Funções complexas que são diferenciáveis em cada ponto de um subconjunto aberto Ω {\\i1}Omega {\i}
do plano complexo dizem ser holomórfico em Ω {\displaystyle \Omega }
. No contexto da análise complexa, a derivada de f {\i1}displaystyle f
em z 0 {\i1}displaystyle z_{0}}
está definido para ser f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) – f ( z 0 ) z – z 0 . f'(z_{0})={z_{0} =lim _{z_to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_z_{0}}}.}
Superficialmente, esta definição é formalmente análoga à da derivada de uma função real. No entanto, as derivadas complexas e funções diferenciáveis comportam-se de formas significativamente diferentes em relação às suas contrapartidas reais. Em particular, para que este limite exista, o valor do quociente da diferença deve aproximar-se do mesmo número complexo, independentemente da forma como nos aproximamos de z 0 {\i1}{0}}.
no plano complexo. Consequentemente, a diferenciabilidade complexa tem implicações muito mais fortes do que a diferenciabilidade real. Por exemplo, as funções holomórficas são infinitamente diferenciáveis, enquanto que a existência da n-ésima derivada não implica a existência da (n + 1) derivada para funções reais. Além disso, todas as funções holomórficas satisfazem a condição mais forte da análise, o que significa que a função é, em cada ponto do seu domínio, dada localmente por uma série de potências convergentes. Em essência, isto significa que as funções holomórficas em Ω {\displaystyle \mega \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle}
pode ser aproximado arbitrariamente bem por polinómios em alguma vizinhança de todos os pontos em Ω {\i1}displaystyle {\i1}Omega
. Isto contrasta fortemente com as funções reais diferenciáveis; há funções reais infinitamente diferenciáveis que não estão em nenhum lugar analítico; veja Função lisa não analítica § Uma função lisa que não está em nenhum lugar analítico real.
As funções mais elementares, incluindo a função exponencial, as funções trigonométricas e todas as funções polinomiais, estendidas apropriadamente a argumentos complexos como funções C → C {\an8}displaystyle {\an8}mathbb {\an8} \para o “matemathbb”. }
, são holomórficas sobre todo o plano complexo, tornando-as funções inteiras, enquanto funções racionais p / q {\displaystyle p/q}
, onde p e q são polinómios, são holomorfos em domínios que excluem pontos onde q é zero. Tais funções que são holomórficas em toda parte, exceto um conjunto de pontos isolados, são conhecidas como funções meromórficas. Por outro lado, as funções z ↦ ℜ ( z ) {\displaystyle z\mapsto \Re (z)}
>, z ↦ | z | z |displaystyle z=mapsto |z|}
, e z ↦ z ¯ z ¯displaystyle z=mapsto {\i}bar {\i}
>não são holomórficos em nenhum lugar do plano complexo, como pode ser demonstrado pela sua incapacidade de satisfazer as condições de Cauchy-Riemann (ver abaixo).
Uma propriedade importante das funções holomórficas é a relação entre as derivadas parciais de seus componentes reais e imaginários, conhecidas como as condições de Cauchy-Riemann. Se f : C → C {\displaystyle f:\mathbb {C} \para o “matemathbb”. }
, definido por f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}
>, onde x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ∈ R {\i1}estilo de exibição x,y,u(x,y),v(x,y){\i}in {\i1}mathbb {R}
, é holomórfico numa região Ω {\an8}
, então ( ∂ f / ∂ z ¯ ) ( z 0 ) = 0 {\i1}0 {\i1}(z_{0})=0}
deve segurar para todos z 0 ∈ Ω {\i}displaystyle z_{\i}in {\i}Omega
. Aqui, o operador diferencial ∂ / ∂ z ¯ ¯ ¯displaystyle ¯parcial /parcial ¯bar {\i}
. Em termos das partes real e imaginária da função, u e v, isto é equivalente ao par de equações u x = v y {\\displaystyle u_{x}=v_{y}}
e u y = – v x {\i}{\i}=-v_{x}}{\i}
, onde os subscritos indicam diferenciação parcial. Entretanto, as condições de Cauchy-Riemann não caracterizam funções holomórficas, sem condições adicionais de continuidade (ver teorema de Looman-Menchoff).
As funções holomórficas exibem algumas características notáveis. Por exemplo, o teorema de Picard afirma que o alcance de uma função inteira pode assumir apenas três formas possíveis: C estilo de jogo }
, C ∖ { z 0 } {\displaystyle \mathbb {C} \Pequenas e Médias Empresas.
for some z 0 ∈ C {\i1}displaystyle z_{\i}in {\i1}mathbb {C} }
. Em outras palavras, se dois números complexos distintos z {\i1}displaystyle z}
e w {\i1}displaystyle w
não estão ao alcance de uma função inteira f {\i1}displaystyle f
, depois f {\i1}displaystyle f}
é uma função constante. Além disso, uma função holomórfica em um conjunto aberto conectado é determinada pela sua restrição a qualquer subconjunto aberto não vazio.