas dos leyes entre sí. Establece que la relación de las constantes de proporcionalidad k C {\displaystyle k_{rm {C}}

$k_{\rm {C}$

y k A {{displaystyle k_{\rm {A}}

$k_{rm {A}$

deben obedecer a k C / k A = c 2 {{displaystyle k_{rm {C}}/k_{rm {A}}=c^{2}}

$k_{rm {C}/k_{rm {A}}=c^{2}$

, donde c es la velocidad de la luz en el vacío. Por lo tanto, si uno deriva la unidad de carga de la ley de Coulomb estableciendo k C = 1 {{displaystyle k_{rm {C}}=1}

$k_{rm {C}=1$

entonces la ley de fuerza de Ampère contendrá un prefactor 2 / c 2 {\displaystyle 2/c^{2}}

$2/c^{2}$

. Alternativamente, derivando la unidad de corriente, y por tanto la unidad de carga, de la ley de fuerza de Ampère estableciendo k A = 1 {\displaystyle k_{rm {A}}=1}.

$k_{rm {A}=1$

o k A = 1 / 2 {{displaystyle k_{rm {A}}=1/2}

$k_{rm {A}}=1/2$

, dará lugar a un prefactor constante en la ley de Coulomb.

De hecho, ambos enfoques mutuamente excluyentes han sido practicados por los usuarios del sistema CGS, dando lugar a las dos ramas independientes y mutuamente excluyentes de CGS, descritas en las subsecciones siguientes. Sin embargo, la libertad de elección en la derivación de unidades electromagnéticas a partir de las unidades de longitud, masa y tiempo no se limita a la definición de carga. Mientras que el campo eléctrico puede relacionarse con el trabajo realizado por éste sobre una carga eléctrica en movimiento, la fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad de la carga en movimiento y, por tanto, el trabajo realizado por el campo magnético sobre cualquier carga es siempre nulo. Esto lleva a elegir entre dos leyes del magnetismo, cada una de las cuales relaciona el campo magnético con las magnitudes mecánicas y la carga eléctrica:

La primera ley describe la fuerza de Lorentz producida por un campo magnético B sobre una carga q que se mueve con velocidad v:

F = α L q v × B . {\displaystyle \mathbf {F} =\alpha _{rm {L}}q\;\mathbf {v} \times \mathbf {B} \;.}

{pantalla}{pantalla} = alfa _{rm}{q};{mathbf}{v}{tiempos}{mathbf}{B}. \La segunda describe la creación de un campo magnético estático B por una corriente eléctrica I de longitud finita dl en un punto desplazado por un vector r, conocida como la ley de Biot-Savart: d B = α B I d l × r ^ r 2 , {diseño de d\mathbf {B} = {alfa _{rm {B}} {frac {Id\mathbf {l} \N – veces \N que se ha hecho con el dinero.

${publicar estilo d{mathbf}} ={alfa} {{mathbf}}{{frac} {{mathbf}} {l} \...a veces... que... {{r^{2}};,}$

donde r y r ^ {{diseño de estilo \_mathbf}} {{hat {r}}} }

$\Nmathbf {\hat {r}}$

son la longitud y el vector unitario en la dirección del vector r respectivamente.

Estas dos leyes se pueden utilizar para derivar la ley de fuerza de Ampère anterior, resultando la relación: k A = α L ⋅ α B {\displaystyle k_{rm {A}}=\alpha _{rm {L}}\cdot \alpha _{rm {B}};}

${displaystyle k_{rm {A}}=alpha _{rm {L}}\cdot \alpha _{rm {B}};}$

. Por lo tanto, si la unidad de carga se basa en la ley de fuerza de Ampère tal que k A = 1 {{displaystyle k_{rm {A}}=1}

$k_{rm {A}}=1$

, es natural derivar la unidad de campo magnético estableciendo α L = α B = 1 {{displaystyle \_alpha _{rm {L}}={alpha _{rm {B}}=1;}

$alpha _{rm {L}}={alpha _{rm {B}}=1};$

Sin embargo, si no es el caso, hay que elegir cuál de las dos leyes anteriores es una base más conveniente para derivar la unidad de campo magnético.

Además, si queremos describir el campo de desplazamiento eléctrico D y el campo magnético H en un medio que no sea el vacío, tenemos que definir también las constantes ε0 y μ0, que son la permitividad y la permeabilidad del vacío, respectivamente. Entonces tenemos (generalmente) D = ϵ 0 E + λ P {\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} +\lambda \mathbf {P} }

$mathbf {D} =epsilon _{0} {mathbf {E} +\lambda \mathbf {P}$

y H = B / μ 0 – λ ′ M {\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}-\lambda ^{{prime }\mathbf {M} }

$\Nmathbf {H} =\Nmathbf {B} /\mu _{0}-\lambda ^{\prime }\mathbf {M}$

, donde P y M son vectores de densidad de polarización y magnetización. Las unidades de P y M suelen elegirse de forma que los factores λ y λ′ sean iguales a las «constantes de racionalización» 4 π k C ϵ 0 {\displaystyle 4\pi k_{rm {C}}\epsilon _{0}}

$4\pi k_{rm {}}epsilon _{0}$

y 4 π α B / ( μ 0 α L ) {\displaystyle 4\pi \alpha _{rm {B}}/(\mu _{0}\alpha _{rm {L}})}

${displaystyle 4\pi \\\\rm {B}}/(\mu _{0}\alpha _{rm {L}})}$

, respectivamente. Si las constantes de racionalización son iguales, entonces c 2 = 1 / ( ϵ 0 μ 0 α L 2 ) {\displaystyle c^{2}=1/(\epsilon _{0}\mu _{0}\alpha _{rm {L}}^{2})}

${displaystyle c^{2}=1/(\epsilon _{0}\mu _{0}\alpha _{rm {L}^{2})}$

. Si son iguales a uno, se dice que el sistema está «racionalizado»: las leyes para sistemas de geometría esférica contienen factores de 4π (por ejemplo, cargas puntuales), las de geometría cilíndrica – factores de 2π (por ejemplo, cables), y las de geometría plana no contienen factores de π (por ejemplo, condensadores de placas paralelas). Sin embargo, el sistema CGS original utilizaba λ = λ′ = 4π, o, de forma equivalente, k C ϵ 0 = α B / ( μ 0 α L ) = 1 {{displaystyle k_{rm {C}{epsilon _{0}={alfa _{rm {B}}/(\mu _{0}{alfa _{rm {L}})=1}.

${{displaystyle k_{rm {C}}epsilon _{0}=alfa _{rm {B}}/(\mu _{0}{alfa _{rm {L}})=1}$

. Por lo tanto, los subsistemas Gaussiano, ESU y EMU de CGS (descritos a continuación) no están racionalizados.

Diversas extensiones del sistema CGS al electromagnetismoEditar

La siguiente tabla muestra los valores de las constantes anteriores utilizados en algunos subsistemas CGS comunes:

Sistema	k C {{displaystyle k_{rm {C}} $k_{rm {C}}$	α B {{displaystyle \\\\_{rm {B}} $alfa _{rm {B}}$	ϵ 0 {\displaystyle {epsilon _{0}} $\\Ndeepsilon _{0}$	μ 0 {\displaystyle \Nmu _{0}} $\mu _{0}$	k A = k C c 2 {\displaystyle k_{rm {A}}={\frac {k_{rm {C}}}{c^{2}}}} $k_{rm {A}={frac {k_{rm {C}}{c^{2}}$	α L = k C α B c 2 {\displaystyle \{alfa _{rm {L}}={frac {k_{rm {C}}{alfa _{rm {B}}c^{2}}}}} $alpha _{rm {L}}={frac {k_{rm {C}}{alpha _{rm {B}}c^{2}}$	λ = 4 π k C ϵ 0 {\displaystyle \lambda =4\pi k_{rm {C}}{epsilon _{0}} ${{displaystyle \_lambda =4\pi k_{rm {C}} {{epsilon _{0}}$	λ ′ = 4 π α B μ 0 α L {{displaystyle \lambda ‘={frac {4\pi \alpha _{rm {B}} {{mu _{0}} {{alpha _{rm {L}}}}} ${pantalla} <lambda '={frac} {4\pi \alpha _{rm {B}} {mu _{0} {alpha _{rm {L}}}}}$
CGS electrostático (ESU, esu, o stat-)	1	c-2	1	c-2	1	4π	4π
CGS (EMU, emu, o ab-)	c2	1	c-2	1	1	1	4π
Gaussiano CGS	1	c-1	1	1	c-2	c-1	4π	4π
Lorentz-Heaviside CGS	1 4 π {displaystyle {\frac {1}{4\pi }} ${\frac {1}{4\pi }}$	1 4 π c {\displaystyle {\frac {1}{4\pi c}} ${\frac {1}{4\pi c}}$	1	1	1 4 π c 2 {\displaystyle {\frac {1}{4\pi c^{2}}}} ${frac {1}{4\pi c^{2}}$	c-1	1	1
SI	1 4 π ϵ 0 {\displaystyle {\frac {1}{4\pi ^{0}}}} ${{displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}}$	μ 0 4 π {{displaystyle {\frac {{0}}{4\pi }} ${\frac {\mu _{0}}{4\pi }$	ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} $\\Ndeepsilon _{0}$	μ 0 {\displaystyle \Nmu _{0}} $\mu _{0}$	μ 0 4 π {\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }} ${displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}$	1	1	1

Además, nótese la siguiente correspondencia de las constantes anteriores con las de Jackson y Leung:

k C = k 1 = k E {\displaystyle k_{rm {C}}=k_{1}=k_{rm {E}}

$k_{rm {C}=k_{1}=k_{rm {E}}$

α B = α ⋅ k 2 = k B {\displaystyle \alpha _{rm {B}}=\alpha \cdot k_{2}=k_{rm {B}}

$alfa _{rm {B}}=alfa {cdot k_{2}=k_{rm {B}}$

k A = k 2 = k E / c 2 {{displaystyle k_{rm {A}}=k_{2}=k_{rm {E}}/c^{2}}

$k_{rm {A}=k_{2}=k_{rm {E}}/c^{2}$

α L = k 3 = k F {\displaystyle \alpha _{rm {L}=k_{3}=k_{rm {F}}

$alpha _{rm {L}}=k_{3}=k_{rm {F}}$

De estas variantes, sólo en los sistemas gaussiano y de Heaviside-Lorentz α L {{displaystyle {alpha _{rm {L}}

$alpha _{rm {L}}$

es igual a c – 1 {{displaystyle c^{-1}}

$c^{-1}$

en lugar de 1. Como resultado, los vectores E → {\displaystyle {\vec {E}}

${\vec {E}}$

y B → {\displaystyle {\vec {B}}

${\vec {B}}$

de una onda electromagnética que se propaga en el vacío tienen las mismas unidades y son iguales en magnitud en estas dos variantes de CGS.

En cada uno de estos sistemas las cantidades denominadas «carga», etc., pueden ser una cantidad diferente; aquí se distinguen con un superíndice. Las cantidades correspondientes de cada sistema se relacionan a través de una constante de proporcionalidad.

Las ecuaciones de Maxwell pueden escribirse en cada uno de estos sistemas como:

Unidades electrostáticas (ESU)Editar

Artículo principal: Unidades electrostáticas

En la variante de unidades electrostáticas del sistema CGS, (CGS-ESU), la carga se define como la cantidad que obedece a una forma de la ley de Coulomb sin constante multiplicadora (y la corriente se define entonces como carga por unidad de tiempo):

F = q 1 ESU q 2 ESU r 2 . {\displaystyle F={q_{1}^{\text{ESU}}q_{2}^{\text{ESU}} \r^{2}}.}

$F={q_{1}^{\text{ESU}}q_{2}^{\text{ESU}} \\ sobre r^{2}}.$

La unidad de carga ESU, franklin (Fr), también conocida como statcoulomb o carga esu, se define, por tanto, como sigue:

Dos cargas puntuales iguales separadas 1 centímetro se dice que tienen 1 franklin cada una si la fuerza electrostática entre ellas es de 1 dina.

Por tanto, en CGS-ESU, un franklin es igual a un centímetro por raíz cuadrada de dina:

1 F r = 1 s t a t c o u l o m b = 1 e s u c h a r g e = 1 d y n e 1 / 2 ⋅ c m = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 3 / 2 ⋅ s – 1 . {\displaystyle \mathrm {1\, Fr=1\, statcoulomb=1\, esu\; charge=1\, dyne^{1/2}{\cdot }cm=1\, g^{1/2}{\cdot }cm^{3/2}{\cdot }s^{-1} .}

${pantalla}{mathrm}{1},Fr=1},statcoulomb=1},esu{{};charge=1},dyne^{1/2}{cdot}{cm=1},g^{1/2}{cdot}{cm^{3/2}{cdot}{s^-1}. .}$

La unidad de corriente se define como:

1 F r / s = 1 s t a t a m p e r e = 1 e s u c u r r e n t e = 1 d y n e 1 / 2 ⋅ c m ⋅ s – 1 = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 3 / 2 ⋅ s – 2 . {\displaystyle \mathrm {1\, Fr/s=1\, statampere=1\, esu\; current=1\, dyne^{1/2}{\cdot }cm{\cdot }s^{-1}=1\, g^{1/2}{\cdot }cm^{3/2}{\cdot }s^{-2}. .}

${pantalla} {1,Fr/s=1,statampere=1,esu,current=1,dyne^{1/2}{cdot}cm{cdot}{s^{-1}=1,g^{1/2}{cdot}{ccm^{3/2}{cdot}{2}} .}$

Dimensionalmente en el sistema CGS-ESU, la carga q es por tanto equivalente a M1/2L3/2T-1.

En CGS-ESU, todas las magnitudes eléctricas y magnéticas son dimensionalmente expresables en términos de longitud, masa y tiempo, y ninguna tiene una dimensión independiente. Dicho sistema de unidades de electromagnetismo, en el que las dimensiones de todas las magnitudes eléctricas y magnéticas son expresables en términos de las dimensiones mecánicas de masa, longitud y tiempo, se denomina tradicionalmente «sistema absoluto».:3

Notación ESUEditar

Todas las unidades electromagnéticas en el sistema ESU CGS que no tienen nombres propios se denotan por un nombre SI correspondiente con un prefijo adjunto «stat» o con una abreviatura separada «esu».

Unidades electromagnéticas (UEM)Editar

En otra variante del sistema CGS, las unidades electromagnéticas (UEM), la corriente se define a través de la fuerza existente entre dos cables delgados, paralelos e infinitamente largos que la transportan, y la carga se define entonces como la corriente multiplicada por el tiempo. (Este enfoque se utilizó finalmente para definir también la unidad SI del amperio). En el subsistema CGS de la UEM, esto se hace estableciendo la constante de fuerza del amperio k A = 1 {{displaystyle k_{rm {A}}=1}.

$k_{rm {A}}=1$

, de modo que la ley de fuerza de Ampère simplemente contiene 2 como prefactor explícito.

La unidad de corriente de la UEM, biot (Bi), también conocida como corriente de abampere o emu, se define, por tanto, de la siguiente manera:

El biot es aquella corriente constante que, si se mantiene en dos conductores rectos paralelos de longitud infinita, de sección circular despreciable, y colocados a un centímetro de distancia en el vacío, produciría entre estos conductores una fuerza igual a dos dinas por centímetro de longitud.

Por tanto, en unidades CGS electromagnéticas, un biot es igual a una raíz cuadrada de dina:

1 B i = 1 a b a m p e r e = 1 e m u c u r r e n t e = 1 d y n e 1 / 2 = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 1 / 2 ⋅ s – 1 {\displaystyle \mathrm {1\}, Bi=1\ abampere=1\ emu;current=1\ dyne^{1/2}=1\ g^{1/2}{cdot }cm^{1/2}{cdot }s^{-1}}. }

$\mathrm {1\,Bi=1\,abampere=1\,emu\;current=1\,dyne^{1/2}=1\,g^{1/2}{\cdot }cm^{1/2}{\cdot }s^{-1}}$

La unidad de carga en CGS EMU es:

1 B i ⋅ s = 1 a b c o u l o m b = 1 e m u c h a r g e = 1 d y n e 1 / 2 ⋅ s = 1 g 1 / 2 ⋅ c m 1 / 2 {\displaystyle \mathrm {1\, }

${pantalla}{mathrm}{1},Bi{\cdot}{1},abcoulomb=1{\c},emu,charge=1{\c},dyne^{1/2}{\cdot}{1},g^{1/2}{\cdot}{cm^{1/2}} }$

Dimensionalmente en el sistema CGS de la UEM, la carga q es por tanto equivalente a M1/2L1/2. Por lo tanto, ni la carga ni la corriente son magnitudes físicas independientes en el sistema EMU CGS.

Notación EMUEditar

Todas las unidades electromagnéticas en el sistema EMU CGS que no tienen nombres propios se denotan por un nombre SI correspondiente con un prefijo adjunto «ab» o con una abreviatura separada «emu».

Relaciones entre las unidades ESU y EMUEditar

Los subsistemas ESU y EMU de CGS están conectados por la relación fundamental k C / k A = c 2 {\displaystyle k_{rm {C}}/k_{rm {A}}=c^{2}}.

$k_{rm {C}/k_{rm {A}}=c^{2}$

(ver arriba), donde c = 29979245800 ≈ 3×1010 es la velocidad de la luz en el vacío en centímetros por segundo. Por lo tanto, la relación de las correspondientes unidades eléctricas y magnéticas «primarias» (por ejemplo, corriente, carga, tensión, etc. – cantidades proporcionales a las que entran directamente en la ley de Coulomb o en la ley de la fuerza de Ampère) es igual a c-1 o a c: 1 s t a t c o u l o m b 1 a b c o u l o m b = 1 s t a t a m p e r e 1 a b a m p e r e = c – 1 {\displaystyle \mathrm {\frac {1,statcoulomb}{1,abcoulomb}} =\mathrm {\frac {1,statampere}{1,abampere}} =c^{-1}}

$\mathrm {\frac {1,statcoulomb}{1,abcoulomb}} =\mathrm {\frac {1,statampere}{1\\\f}abampere} =c^{-1}$

1 s t a t v o l t 1 a b v o l t = 1 s t a t e s l a 1 g a u s = c {\displaystyle \mathrm {\frac {1,statvolt}{1,abvolt} =\mathrm {\frac {1,stattesla}{1,gauss} =c}

$mathrm {\frac {1,statvolt}{1,abvolt}} =\mathrm {\frac {1,stattesla}{1,gauss}} =c$

Las unidades derivadas de éstas pueden tener relaciones iguales a potencias mayores de c, por ejemplo:

1 s t a t o h m 1 a b o h m = 1 s t a t v o l t 1 a b v o l t × 1 a b a m p e r e 1 s t a t a m p e r e = c 2 {displaystyle \mathrm {\frac {1\\hm}{1,abohm}} =\mathrm {\frac {1,statvolt}{1,abvolt}} =c^{2}}

$mathrm {\frac {1,statohm}{1,abohm}} =\mathrm {\frac {1,statvolt}{1,abvolt}} \N - veces \N -mathrm {\frac {1,abampere}{1,statampere}} =c^{2}$

Unidades CGS prácticasEditar

El sistema CGS práctico es un sistema híbrido que utiliza el voltio y el amperio como unidad de tensión y corriente respectivamente. De este modo se evitan los inconvenientes de las cantidades grandes y pequeñas que surgen para las unidades electromagnéticas en los sistemas esu y emu. Este sistema fue muy utilizado en su día por los ingenieros eléctricos, ya que el voltio y el amperio habían sido adoptados como unidades estándar internacionales por el Congreso Internacional de Electricidad de 1881. Además del voltio y el amperio, el faradio (capacitancia), el ohmio (resistencia), el culombio (carga eléctrica) y el henrio también se utilizan en el sistema práctico y son iguales a las unidades del SI.

Otras variantesEditar

Hubo en varios momentos alrededor de media docena de sistemas de unidades electromagnéticas en uso, la mayoría basados en el sistema CGS. Entre ellos se encuentran las unidades Gaussianas y las unidades Heaviside-Lorentz.