Fonctions complexes qui sont différentiables en tout point d’un sous-ensemble ouvert Ω {\displaystyle \Omega }.
du plan complexe sont dites holomorphes sur Ω {\displaystyle \Omega }.
. Dans le contexte de l’analyse complexe, la dérivée de f {\displaystyle f}
à z 0 {\displaystyle z_{0}}
est définie comme étant f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) – f ( z 0 ) z – z 0 . {\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}.}
Superficiellement, cette définition est formellement analogue à celle de la dérivée d’une fonction réelle. Cependant, les dérivées complexes et les fonctions différentiables se comportent de manière sensiblement différente par rapport à leurs homologues réels. En particulier, pour que cette limite existe, la valeur du quotient de la différence doit se rapprocher du même nombre complexe, quelle que soit la manière dont on s’approche de z 0 {\displaystyle z_{0}}.
dans le plan complexe. Par conséquent, la différentiabilité complexe a des implications beaucoup plus fortes que la différentiabilité réelle. Par exemple, les fonctions holomorphes sont infiniment différentiables, alors que l’existence de la nième dérivée n’implique pas nécessairement l’existence de la (n + 1)ième dérivée pour les fonctions réelles. En outre, toutes les fonctions holomorphes satisfont à la condition plus forte d’analyticité, ce qui signifie que la fonction est, en tout point de son domaine, localement donnée par une série de puissance convergente. En substance, cela signifie que les fonctions holomorphes sur Ω {\displaystyle \Omega }
peuvent être approximées arbitrairement bien par des polynômes dans un certain voisinage de chaque point dans Ω {\displaystyle \Omega }.
. Ceci contraste fortement avec les fonctions réelles différentiables ; il existe des fonctions réelles infiniment différentiables qui ne sont nulle part analytiques ; voir Fonction lisse non analytique § Une fonction lisse qui n’est nulle part analytique réelle.
La plupart des fonctions élémentaires, y compris la fonction exponentielle, les fonctions trigonométriques et toutes les fonctions polynomiales, se sont étendues de manière appropriée aux arguments complexes en tant que fonctions C → C {\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} } }
, sont holomorphes sur le plan complexe entier, ce qui en fait des fonctions entières, tandis que les fonctions rationnelles p / q {\displaystyle p/q}.
, où p et q sont des polynômes, sont holomorphes sur des domaines qui excluent les points où q est nul. De telles fonctions qui sont holomorphes partout sauf sur un ensemble de points isolés sont connues sous le nom de fonctions méromorphes. D’autre part, les fonctions z ↦ ℜ ( z ) {\displaystyle z\mapsto \Re (z)}
, z ↦ | z | {\displaystyle z\mapsto |z|}
, et z ↦ z ¯ {\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}
ne sont holomorphes nulle part dans le plan complexe, comme on peut le montrer par leur incapacité à satisfaire les conditions de Cauchy-Riemann (voir ci-dessous).
Une propriété importante des fonctions holomorphes est la relation entre les dérivées partielles de leurs composantes réelles et imaginaires, connue sous le nom de conditions de Cauchy-Riemann. Si f : C → C {\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }
, définie par f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}
, où x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ∈ R {\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} }
, est holomorphe sur une région Ω {\displaystyle \Omega }.
, alors ( ∂ f / ∂ z ¯ ) ( z 0 ) = 0 {\displaystyle (\partial f/\partial {\bar {z}})(z_{0})=0}
doit tenir pour tout z 0 ∈ Ω {\displaystyle z_{0}\in \Omega }.
. Ici, l’opérateur différentiel ∂ / ∂ z ¯ {\displaystyle \partial /\partial {\bar {z}}.
est défini comme ( 1 / 2 ) ( ∂ / ∂ x + i ∂ / ∂ y ) {\displaystyle (1/2)(\partial /\partial x+i\partial /\partial y)}
. En termes de parties réelles et imaginaires de la fonction, u et v, ceci est équivalent à la paire d’équations u x = v y {\displaystyle u_{x}=v_{y}}.
et u y = – v x {\displaystyle u_{y}=-v_{x}}
, où les indices indiquent une différenciation partielle. Cependant, les conditions de Cauchy-Riemann ne caractérisent pas les fonctions holomorphes, sans conditions de continuité supplémentaires (voir théorème de Looman-Menchoff).
Les fonctions holomorphes présentent quelques caractéristiques remarquables. Par exemple, le théorème de Picard affirme que l’étendue d’une fonction entière ne peut prendre que trois formes possibles : C {\displaystyle \mathbb {C} }
, C ∖ {z 0 } {\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{z_{0}}
, ou {z 0 } {\displaystyle \{z_{0}}}
pour certains z 0 ∈ C {\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }
. En d’autres termes, si deux nombres complexes distincts z {\displaystyle z}
et w {\displaystyle w}
ne sont pas dans l’intervalle d’une fonction entière f {\displaystyle f}
, alors f {\displaystyle f}
est une fonction constante. De plus, une fonction holomorphe sur un ensemble ouvert connecté est déterminée par sa restriction à tout sous-ensemble ouvert non vide.