Kompleksiset funktiot, jotka ovat differentioituvia avoimen osajoukon Ω jokaisessa pisteessä {\displaystyle \Omega }.
kompleksitasossa sanotaan olevan holomorfisia Ω {\displaystyle \Omega }:ssa.
. Kompleksianalyysin yhteydessä f:n derivaatta {\displaystyle f}
kohdassa z 0 {\displaystyle z_{0}}
määritellään seuraavasti: f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) – f ( z 0 ) z – z 0 . {\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}.}
Pinnallisesti tämä määritelmä on muodollisesti analoginen reaalifunktion derivaatan määritelmän kanssa. Kompleksiset derivaatat ja differentioituvat funktiot käyttäytyvät kuitenkin huomattavasti eri tavoin kuin reaaliset vastineensa. Erityisesti, jotta tämä raja olisi olemassa, differenssikertoimen arvon on lähestyttävä samaa kompleksilukua riippumatta siitä, millä tavalla lähestymme z 0 {\displaystyle z_{0}}
kompleksitasossa. Näin ollen kompleksisella differentioituvuudella on paljon voimakkaampia vaikutuksia kuin reaalisella differentioituvuudella. Esimerkiksi holomorfiset funktiot ovat äärettömän differentioituvia, kun taas n:nnen derivaatan olemassaolon ei tarvitse merkitä (n + 1)-nen derivaatan olemassaoloa reaalifunktioille. Lisäksi kaikki holomorfiset funktiot täyttävät vahvemman analyyttisyyden ehdon, mikä tarkoittaa, että funktio on jokaisessa sen alueen pisteessä paikallisesti konvergentti potenssisarja. Pohjimmiltaan tämä tarkoittaa, että funktiot, jotka ovat holomorfisia Ω:ssa {\displaystyle \Omega }
voidaan approksimoida mielivaltaisen hyvin polynomeilla jossain Ω {\displaystyle \Omega } jokaisen pisteen lähiympäristössä.
. Tämä on jyrkässä ristiriidassa differentioituvien reaalifunktioiden kanssa; on olemassa äärettömän differentioituvia reaalifunktioita, jotka eivät ole missään analyyttisiä; ks. ei-analyyttinen sileä funktio § A smooth function which is nowhere real analytic.
Useimmat alkeisfunktiot, mukaan lukien eksponenttifunktio, trigonometriset funktiot ja kaikki polynomifunktiot, laajennettuna sopivasti kompleksisille argumenteille funktioina C → C {\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }
ovat holomorfisia koko kompleksitasossa, mikä tekee niistä kokonaisfunktioita, kun taas rationaalifunktiot p / q {\displaystyle p/q}
, missä p ja q ovat polynomeja, ovat holomorfisia alueilla, jotka eivät sisällä pisteitä, joissa q on nolla. Tällaisia funktioita, jotka ovat holomorfisia kaikkialla paitsi joukossa eristettyjä pisteitä, kutsutaan meromorfisiksi funktioiksi. Toisaalta funktiot z ↦ ℜ ( z ) {\displaystyle z\mapsto \Re (z)} ovat morfomorfisia.
, z ↦ | z | {\displaystyle z\mapsto |z|}
, ja z ↦ z ¯ {\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}
eivät ole holomorfisia missään päin kompleksitasoa, kuten voidaan osoittaa siitä, että ne eivät täytä Cauchy-Riemannin ehtoja (ks. jäljempänä).
Holomorfisten funktioiden tärkeä ominaisuus on niiden reaali- ja imaginaarikomponenttien osittaisderivaattojen välinen suhde, joka tunnetaan nimellä Cauchy-Riemannin ehdot. Jos f : C → C {\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }
, määritelty seuraavasti: f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}
, missä x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ∈ R {\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} }
, on holomorfinen alueella Ω {\displaystyle \Omega }
, niin ( ∂ f / ∂ z ¯ ) ( z 0 ) = 0 {\displaystyle (\partial f/\partial {\bar {z}})(z_{0})=0}
täytyy päteä kaikille z 0 ∈ Ω {\displaystyle z_{0}\ in \Omega }
. Tässä differentiaalioperaattori ∂ / ∂ z ¯ {\displaystyle \partial /\partial {\bar {z}}}
määritellään seuraavasti: ( 1 / 2 ) ( ∂ / ∂ x + i ∂ / ∂ y ) {\displaystyle (1/2)(\partial /\partial x+i\partial /\partial y)}
. Funktion reaali- ja imaginääriosien u ja v suhteen tämä vastaa yhtälöparia u x = v y {\displaystyle u_{x} = v_{y}}
ja u y = – v x {\displaystyle u_{y}=-v_{x}}}
, missä alatunnukset tarkoittavat osittaista differentiointia. Cauchy-Riemannin ehdot eivät kuitenkaan luonnehdi holomorfisia funktioita ilman ylimääräisiä jatkuvuusehtoja (ks. Looman-Menchoffin lause).
Holomorfisilla funktioilla on joitakin huomattavia ominaisuuksia. Esimerkiksi Picardin teoreema väittää, että kokonaisen funktion alue voi ottaa vain kolme mahdollista muotoa: C {\displaystyle \mathbb {C} }
, C ∖ { z 0 } {\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{z_{0}\}}
, tai { z 0 } {\displaystyle \{z_{0}\}}
jollekin z 0 ∈ C {\displaystyle z_{0}\ in \mathbb {C}} }
. Toisin sanoen, jos kaksi erillistä kompleksilukua z {\displaystyle z}
ja w {\displaystyle w}
eivät kuulu kokonaisen funktion f {\displaystyle f}
, niin f {\displaystyle f}
on vakiofunktio. Lisäksi yhdistyneen avoimen joukon holomorfinen funktio määräytyy sen rajoituksen perusteella mihin tahansa ei-tyhjään avoimeen osajoukkoon.